山西省2013年中考数学试卷(解析版).doc

山西省2013年中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题2分，共24分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1．（2分）（2013•山西）计算：2×（﹣3）的结果是（　　）

A．
6
B．
﹣6
C．
﹣1
D．
5

考点：
有理数的乘法．
分析：
根据有理数乘法法则进行计算即可．
解答：
解：2×（﹣3）=﹣6；
故选B．
点评：
此题考查了有理数的乘法，掌握有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解题的关键．

2．（2分）（2013•山西）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
分析：
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可．
解答：
解：，
解不等式①得，x≥2，
解不等式②得，x＜3，
故不等式的解集为：2≤x＜3，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
点评：
本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．

3．（2分）（2013•山西）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
几何体的展开图．
分析：
由平面图形的折叠及长方体的展开图解题．
解答：
解：由四棱柱四个侧面和上下两个底面的特征可知，
A、可以拼成一个长方体；
B、C、D、不符合长方体的展开图的特征，故不是长方体的展开图．
故选A．
点评：
考查了几何体的展开图，解题时勿忘记四棱柱的特征及长方体展开图的各种情形．

4．（2分）（2013•山西）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计．结果甲、乙两组的平均成绩相同．方差分别是=36，=30，则两组成绩的稳定性（　　）

A．
甲组比乙组的成绩稳定
B．
乙组比甲组的成绩稳定

C．
甲、乙两组的成绩一样稳定
D．
无法确定

考点：
方差．
分析：
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
解答：
解：∵=36，=30，
∴＞，
∴乙组比甲组的成绩稳；
故选B．
点评：
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5．（2分）（2013•山西）下列算式计算错误的是（　　）

A．
x3+x3=2x3
B．
a6÷a3=a2
C．
=2
D．
=3

考点：
同底数幂的除法；算术平方根；合并同类项；负整数指数幂．
分析：
根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则及幂的乘方法则，结合各选项进行判断即可．
解答：
解：A、x3+x3=2x3，计算正确，故本选项错误；
B、a6÷a3=a3，计算错误，故本选项正确；
C、=2，计算正确，故本选项错误；
D、（）﹣1=3，计算正确，故本选项错误；
故选B．
点评：
本题考查了同底数幂的乘除、合并同类项的知识，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．

6．（2分）（2013•山西）解分式方程+=3时，去分母后变形为（　　）

A．
2+（x+2）=3（x﹣1）
B．
2﹣x+2=3（x﹣1）
C．
2﹣（x+2）=3（1﹣x）
D．
2﹣（x+2）=3（x﹣1）

考点：
解分式方程．
分析：
本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．
解答：
解：方程两边都乘以x﹣1，
得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．
故选D．
点评：
考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现．

7．（2分）（2013•山西）如表是我省11个地市5月份某日最高气温（℃）的统计结果：
太原
大同
朔州
忻州
阳泉
晋中
吕梁
长治
晋城
临汾
运城
27
27
28
28
27
29
28
28
30
30
31
该日最高气温的众数和中位数分别是（　　）

A．
27℃，28℃
B．
28℃，28℃
C．
27℃，27℃
D．
28℃，29℃

考点：
众数；中位数．
分析：
根据众数和中位数的定义求解即可，中位数是将一组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数，众数是一组数据中出现次数最多的数．
解答：
解：∵28℃出现了4次，出现的次数最多，
∴该日最高气温的众数是28℃，
把这11个数从小到大排列为：27，27，27，28，28，28，28，29，30，30，31，
∵共有11个数，
∴中位数是第6个数是28，
故选B．
点评：
此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．

8．（2分）（2013•山西）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（　　）

A．
1条
B．
2条
C．
4条
D．
8条

考点：
轴对称图形．
分析：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解答：
解：
所给图形有4条对称轴．
故选C．
点评：
本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键掌握轴对称及对称轴的定义．

9．（2分）（2013•山西）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%．若到期后取出得到本息（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（　　）

