资源描述
实际问题与反比例函数
第一课时
一、教学设计思想
本节课是在学习了反比例函数的概念，反比例函数的图像和性质等相关知识的基础上引入的。首先创设问题情境，展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣。接下来主要讨论了反比例函数在体积、面积这样的实际问题中的应用。分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题。
二、教学目标
知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．
过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
情感态度与价值观
体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。
三、教学重难点
重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。
四、教学方法
启发引导、合作探究
五、教学媒体
课件
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
有关反比例函数的表达式，图像的特征我们都研究过了，那么，我们学习它们的目的就是为了应用。（板书课题）请看下面的问题（媒体显示）：
问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境。
问题思考：
（1）请你解释他们这样做的道理。
（2）当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（）的变化，人和木板对地面的压强P（Pa）将如何变化？
（3）如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么：
①用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
②当木板面积为0．2时，压强是多少？
③如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
④在直角坐标系中，作出相应的函数图象。
⑤请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流。
学生分四个小组进行探讨、交流．领会实际问题的数学意义，体会数与形的统一．教师可以引导、启发学生解决实际问题．
首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题．
在此活动中，教师应重点关注学生：
①能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；
②能积极地与小组成员合作交流；
③是否有强烈的求知欲．
从此活动中，我们可以发现，生活中存在着大量的反比例函数的现实．从这节课开始我们就来学习“17．2实际问题与反比例函数”，你会发现有了反比例函数，很多实际问题解决起来会很方便．
（二）讲授新课
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系?
（2）公司决定把储存室的底面积S定为500 m2，施工队施工时应该向下挖进多深?
（3）当施工队按（2）中的计划挖进到地下15 m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为 15 m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要（保留两位小数）．
先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动。
让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系．而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题．
（三）巩固提高
练习1：
如下图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为l升（1升＝1立方分米）的圆锥形漏斗．
（1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
（2）如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少?
由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助。
让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望．
练习2：
（1）已知某矩形的面积为20 cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式；
（2）当矩形的长为12 cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4 cm，求其长为多少?
（3）如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽至多要多少?
由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价．
进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么?
（四）小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想．
（五）板书设计
17.2实际问题与反比例函数（一）
例1：
第二课时
一、教学设计思想
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力．在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系．
二、教学目标
知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题．
过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
三、教学重难点
重点：掌握从实际问题中建构反比例函数模型。
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系．关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想。
四、教学方法
启发引导、合作探究
五、教学媒体
多媒体课件
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：
x（元）
3
4
5
6
y（个）
20
15
12
10
（1）根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2）猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象；
（3）设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润?
学生亲自动手操作，并在小组内合作交流．
教师巡视学生小组讨论的结果．
在此活动中，教师应重点关注：
①学生动手操作的能力；
②学生数形结合的意识；
③学生数学建模的意识；
④学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法．
（二）讲授新课
例2 码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载完毕恰好用了8天时间．
（1）轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v（单位：吨／天）与卸货时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系?
（2）由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?
学生先独立思考，然后小组交流合作．
教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程、不等式、函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否自己建构函数模型；
②学生能否将函数、方程、不等式的知识联系起来；
③学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志．
通过小组讨论得出以下结果
解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，则根据已知条件有k=3×80=240。
所以v与t的函数式为
（2）三种方法：
①利用不等式；
②借助于图像；
③利用方程。
（三）巩固练习
一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．
（1）甲、乙两地相距多少千米?
（2）如果汽车把速度提高到v（千米／时）那么从甲地到乙地所用时间t（小时）将怎样变化?
（3）写出t与v之间的函数关系式；
（4）因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?
（5）已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间?
先由学生独立完成，后在小组内讨论交流．
本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解．
（四）小结
本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系．
（五）板书设计
17.2实际问题与反比例函数（二）
第三课时
一、教学设计思想
物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系，本节借助反比例函数的图像和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用。
二、教学目标
知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题．
过程与方法
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
三、教学重难点
重点：掌握从物理问题中建构反比例函数模型．
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
四、教学方法
启发引导、合作探究
五、教学媒体
多媒体课件
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用．下面的例子就是其中之一．
例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I （安培）和电阻R（欧姆）成反比例，当电阻 R=5欧姆时，电流I=2安培．
（1）求I与R之间的函数关系式；
（2）当电流I＝0.5时，求电阻R的值．
可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用．
教师应给“学困生”一点物理学知识的引导．
师：“给我一个支点，我可以把地球撬动．”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢?公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”；若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂（如下图）
下面我们就来看一例子．
（二）讲授新课
例3 小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1 200牛顿和0．5米．
（1）动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1．5米时，撬动石头至少需要多大的力?
（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少?
先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题．
教师可引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系．
教师在此活动中应重点关注：
①学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；
②学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；
③学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。
解：（1）根据：“杠杆定律”有
F·l=1200×0.5，得
当l=1．5时
因此，撬动石头至少需要400牛顿的力。
（2）可用三种方法来求解
①方程②不等式③函数图像
思考：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力?
