资源描述
6.3生日相同的概率
“生日相同的概率”是一个具有趣味性和可操作性、密切联系学生生活的概率问题.该问题的理论概率大约等于0.97.而这一结论可能有违学生的“常识”，因而具有一定的趣味性，同时生日数据随手可得，因而具有较好的可操作性.此外，该问题也便于使用计算器
或计算机进行模拟实验，“如果班里50个同学中有2个同学的生日相同”，该题的概率较大，正说明一些看似巧合的现象实则极为平凡，这也有助于破除迷信.培养学生唯物主义的世界观.
本节是用实验频率来估计一些复杂事件的概率.而实验频率稳定于理论概率是本节的教学重点和难点，是用实验的方法估计随机事件发生的概率基础.但对于义务教育阶段的学生而言.又难以给出一个理论的解释.因而只能借助于大量的重复试验去感悟.因此，在教学过程中，务必引导学生积极参与实验.学生通过实验还会发现，实验频率并不一定等于理论概率.虽然多次试验的频率逐渐稳定于理论概率，但也可能无论做多少次实验，实验频率仍是理论概率的一个近似值，而不能等同于理论概率，两者存在着一定的偏差，应该说偏差的存在是正常的，经常的.
其次，随着现代社会的迅猛发展，更多的事务要求人们合作交流.在本节中，用实验频率稳定于理论概率来认识“生日相同的概率”，必须收集、整理大量的数据，必须综合多个学生甚至全班学生的试验数据.因此在教学过程中，务必注重学生的合作和交流活动.同时鼓励学生使用计算器等现代信息技术手段进行概率学习活动.
6.3生日相同的概率(一)
教学目标
(一)教学知识点
能用实验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率.
(二)能力训练要求
经历实验、统计等活动过程，在活动中进一步发展学生合作交流的意识和能力.
(三)情感与价值观要求
通过对贴近学生生活的有趣的生日问题的实验、统计，提高学习数学的兴趣.并且有助于破除迷信，培养学生严谨的科学态度和辩证唯物主义世界观.
教学重点
用实验的方法估计一些复杂的随机事件的概率.
教学难点
经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到50个同学中有2个同学生日相同的概率较大.
教学方法
探究——实验——合作交流法.
本课时选择了贴近学生生活的生日问题，旨在通过具体收集数据.进行实验，统计结果，合作交流的过程，丰富学生的活动经验，并初步感受到频率与概率的关系.
教具准备
每个同学课外凋查10个人的生日、生肖；
投影片两张：
第一张：活动一(记作§6.3.1 A)；
第二张：“几个人中至少有两个人生日相同”的概率大小的表格(记作§6.3.1 B)；
第三张：活动二(记作§6.3.1 C).
教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
[师]《红楼梦》62回中有这样一段话：
探春笑道：“倒有些意思.一年十二个月，月月有几个生日.人多了，就这样巧，也有三
个一日的，两个一日的……过了灯节，就是大太太和宝姐姐，他们娘儿两个遇的巧，”宝玉
又在旁边补充，一面笑指袭人：“二月十二日是林姑娘的生日，他和林妹妹是一月，他所以
记得.”
关于生日问题，还有几个很有趣的故事
(1)有一次，美国数学家伯格米尼去观看世界杯足球赛，在看台上随意挑选了22名观众，叫他们报出自己的生日，结果竟然有两个人的生日是相同的，使在场的球迷们感到吃惊.
(2)还有一个人也作了一次实验.一天他与一群高级军官用餐，席问，大家天南地北地
闲聊.慢慢地，话题转到生日上来，他说：“我们来打个赌.我说，我们之间至少有两个人的生日相同.”
“赌输了.罚酒三杯！”在场的军官们都很感兴趣.“行!”在场的各人把生日一一报出.
结果没有生日恰巧相同的.
“快!你可得罚酒啊!”
突然，一个女佣人在门口说：
“先生.我的生日正巧与那边的将军一样”.
大家傻了似的望望女佣.他趁机赖掉了三杯罚酒.
那么，在几个人中，有2个人生日相同的可能性到底有多大，即几个人中，有2个人生日相同的概率是多少呢?故事中情境是一种必然还是一种偶然呢?