A．
x+3×4.25%x=33825
B．
x+4.25%x=33825

C．
3×4.25%x=33825
D．
3（x+4.25x）=33825

考点：
由实际问题抽象出一元一次方程
分析：
根据“本金×利率×时间”（利率和时间应对应），代入数值，计算即可得出结论．
解答：
解：设王先生存入的本金为x元，根据题意得出：
x+3×4.25%x=33825；
故选：A．
点评：
此题主要考查了一元一次方程的应用，计算的关键是根据利息、利率、时间和本金的关系，进行计算即可．

10．（2分）（2013•山西）如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道（B、C在同一水平面上）．为了测量B、C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B、C两地之间的距离为（　　）

A．
100m
B．
50m
C．
50m
D．
m

考点：
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
分析：
首先根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，然后利用正切函数的定义求解即可求得答案．
解答：
解：根据题意得：∠ABC=30°，AC⊥BC，AC=100m，
在Rt△ABC中，BC===100（m）．
故选A．
点评：
本题考查了俯角的知识．此题难度不大，注意掌握数形结合思想应用．

11．（2分）（2013•山西）起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）（　　）

A．
1.3×106J
B．
13×105J
C．
13×104J
D．
1.3×105J

考点：
科学记数法—表示较大的数．
专题：
跨学科．
分析：
解决此题要知道功等于力跟物体在力的方向上通过的距离的乘积，当力与距离垂直时不做功．
解答：
解：6.5t=6500kg，
6500×2×10=13000=1.3×105（J），
故选：D．
点评：
此题主要考查了科学记数法，解决此类问题要知道功的定义，结合功的计算公式进行分析求解．

12．（2分）（2013•山西）如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．
﹣
B．
﹣
C．
π﹣
D．
π﹣

考点：
扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；菱形的性质
分析：
根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABE≌△DBF，得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
解答：
解：连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A=60°，
∴∠ADC=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∵AB=2，
∴△ABD的高为，
∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，
∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°，
∴∠3=∠4，
在△ABE和△DBF中，
，
∴△ABE≌△DBF（ASA），
∴四边形EBFD的面积等于△ABD的面积，
∴图中阴影部分的面积是：S扇形EBF﹣S△ABD=﹣×2×=﹣．
故选：B．

点评：
此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形EBFD的面积等于△ABD的面积是解题关键．

二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分。把答案写在题中横线上）
13．（3分）（2013•山西）因式分解：a2﹣2a=　a（a﹣2）　．

考点：
因式分解-提公因式法．
分析：
先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
解答：
解：a2﹣2a=a（a﹣2）．
点评：
本题考查因式分解，较为简单，找准公因式即可．

14．（3分）（2013•山西）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：　该班有50人参与了献爱心活动　．
（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）

考点：
条形统计图．
分析：
根据条形图中每组捐款人数得出总人数即可．
解答：
解：可得出：该班有（20+5+10+15）=50（人）参与了献爱心活动．
故答案为：该班有50人参与了献爱心活动（答案不唯一）．
点评：
此题主要考查了条形统计图，根据条形图获取正确的信息是解题关键．

15．（3分）（2013•山西）一组按规律排列的式子：a2，，，，…，则第n个式子是　　 （n为正整数）．

考点：
单项式．
专题：
规律型．
分析：
观察分子、分母的变化规律，总结出一般规律即可．
解答：
解：a2，a4，a6，a8…，分子可表示为：a2n，
1，3，5，7，…分母可表示为2n﹣1，
则第n个式子为：．
故答案为：．
点评：
本题考查了单项式的知识，属于基础题，关键是观察分子、分母的变化规律．

16．（3分）（2013•山西）如图，矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，直线y=x﹣1经过点C交x轴于点E，双曲线y=经过点D，则k的值为　1　．