小组讨论，利用反比例函数的知识来解答。
（三）巩固提高
补充：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例．又当x=0.65元时，y＝0.8．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若每度电的成本价 0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收入多少?
由学生先独立思考，然后小组内讨论完成。
师生共析：
（1）由题目提供的信息知y与（x－0.4）之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x＝0.65时，y=0.8得出字母系数的值；
（2）纯收入=总收入－总成本．
（四）小结
你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得．
（五）板书设计
17.2实际问题与反比例函数（三）
1．
2．用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力?
设阻力为F1，阻力臂长为l1，所以F1×l1=k（k为常数且k>0）．动力和动力臂分别为 F，l．则根据杠杆定理：
F·l=k 即（k>0且k为常数）．
由此可知F是l的反比例函数，并且当k> 0时，F随l的增大而减小．
第四课时
一、教学设计思想
本节课进一步学习了用函数的观点处理实际问题，特别是利用函数的性质，由自变量x的取值范围，决定函数y的值的范围，提高用函数观点解决实际问题的能力，在解决问题时，又一次利用函数图象渗透了数形结合的思想．
二、教学目标
知识与技能
1．能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题．
2．能综合利用物理电学知识，反比例函数的知识解决一些实际问题．
过程与方法
1．继续经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数的模型，进而解决问题．
2．体会数学与物理的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．
情感态度与价值观
1．积极参与交流，并积极发表意见．
2．体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具．
三、教学重难点
重点：掌握从物理电学问题中建构反比例函数的模型．
难点：从实际问题中寻找变量之间的关系，关键还是充分运用所学的知识分析物理中的电学问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想．
四、教学方法
启发引导、合作探究
五、教学媒体
多媒体课件
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I （A）与电阻R（）之间的函数关系如下图所示．
探究：
（1）蓄电池的电压为多少?你能写出这一函数表达式吗?
（2）完成下表，并回答问题：如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超10 A，那么用电器的可变电阻可控制在什么范围内?
R/
3
4
5
6
7
8
9
10
I/A
4
让学生充分利用图象、表格、函数关系式这三种函数的表示形式研究两个变量之间的关系．特别是三种形式的相互转化．同时，进一步体会物理与反比例函数之间的关系．
共同分析得出：
图形所提供的信息包括：①直观上看，I与R之间的关系可能是反比例函数关系，利用相关知识IR＝U（U为定值）得到确认；
②由图象上点A的坐标可知，当用电器的电阻为9时，电流为4A。
解：（1）根据图象可得当用电器的电阻为9时，电流为4 A，因为IR＝U（U为定值）．
所以蓄电池的电压为U=9×4＝36（V）．
所以电流I与电阻R之间的函数关系为
即I与R两个物理量成反比例函数关系．
（2）利用I与R两个物理量之间的关系可填写下表：从左往右依次为：12，9，，
如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不得超过10 A，即I≤10 A，所以，R≥3.6（）．
因此，用电器的可变电阻应控制在大于等于3.6的范围内．
师：我们还可以综合运用表格、图象来考察此问题，这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识．
生：无论从图象还是从表格，我们都能观察出反比例函数在第一象限I随R的增大而减小．当I＝10 A时，R＝3.6．因此当限制电流不超过10A时，用电器的可变电阻应是不小于3.6的。
下面，我们再来看一个物理方面的问题．
（二）讲授新课
问题：电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PR＝U2．这个关系也可写为P=_______，或R=_______．
例4 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如下图所示。
（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系?
（2）用电器输出功率的范围多大?
可先由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用，教师应不断地引导学生完成．
生：由PR=U2，得
生：解：（1）根据电学知识，当U=220时，有
①
即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为。
（2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小．
把电阻的最小值R=110代入①式，得到输出功率的最大值：
把电阻的最大值R＝220代入①式，则得到输出功率的最小值：
因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间．
生：我认为可以作反比例函数的图象，从图象中也可以看出，如下图中（反比例函数的图象过（110，440），（220，220）．
观察图象可知，用电器输出的功率在 220～440瓦之间。
师：结合例4，想一想为什么收音机的音量，台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节?音量、亮度及转速随_______的减小而增大，随________的增大而减小．
生：音量、亮度、转速反应的都是输出功率的大小，在电压一定的情况下，电阻的改变，会引起输出功率的变化．从例4我们知道，在电学中，输出功率P与电阻R成反比例函数关系，所以音量、亮度及转速会随电阻的减小而增大，随电阻的增大而减小．
师：利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便我们的生活．
（三）巩固提高
某学校冬季储煤120吨，若每天用煤x吨，经过y天可以用完．
（1）请写出y与x之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象；
（3）当每天的用煤量为1.2～1.5吨时这些煤可以用的天数在什么范围?
注意自变量的取值范围。
由学生独立完成，教师巡视完成的情况．
（四）小结
你对本节内容有哪些认识?利用函数观点处理实际问题，理解数形结合的数学思想方法．
（五）板书设计
17.2实际问题与反比例函数（四）
例4：
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