下面，我们就带着这个问题，学习研究一个历史上很有名的趣味性问题——生日相同的概率.
Ⅱ.经历实验、统计等活动过程，估计复杂随机事件(生日相同)的概率
[师]400个同学中，一定有2个同学的生日相同(可以不同年)吗?
[生]一定!
[师]依据是什么呢?
[生]抽屉原理——把m个东西任意放进n个空抽屉里(m>n).那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西.
在上面的问题小，由于一年最多有366天，因此，在400个同学中一定会出现至少2个人出生在同月同日.就相当于把400个东西放到366个抽屉里，一定至少有2个东西放在同一抽屉里.
[师]这位同学解释得很精彩!同学们可接着思考：300个同学中，一定有两个同学的生日相同吗?
[生]这就不敢保征了.
[师]但我认为我们班50个同学中很可能就有2个同学的生日相同.
[生]不可能吧？！(惊讶)
[师]不相信吗?我们现在就来调查一下全班同学的生日，看看有无2个同学的生日是相同的.
为了节约时间，写生日时，可以进行一定的简化，如可将“2月16日”记为“0216”.然后，我们请两位同学把结果板演在黑板上.同时，请同学们想一想：在结果未出来之前，你能猜想到什么？
[生]没有2个同学的生日相同.
[生]有2个同学的生日相同.
[生]也许会有3个同学的生闩相同，
……
[师]有3个同学的生日当然也必然有2个同学的生日相同了.这节课我们研究的只要有2个同学的生日相同即可.
但是，如果咱们班50个同学中市两个同学的生日相同，那么能说明这50个同学中有
2个同学生日相同的概率是1吗?如果咱们班没有两个同学的生日相同，能说明其相应概率为0吗?
[师]调查的结果出来了.同学们根据调查的结果，反思并评判一下上面的两个问题.
[生]咱们班50个同学中有2个同学的生日相同，并不能说明50个同学中行2个同学生日相同的概率是1；而50个同学中没有2个同学生日相同.也不能说明其相应概率为0.
[生]我也这样想的.例如“随意抛掷一枚硬币.落地后国徽朝上，我们就说同徽朝上的概率为1，国徽朝下的概率是0，很显然是错误的.概率的意义应是建立在大量的重复实验的基础上，用事件发生的频率近似地表示概率.因此.我们要真正体验随机选取的50个同学中有2个同学生日相同的概率，必须经过大量的重复的实验去体会、感受.
[师]出示投影片：(§6.3.1 A)
活动一：每个同学课外调查10个人的生日，从全班的调查结果中随机选择50个被调查人，看看他们中有没有2个人的牛日相同.将全班同学的调查数据集中起来，设计一个方案.估计50个人中有2个人生日相同的概率.
(1)设计目的：旨在通过具体收集数据、进行实验、统计结果等过程，进一步丰富学生的数学活动经验，同时对本节问题有比较自观的感知，经历用实验频率估计理论概率的过程，并初步感受到体问题的概率较大.
(2)准备工作：每个同学课外调查10个人的生日，为了节约时间，可仿照前面的办
法，进行一定的简化，如可将“3月8日”记为“0308”.
(3)设计方案：(可由学小生自主设计，这里的方案，在具体实验时仅供参考)
方案一：在具体实验时，可以将学生所调查的生日写在纸条上并放在箱子里随机抽取.
方案二：将每个同学所调查的生日随机排列成某一适当的形式(如方阵)，然后，再按照某规则从中选取50个进行实验，例如排成20×25的方阵，由学生随机说出从某行某列的一个数开始，从左往右，自上而下地数出50个数，进行实验.
方案三：要求学生每次随机地写下自己查的一个生日，再汇总.
(4)过程指导：
(a)收集数据为了节约时间，可以对生日的表示方式简化，还可以以小组的形式参与整理、收集数据，以保证时间的充分利用.
(b)鼓励学生大胆地发言，交流、讨论从大量重复实验过程中初步感受到本问题的概率较大.