考点：
反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．
分析：
解由一次函数图象上点的坐标特征即可求得点C的坐标，则根据矩形的性质易求点D的坐标，所以把点D的坐标代入双曲线解析式即可求得k的值．
解答：
解：根据矩形的性质知点C的纵坐标是y=1，
∵y=x﹣1经过点C，
∴1=x﹣1，
解得，x=4，
即点C的坐标是（4，1）．
∵矩形ABCD在第一象限，AB在x轴正半轴上，AB=3，BC=1，
∴D（1，1），
∵双曲线y=经过点D，
∴k=xy=1×1=1，即k的值为1．
故答案是：1．
点评：
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征．解题时，利用了“矩形的对边相等，四个角都是直角的性质．

17．（3分）（2013•山西）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上的点A′处，则AE的长为　　．

考点：
翻折变换（折叠问题）．3718684
分析：
首先利用勾股定理计算出BD的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B的长，再设AE=x，则A′E=x，BE=12﹣x，再在Rt△A′EB中利用勾股定理可得方程：（12﹣x）2=x2+82，解出x的值，可得答案．
解答：
解：∵AB=12，BC=5，
∴AD=5，
∴BD==13，
根据折叠可得：AD=A′D=5，
∴A′B=13﹣5=8，
设AE=x，则A′E=x，BE=12﹣x，
在Rt△A′EB中：（12﹣x）2=x2+82，
解得：x=，
故答案为：．
点评：
此题主要考查了图形的翻折变换，关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

18．（3分）（2013•山西）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为　48　m．

考点：
二次函数的应用．
分析：
首先建立平面直角坐标系，设AB与y轴交于H，求出OC的长，然后设设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，根据题干条件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E点的坐标，DE的长度即可求出．
解答：
解：如图所示，建立平面直角坐标系．

设AB与y轴交于点H，
∵AB=36，
∴AH=BH=18，
由题可知：
OH=7，CH=9，
∴OC=9+7=16，
设该抛物线的解析式为：y=ax2+k，
∵顶点C（0，16），
∴抛物线y=ax2+16，
代入点（18，7）
∴7=18×18a+16，
∴7=324a+16，
∴324a=﹣9，
∴a=﹣，
∴抛物线：y=﹣x2+16，
当y=0时，0=﹣x2+16，
∴﹣x2=﹣16，
∴x2=16×36=576
∴x=±24，
∴E（24，0），D（﹣24，0），
∴OE=OD=24，
∴DE=OD+OE=24+24=48，
故答案为48．
点评：
本题主要考查二次函数综合应用的知识点，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系，此题难度一般，是一道非常好的试题．

三、解答题（共8小题，满分78分）
19．（10分）（2013•山西）（1）计算：sin45°﹣（）0；
（2）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题．
解：﹣=﹣…第一步
=2（x﹣2）﹣x+6…第二步
=2x﹣4﹣x﹣6…第三步
=x+2…第四步
小明的解法从第　二　步开始出现错误，正确的化简结果是　　．

考点：
分式的加减法；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．
专题：
阅读型．
分析：
（1）根据特殊角的三角函数值，0指数幂的定义解答；
（2）先通分，后加减，再约分．
解答：
（1）解：原式=×﹣1
=1﹣1
=0．

（2）解：﹣
=﹣
=
=
=
=．
于是可得，小明的解法从第二步开始出现错误，正确的化简结果是．
故答案为二，．
点评：
（1）本题考查了特殊角的三角函数值，0指数幂，是一道简单的杂烩题；
（2）本题考查了分式的加减，要注意，不能去分母．

20．（7分）（2013•山西）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．

考点：
解一元二次方程-配方法．
分析：
根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案．
解答：
解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，
4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，
x2﹣6x=﹣8，
（x﹣3）2=1，
x﹣3=±1，
x1=2，x2=4．
点评：
此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题．

21．（8分）（2013•山西）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作∠DAC的平分线AM． ②连接BE并延长交AM于点F．
（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．

考点：
作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
分析：
（1）根据题意画出图形即可；
（2）首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠C=∠FAC，进而可得AF∥BC；然后再证明△AEF≌△CEB，即可得到AF=BC．
解答：
解：（1）如图所示；

（2）AF∥BC，且AF=BC，
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，
由作图可得∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC，
∵E为AC中点，
∴AE=EC，
在△AEF和△CEB中，
∴△AEF≌△CEB（ASA）．
∴AF=BC．

