资源描述
20.3 菱形的判定
一、知识与技能
1．能说出菱形的两个判定定理，并会用它进行相关的论证和计算．
2．会根据已知条件画出菱形．
二、过程与方法
1．经历探究菱形判定条件的过程，通过操作、观察、猜想、证明的过程，培养学生的科学探索精神．
2．探索并掌握菱形的判定方法．
3．利用菱形的判定方法进行合理的论证和计算．
1．让学生在探究过程中加深对菱形的理解，养成主动探索的学习习惯．
2．通过菱形与矩形判定方法的类比，进一步体会类比的思想方法的作用．
教学重点 菱形的判定方法．
教学难点 探究菱形的判定条件并合理利用它进行论证和计算．
教具准备 多媒体课件．把中点固定在一起的两根细木条．
教学过程
一、创设问题情境，引入新课
想一想：菱形和矩形分别比平行四边形多了哪些性质？怎样判定一个四边形是矩形？
（让学生回忆并说出菱形和矩形各自的性质，教师用对比的形式播放课件）
矩 形
菱 形
性
质
1．四个角都是直角
1．四条边都相等
2．对角线相等
2．对角线互相垂直
且平分一组对角
判
定
1． 有一个角是直角
的平行四边形
2．三个角是直角的
四边形
3． 角线相等的平
行四边形
师：看看上表，大家可以猜到，我们就研究如何判定一个四边形是菱形的问题．
二、探究菱形的判定条件
生：可以用菱形的定义判定．也就是说：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
师：很好．大家再用类比的方法想一想，受矩形判定条件的启发，你对菱形的判定条件有什么猜想．
生甲：矩形定义是平行四边形基础上限制角，于是有“三个角是直角的四边形是矩形”；菱形的定义是平行四边形基础上限制边，是不是可以得到：“四条边都相等的四边形是菱形”呢？
生乙：矩形的对角线相平行四边形是矩形；菱形的对角线互相垂直，是不是可以猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
师：猜得有理．下面请大家做一做，看有什么新发现．
操作要求：
用一长一短的两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉；做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋（如图（1）），做成一个四边形，转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
学生活动：
通过操作、观察、思考、讨论最后发现并证明猜想和观察到的结论．
生甲：将中点固定在一起，说明对角线互相平分，所以这是一个平行四边形．
生乙：转动十字架，变成菱形时，看起来对角线要互相垂直．
生丙：那就是说对角线垂直的平行四边形是菱形．
生乙：我觉得也可以说成：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
生甲：是的法都对．对角线平分能得到平行四边形嘛．
师：同学们的研究和分析合情合理，能不能证明这个命题呢？
生：能：如图（1）（b）
△AOB≌△AODAB=AD．
又四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
师：大家做得很好．这样，我们就得到了一个变形的判定定理．
判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
推论：对角线互相垂直，平分的四边形的是菱形．
应用举例：
【例3】如图ABCD的对角线AC、BD交于点O，AB=5，AO=4，BO=3，求证ABCD是菱形．
证明：∵AB=5，AO=4，BO=3，
∴AB2=AO2+BO2．
∴△AOB是直角三角形．
∴AC⊥BD．
∴ABCD是菱形．
议一议：下列办法画菱形采取什么原理？
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C，连接BC、CD，就画出一个菱形ABCD．
学生活动：
1．按要求画出四边形ABCD，发现它是菱形，产生直观感受．
2．证明四边形ABCD是菱形．
四边形ABCD是菱形．
师生总结：得菱形的第二个判定方法：
判定定理2：四边相等的四边形是菱形．
师：我们通过类比的方法得出的菱形的判定方法．请同学们完成开课时给的表格．（老师再次播放课件，加深学生对菱形、矩形的性质和判定的理解）
做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．
（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形．
（3）邻角相等的四边形是菱形．
（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．
（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形．
（6）对角线互相垂直的四边形是菱形．
（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
引导学生懂这类问题的解决方法是：认为正确的命题要进行证明，认为错误的命题要举出反例．最后得出：（1）（2）（5）（7）是正确的，其余是错误命题．
三、随堂练习
课本练习
2．解：如图,∵AB=9，AO=AC=6，BO=BD=3．且92=62+（3）2．
∴AB2=AO2+BO2．
∴△AOB是直角三角形．
∴AC⊥BD，
∴ABCD是菱形．
∴S菱形ABCD=AC·BD=×12×6=36．
3．如图，因为纸条等宽，所以△ABC以BC为底的高和以AB为底的高相等，所以AB=BC．
纸条交叉重叠在一起可得：AB∥CD，AD∥BC．
所以四边形ABCD是平行四边形．
因此可得重合的四边形ABCD是一个菱形．
四、课时小结
（引导学生归纳总结菱形的判定方法，通过课件演示逐渐得出下表．让学生从图形的变化中形象地看到被判定图形是四边形还是平行四边形，它们各要具备什么条件才是菱形，从中领悟到各种图形之间的内在联系）．
五、课后作业
1．习题
2．预习正方形的判定
板书设计
20.3 菱形的判定
1．菱形的判定方法
（1）定义：邻边相等的平行四边形
（2）判定定理：对角线互相垂直的平行四边形 菱形
四边相等的四边形
2．应用举例：
例3 议一议 做一做
3．随堂练习
4．小结
5．作业
活动与探究
如下图在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F，四边形AEFG是菱形吗？
过程：
EA=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
△EFC≌△EAC
EFGA是菱形．
结论：四边形AEFG是菱形．
备课资料
参考例题
【例1】请在括号中填写每一步推理根据．
已知菱形ABCD的边长为10，AC=12，求菱形ABCD的面积．
解：∵菱形ABCD（①），
∴AO=CO，BO=DO（②），
∠AOB=90°（③）．
∵AC=12（④），
∴AO=6．
∵AB=10（⑤），
∴BO=8（⑥）．
∴BD=2BO=16．
∴S菱形ABCD=×16×12=96（⑦）．
答案：①已知 ②菱形对角线互相平分 ③菱形的对角线互相垂直 ④已知 ⑤已知⑥ 勾股定理 ⑦菱形面积等于对角线乘积的一半
【例2】某中学有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的4块矩形小场地建成草坪．
（1）如下图，请分别写出每条道路的面积．
（2）已知a：b=2：1，并且4块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长宽各为多少米？
（3）在（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）
①在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13m2．
②整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形．
请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说画法与根据），并求出每个菱形花圃的面积．
解：（1）（2a+2b-4）m2
（2）∵S矩形场地=S草坪+S道路，设b=x，则a=2x，
∴x·2x-（2x+4x-4）=312．
题的意识．等学完一元二次方程后可继续解决这个问题）．解得x1=14，x2=-11（舍）．
∴b=14，a=28．
矩形长28m，宽14m．
（3）设计如下图所示
说明：①AG=DH，这样保证整个场地为轴对称图形；②AE和FB的长度有赖于两个菱形面积之差为13m这一条件．
下面分别计算AG和AE的长．
设AG=x，则DH=x，∴x+2+x=28，∴x=13．
设AE=y，则·y·13-（12-y）·13=13，解得y=7．
∴大花圃面积为×7×13=45.5（m2）．
小花圃面积为×5×13=32.5（m2）．
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