(c)在活动和分析的基础上，激励学生提出更好的活动方案，例如，可发动大家随机地写出1～365之间的某一个自然数代表生日进行实验；让同学们分工合作制作365个依次写有1～365的自然数的卡片，放入纸箱，然后随机抽取1张，记下号码放，回去；再随机抽取1张，记下号码，放回去；再从中抽取，一张……直至抽取第50张.记下号码为一次试验.重复多次实验，即可估计出50个人中有2个人生日相同的概率，实际上这就是模拟实验.
(5)评价指导
(a)主要评价学生的参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作交流的情况.
(b)鼓励学生思维的多样性.
(c)关注学生能否用实验的方法估计一些较复杂的随机事件发生的概率.
(d)关注学生对概率的理解是否全面.
[师]通过大量重复的试验，你能估算一下50个人中有2个人生日相同的概率吗?
[师生共析]我们可从实验的频率估计理论概率，并使我们感受到本问题的概率较大。
约为0.9704.其计算过程稍后再说明.
[生]难怪老师刚开始那么肯定地说：“咱们班50个同学中很可能有2个同学的生日相同.”
[生]原来《红楼梦》中贾宝玉和探春说的“遇的巧”，实则是极为平凡的事.
[生]美国数学家伯格米尼和与高级军官一起用餐的那个人，原来他们早已知道这里的“玄机”了.
[师]这个问题出入意料之处在于其结果违反了人们的自觉.人们往往觉得两个人生日相同是一种可能性不大的事情.但计算结果告诉我们：如果人数不少于23人，那么这种可能性就会达到50％.下面是一张说明“几个人中至少有两人生日相同”的概率大小表，你看了一定会很吃惊吧!(出示投影片§6.3.1 B)
n
P
n
P
n
P
20
0.4114
34
0.7953
48
0.9606
21
0.4437
35
0.8144
49
0.9658
22
0.4757
36
0.8322
50
0.9704
23
0.5073
37
0.8487
51
0.9744
24
0.5383
38
0.8641
52
0.9780
25
0.5687
39
0.8781
53
0.9811
26
0.5982
40
0.8912
54
0.9839
27
0.6269
41
0.9032
55
0.9863
28
0.6545
42
0.9140
56
0.9883
29
0.6810
43
0.9239
57
0.9901
30
0.7305
44
0.9329
58
0.9917
31
0.7305
45
0.9410
59
0.9930
32
0.7533
46
0.9483
60
0.9941
33
0.7750
47
0.9548
Ⅲ.应用、深化——比一比、赛一赛
出示投影片(§3.1 C)
活动二：课外调查的10个人的生肖分别是什么?他们中有2个人的生肖相同吗?6个人中呢?利用全班的调查数据设计一个方案，估计6个人中有2个人生肖相同的概率.
(1)设计目的：本问题与生日问题类似，借助于课外调查的数据再次进行有关问题的概率估算，丰富数学活动的经验，对较复杂的概率问题有较直观的感受.
(2)设计方案：(可由学生模仿生日问题，自主设计，这里的方案在具体实验时仅供参考)
方案一：将每个同学所调查的生肖随机排成某一适当的形式(如方阵)，然后按照某规则从中随机抽取6个进行实验.
方案：二：分小组实验(6人一组)，要求小组每个成员每次随机地写下自己所调查的一个生肖，由小组组长汇总收集数据，统计结果.最后根据全班收集的数据.估算出6个人中有2个人生肖相同的概率.
方案三：可以将学生所调查的生肖写在纸条上，并放到某个箱子中随机抽取.
(3)过程指导
(a)鼓励学生积极、大胆地发言，阐述自己的没计方案.在讨论、交流的过程小进一步感受到大量重复试验中频率稳定于概率的基本意义.
(b)在活动和分析的基础上，激励学生探索出该问题的模拟实验.
①评价指导：
(a)主要评价学生能否用实验的方法估计一些复杂的随机事件的慨率.
(b)鼓励学生思维的多样性，关注学生对概率意义的理解是否全面.
(c)6个人中有2个人生肖相同的概率约为0.78.在这里不要求学生把结果精确到具体哪一位.