点评：
此题主要考查了作图，以及平行线的判定，全等三角形的判定，关键是证明∠C=∠FAC．

22．（9分）（2013•山西）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形状及背面完全相同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云冈石窟和五台山．他与爸爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到的两个景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，只能去一个景点旅游．请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用H，P，Y，W表示）．

考点：
列表法与树状图法．
分析：
列表得出所有等可能的情况数，找出抽到两个景点都在太原以南或以北的结果数，即可求出所求的概率．
解答：
解：列表如下：

H
P
Y
W
H
﹣﹣﹣
（P，H）
（Y，H）
（W，H）
P
（H，P）
﹣﹣﹣
（Y，P）
（W，P）
Y
（H，Y）
（P，Y）
﹣﹣﹣
（W，Y）
W
（H，W）
（P，W）
（Y，W）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况数为12种，其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果有4种，
则P小勇能到两个景点旅游==．
点评：
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（9分）（2013•山西）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A重合），过点P作AB的垂线交BC于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长．

考点：
切线的判定；解直角三角形
分析：
（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据余弦的定义得cosB===，可计算出BC=，在Rt△BPQ中，利用余弦的定义得cosB==，可计算出BQ=10，然后利用QC=BQ﹣BC进行计算即可．
解答：
解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°﹣∠1﹣∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）连结AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，cosB===，
而BP=6，AP=1，
∴BC=，
在Rt△BPQ中，cosB==，
∴BQ==10，
∴QC=BQ﹣BC=10﹣=．

点评：
本题考查了切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查圆周角定理的推论以及解直角三角形．

24．（8分）（2013•山西）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：甲种收费的函数关系式是　y1=0.1x+6，　．
乙种收费的函数关系式是　y2=0.12x，　．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？

考点：
一次函数的应用
分析：
（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
解答：
解：（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得
，12=100k1，
解得：，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6，y2=0.12x；

（2）由题意，得
当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；
当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；
当x=100时，甲、乙两种方式一样合算；
当300＜x≤4500时，选择甲种方式合算．
故答案为：y1=0.1x+6，y2=0.12x．
点评：
本题考查待定系数法求一次函数的解析式的运用，运用函数的解析式解答方案设计的运用，解答时求出函数解析式是关键，分类讨论设计方案是难点．

25．（13分）（2013•山西）数学活动﹣﹣﹣求重叠部分的面积．
问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：
如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G．求重叠部分（△DCG）的面积．

（1）独立思考：请回答老师提出的问题．
（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（△DGH）的面积吗？请写出解答过程．
（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．
“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（△DMN）的面积．
任务：①请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出△DMN的面积是　　．
②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）．

考点：
相似形综合题．
分析：
（1）确定点G为AC的中点，从而△ADC为等腰三角形，其底边AC=8，底边上的高GD=BC=3，从而面积可求；
（2）本问解法有多种，解答中提供了三种不同的解法．基本思路是利用相似三角形、勾股定理求解；
（3）①对于爱心小组提出的问题，如答图4所示，作辅助线，利用相似三角形、勾股定理、等腰三角形的性质，列方程求解；
②本问要求考生自行提出问题，答案不唯一，属于开放性问题．
解答：
解：（1）【独立思考】
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴DC=DA=DB，∴∠B=∠DCB．
又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B．
∴∠FDE=∠DCB，∴DG∥BC．
∴∠AGD=∠ACB=90°，∴DG⊥AC．
又∵DC=DA，∴G是AC的中点，
∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3，
∴S△DGC=CG•DG=×4×3=6．

（2）【合作交流】
解法一：如下图所示：

∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1．
∵∠C=90°，ED⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°，
∴∠B=∠2，∴∠1=∠2，
∴GH=GD．
∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，
∴∠A=∠3，∴AG=GD，
∴AG=GH，即点G为AH的中点．
在Rt△ABC中，AB===10，
∵D是AB中点，∴AD=AB=5．
在△ADH与△ACB中，∵∠A=∠A，∠ADH=∠ACB=90°，
∴△ADH∽△ACB，∴，即，解得DH=，
∴S△DGH=S△ADH=××DH•AD=××5=．
解法二：同解法一，G是AH的中点．
连接BH，∵DE⊥AB，D是AB中点，

