2013年湖南省高考压轴卷文科数学试题及答案.doc

2013年湖南省高考压轴卷数学文本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页。时间120分钟，满分150分。注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。3填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置)1.复数的共轭复数是 A34i B 3+4i C 34i D 3+4i2已知全集，集合，则（ ） A B C D3.已知数列满足: ，则 （ ） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-14.对xR，“关于x的不等式f(x)0有解”等价于 ( )(A) ，使得f(x0)0成立 （B) ，使得f(x0）0成立(C) ，f(x)0 成立 （D) ，f(x)0 成立5过抛物线y2 =2px（p0）的焦点F且倾斜角为60o的直l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则 （ ）A5 B4 C3 D26给出30个数：1，2，3，5，8，13,要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框处和执行框处应分别填入（ ）Ai30？和ppi1Bi31？和ppi1Ci31？和ppiDi30？和ppi7已知是单位圆上的动点，且，单位圆的圆心为，则（）ABCD 8在空间中，a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( )A若a，ba，则bB若a，b，a，b，则C若，b，则bD若，a，则a9函数yxex在点(1，e)处的切线方程为 ( )Ayex Byx1eCy2ex3e Dy2exe二填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分）10已知实数X,满足约束条件，则目标函数Z=X-y的最小值等于_.11.已知，且满足，那么的最小值是 12.在极坐标系中，点A的坐标为曲线c的方程 为，则0A (O为极点）所在直线被曲线C所截弦的长度为_.13如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为 14.已知双曲线C:与抛物线y2=8x有公共的焦点F，它们在第一象限内的交点为M.若双曲线C的离心率为2，则|MF|=_.15. 给出下列四个命题：命题，则,当时,不等式的解集为非空；当X1时，有设有五个函数.，其中既是偶函数又在 上是增函数的有2个.其中真命题的序号是_.三、解答题：（前三题各12分，后三道题各13分，满分75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，b2，求ABC的面积S.17.(本小题满分12分）某学校团委组织生态兴趣小组在学校的生态园种植了一批树苗，为了解树苗的生长情 况，在这批树苗中随机抽取了 50棵测量高度(单位:厘米），其统计数据如下表所示：将频率作为概率，解决下列问题：(I）在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65厘米的概率是多少？(II)为进一步了解这批树苗的情况，再从高度在35,45)中的树苗A，B，C中移出2棵， 从高度在85，95中的树苗D，E，F，G，H中移出1棵进行试验研究，则树苗A和树苗D同时被移出的概率是多少？18.（本题满分12分）已知函数f(x)=xlnx，g(I) 求函数f(x)的单调区间和最小值（II）若对一切恒成立，求实数a的取值范围。19. （本题满分13分）如图，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点 (1)证明：PFFD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45，求二面角APDF的余弦值20.（本题满分13分）设满足以下两个条件的有穷数列a1, a2, an为n（n=2,3,4,）阶“梦想数列”： a1+a2 +a3 +an =0 |a1|+|a2|+|a3|+|an|=1分别写出一个单调递增的3阶和4阶“梦想数列”；若某21阶“梦想数列”是递增等差数列，求该数列的通项公式；记n阶“梦想数列”的前k项和为sk（k=1,2,3，n）试证：|sk|21. (本小题满分13分）设椭圆的左、右顶点分别为A、B，点p在椭圆上且异于A、B两点，O为坐标原点.(1)若直线AP与BP的斜率之积为，求椭圆的离心率；(2)对于由(1)得到的椭圆C，过点P的直线l交X轴于点Q(-1,0)，交x轴于点M， 若，求直线l的斜率.KS5U2013湖南省高考压轴卷数学文数学文答案一 选择题题号123456789答案ACCACDCDD二 填空题10. -1 11. 12. 13. 14. 5 15. 三解答题16解： (1)由正弦定理，设k，则.所以即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sinC2sinA.因此2. 6分(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accosB及cosB，b2，得4a24a24a2解得a1，从而c2又因为cosB，且0B，所以sinB.因此SacsinB12. 12分17.解：在65cm以上的频数为15+10+5+30 2分在这批树苗中任取一棵，其高度不低于65cm的概率为P1= 5分事件“从(35,45)中移出2棵树苗，事件从(85,95)中移出1棵树苗，”包含的基本事件是15个，其中满足在(35,45)中和(85,95)中的树苗同时被移出的事件共2个 10分其概率p2= 12分18（本题满分12分）解：（）显然函数f（x）的定义域为.，令，解得： 3分当0；当0 . 函数f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是 .5分且f最小值（x）= f极小值（）. 6分（）对一切恒成立， 即：对一切恒成立，9分 令，则 令，解得：（舍） 10分 当0；当0 当时，h（x）取得最小值. h最小值（x）=4，实数的取值范围是. 12分19.(1)证明：PA平面ABCD，BAD90，AB1，AD2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)不妨令P(0,0，t)，(1,1，t)，(1，1,0)，111(1)(t)00，即PFFD. 4分(2)解：设平面PFD的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得：xy.n.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG平面PFD，只需n0，即01mm0，得mt，从而满足AGAP的点G即为所求 8分(3)解：AB平面PAD，是平面PAD的法向量，易得(1,0,0)，又PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，得PBA45，PA1，平面PFD的法向量为n.cos，n.故所求二面角APDF的余弦值为. 13分20. （本小题满分13分）解：（）数列为单调递增的三阶“梦想数列”， 数列为单调递增的四阶“梦想数列”. 4分（）设等差数列的公差为d， 21+,所以，即， ,d=,(n,) 9分（）当k=n时，显然成立 10分当kn时，据条件得，即， , 13分21.解: (1) 由已知,设. 1分则直线的斜率,直线的斜率. 由,得. 2分 3分,得, 4分. 5分椭圆的离心率. 6分(2) 由题意知直线的斜率存在. 7分设直线 的斜率为 , 直线的方程为 8分则有，设，由于三点共线，且根据题意，得 9分解得或 10分又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为所以或 由解得，即,此时点与椭圆左端点重合, 舍去; 11分由解得，即 12分直线直线的斜率. 13分第 12 页 共 12 页