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数的开方 平方根
二、新课
计算:42; (－4)2; (23)2; (0.8)2; (－0.8)2;
问：什么叫乘方?什么叫幂?
答：求相同因数的积的运算叫做乘方，运算的结果叫做幂.在式子42=16中，4叫做底数，2叫做指数，16叫做4的二次幂.
乘方运算是已知底数和指数，求幂.
如果已知一个数的平方等于16，怎样求这个数？我们可以设这个数为x，则x2=16，问题归结为求x.这个问题可以通过乘方运算来解决.
因为42=16所以x=4；又因为(－4)2=16，所以x=－4.4或－4的平方都等于16，可以表示为(±4)2=16.
因为4或－4的平方都等于16，我们把4及－4叫做16的平方根.
1.平方根.
一般地，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根(或二次方根).就是说，如果x2=a,那么x就叫做a的平方根.
如23与－23都是529的平方根.因为(±23)2=529，所以±23是529的平方根.
问：100的平方根是什么?1 100呢?
答：100的平方根是10与－10.因为(±10)2=100,所以10与－10是100的平方根.
1 100的平方根是1 10与(－1)10.因为(±1 10)2=1 100，所以110与(－1)10是110的平方根.
上面例子可以看到求一个数的平方根，可经转化为通过乘方运算来求.
问：16，49，100，1 100都是正数，它们有几个平方根?平方根之间有什么关系?
答：这些数都是正数，它们都有两个平方根，这些数的两个平方根都分别是互为相反数.
问：0的平方根是什么?
答：0的平方根是0，这是因为02=0.由于任何不为零的数的平方都不等于零，所以零的平方根只有一个，它就是零本身.
问：负数有平方根吗?为什么?
答：负数没有平方根.由于正数、零和负数的平方都不是负数，所以负数没有平方根.
请同学概括数的平方根的定义.
答：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.
2.一个非负数a的平方根的表示法.
当a>0时，a的正的平方根用符号“”表示，其中a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负的平方根用符号“－”表示，这两个平方根合起来可以记作“±”.这里符号“2”读作“二次根号”，读作“二次根号a”.当根指数是2时，通常将这个2省略不写，如记作，读作“根号”；±记作±，读作“正负根号a”.
一般地，如果x2=a(a≥0)，那么a的平方根可以表示为x=±.
例如，9的平方根记作±9，读作正负根号9.
3.开平方.
求一个数a(a≥0)的平方根的运算，叫做开平方.开平方运算是已知指数和幂求底数.
平方与开平方互为逆运算.一个数可以是正数、负数或者是0，它的平方数只有一个，正数或负数的平方都是正数，0的平方是0.但一个正数的平方根却有两个，这两个数互为相反数，0的平方根是0.负数没有平方根.
因为平方与开平方互为逆运算，因此我们可以通过平方运算来求一个数的平方根，也可以通过平方运算来检验一个数是不是另一个数的平方根.
例1 求下列各数的平方根：
(1)81； (2)1916； (3)0.09.
分析：求平方根是开方运算，我们可以通过平方运算来解决.
例2 下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根；如果没有，请说明理由.
(1)－64; (2)0; (3)(－4)2 (4)10－2.
分析：因为只有正数和零才有平方根，所以首先应观察所给出的数是否为正数或0.
问：(1)－42有平方根吗? (2)(－4)2与－4相等吗?为什么?
三、课堂练习
1.填空：
(1)因为(±37)2=949所以______是______的平方根;
(2)因为(±0.6)2=0.36,所以______是______的平方根;
(3)(－2)2的平方根是 ,(12)2的平方根是 ;
(4)0.0081的平方根是 ，10－6的平方根是 .
2.求下列各数的平方根：
(1)49×81； (2)25×64； (3)1.44； (4)49×10－4.
3.判断下列说法是否正确?
(1)0的平方根是0； (2)1的平方根是1；
(3)－1是1的平方根； (4)－1的平方根是－1；
(5)(－1)2的平方根是－1.
四、小结
1.如果x2=a,那么x就叫做a的平方根，用±a来表示.
当a＞0时，a有两个平方根，即±，表示a的正的平方根,－表示a的负的平方根，它们互为相反数；当a=0时，a有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.
2.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，平方和开平方运算有区别又有联系.区别在于，平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂；而在开平方运算中，已知的是指数和幂，求的是底数.在平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的；在开平方运中，被开方数必须是非负数，开平方的结果不一定是唯一的.
平方和开平方运算又有联系，二者互为逆运算.
求一个数的平方根，可以通过平方运算来解决.
五、作业
(一)选择题：
1.在四个数0，－9，2，(－2)2中，有平方根的是( ).
A.0与－9； B.0，－9和(－2)2； C.0与(－2)2； D.0，2和(－2)2.
2.数16的平方根是( ).
A.4； B.16； C.－4； D.4或－4.
3.数0.25的平方根是( ).
A.0.5； B.0.05； C.－0.5； D.0.5或－0.5.
4.数(－6)2的平方根是( ).
A.－6； B.6； C.6或－6. D.36.
(二)填空题：
1.数61925的平方根是 ； 2.数0.0196的平方根是 ；
3.数11549的负的平方根是 ； 4.数(－2.2)2的平方根是 ；
5.－0.13是 的负的平方根.
(三)写出下列各数的平方根.
121，144，169，196，225，256，289，324，361.
六、板书设计
七、教学后记
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