∴AH=BH．设AH=x，则CH=8﹣x．
在Rt△BCH中，CH2+BC2=BH2
即：（8﹣x）2+36=x2，解得x=．
∴S△ABH=AH•BC=××6=．
∴S△DGH=S△ADH=×S△ABH=×=．
解法三：同解法一，∠1=∠2．
连接CD，由（1）知，∠B=∠DCB=∠1，
∴∠1=∠2=∠B=∠DCB．
∴△DGH∽△BDC．
过点D作DM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N．

∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
∴CD=AD=BD，∴点M是AC的中点，
∴DM=BC=×6=3．
在Rt△ABC中，AB===10，AC•BC=AB•CN，
∴CN===．
∵△DGH∽△BDC，
∴，
∴S△DGH=•S△BDC=•BD•CN
∴S△DGH=××5×=．

（3）【提出问题】
①解决“爱心”小组提出的问题．
如答图4，过点D作DK⊥AC于点K，则DK∥BC，
又∵点D为AB中点，
∴DK=BC=3．

∵DM=MN，∴∠MND=∠MDN，由（2）可知∠MDN=∠B，
∴∠MND=∠B，又∵∠DKN=∠C=90°，
∴△DKN∽△ACB，
∴，即，得KN=．
设DM=MN=x，则MK=x﹣．
在Rt△DMK中，由勾股定理得：MK2+DK2=MD2，
即：（x﹣）2+32=x2，解得x=，
∴S△DMN=MN•DK=××3=．
②此题答案不唯一，示例：如答图5，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交BC于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积．

点评：
本题是几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、等腰三角形、勾股定理、图形面积计算、解方程等知识点．题干信息量大，篇幅较长，需要认真读题，弄清题意与作答要求．试题以图形旋转为背景，在旋转过程中，重叠图形的形状与面积不断发生变化，需要灵活运用多种知识予以解决，有利于培养同学们的研究与探索精神，激发学习数学的兴趣，是一道好题．

26．（14分）（2013•山西）综合与探究：
如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与Y轴交与点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：
二次函数综合题
分析：
（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．
解答：
解：（1）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=8，
∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=﹣4，
∴点C的坐标为（0，﹣4）．

（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则
，
解得k=﹣，b=4．
∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣m+4）﹣（m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
解法一：∵m=4，
∴点P是OB的中点．
∵l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴△BPM∽△BOD，
∴==，
∴BM=DM，
∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DMCQ，
∴BMCQ，
∴四边形CQBM是平行四边形．

解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则
，
解得k1=，b1=﹣4．
故直线BC的解析式为y=x﹣4．
又∵l⊥x轴交BC于点N，
∴x=4时，y=﹣2，
∴点N的坐标为（4，﹣2），
由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，﹣6）．
∴MN=2﹣（﹣2）=4，NQ=﹣2﹣（﹣6）=4，
∴MN=QN，
又∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DB∥CQ，
∴∠3=∠4，
∵在△BMN与△CQN中，
，
∴△BMN≌△CQN（ASA）
∴BN=CN，
∴四边形CQBM是平行四边形．

（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（﹣2，0），Q2（6，﹣4）．
若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：

①以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
∵P在线段EB上运动，∴﹣8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
故此种情形不存在．
②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=，BD=，
∵AB2+BD2=AB2，∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
∴Q1（﹣2，0）；
③以点B为直角顶点．
如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=﹣y，OK=x，BK=8﹣x．
易证△QKB∽△BOD，
∴，即，整理得：y=2x﹣16．
∵点Q在抛物线上，∴y=x2﹣x﹣4．
∴x2﹣x﹣4=2x﹣16，解得x=6或x=8，
当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；
当x=6时，y=﹣4，
∴Q2（6，﹣4）．
点评：
考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．