Ⅳ.课时小结
[师]在这节课快要结束时，我还有一个故事要说，在美国的一次大选期间，两位朋友在一起叙谈，谈到了生日问题.其中一位是懂数学的.他说，以往的36届总统中，该有生日相同的.另一位不信.后来他们查了资料.发现确有生日相同的，而且逝世日相同的：
扑尔克和哈定都生于11月2日，扑尔克生于1795年.而哈定生于1865年.
还有，亚当斯、杰弗孙、门罗三人也都死于7月4日.前两位都是1826年去世的，后面一位死于1831年.
一些别有用心的人常常利用人们这种直觉上的错误，把这些看似巧合，实则平凡而且极为平凡的现象大加渲染，从中谋取暴利.我们要想破除这种迷信思想.必须从科学的角度，通过实验估计随机事件发生的概率，用“知识”去武装我们的头脑.
Ⅴ.课后作业
1.课本习题6.4
2.从网上收集《自觉引出的错误——概论悖论》并在全班交流.
Ⅵ.活动与探究
用“树图”原理，求如果你们班上有48人，那么至少有两人生日相同的概率.
[过程]我们设想有365只盒子，盒子上分别标有“1月1日”“1月2日”……“12月
31日”；另有48颗小球，上面分别写有你班上海个同学的姓名.然后，我们把球随意地抛进盒子中去，如果标着“张三”的球抛进写着“2月5日”的盒子里，那么意味着“张三的生日是2月5日”；如果标着“李四”的球抛入写着”11月11日”的盒子里，那么意味着“李四生于11月11日”；如果标着“赵五”和”王六”的球同时落在写着“8月7日”的盒子里，那么就意味着”赵五和王六的生日相同，都是日月7日”.于是，看有没有同学生日相同，只要看有没有两颗以上的球落在同一盒子里.因此，求“48人中至少有两人生日相同”的概率，只需求“48颗球中，至少有两颗落在同一盒中”的概率.
但是“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”的概率不容易求，而它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”的概率却比较容易求得，因此我们可以先求出它的对立事件的概率，然后再根据上节所述的公式求出它的概率.
“48颗球分别落在不同的盒中”的概率仍可利用树图求出.不过这个树图画起来太繁，不妨把树图默记在心中
抛第一颗球，有365种可能，抛第二颗球，又有365种可能……因此，这张树图，最终应有
个分叉点.
其中.有多少种情况是“分别落在不同的盒子中”的呢?
抛第一颗球，有365种可能.抛第二颗球时，当然仍有365种可能，但其中只有364种可能是与第一颗球不落在同一盒中的.抛第三颗球时，仍应有365种可能，但其中只有363种是与前两颗球不重复的……因此，这张树图中，只有365×364×363×…×318个分叉点符合“不落入同一盒”的要求.所以，“48颗球分别落在不同的盒中”的概率是
=0.0394
[结果]把事件“48颗球中至少有两颗落在同一盒中”记作A.它的对立事件“48颗球分别落在不同的盒中”可记作 ，于是
P(A)＝1-P()
＝1-0.0394＝0.9606.
即“48个人中至少有两人生日相同”的概率是0.9606.其余情况.可类似地进行计算.
板书设计
备课资料
直觉并不可靠
盲棋战
没有学过概率论的人，常常凭直觉估计一个偶然事件发生的概率的大小.但是，直觉常常会欺骗我们.有人说.在数学的各个分支小，没有哪一个分支像概率论那样有那么多的例子能说明直觉的不可靠.这话不假.本章各篇都是这样的例子.不过，为了揭露直觉的错误，要计算出正确的结果×常常需用到不少专门知识，这里就没法向少年朋友介绍了.好在有一个弥补的方法——做试验，只要你肯动手做试验.并且做大量的试验，你会理解的.
这篇文章讲的是怎样排比赛名单的故事. 少年宫请来了一位象棋大师，他对少年象棋队的队员们做了一些辅导之后，决定与少年棋手来几盘棋赛.大师的棋艺高出少年棋手好多好多.怎么能比呢？不要紧，大师下的是盲棋——不看棋盘，由别人将对手的走着告诉大师，大师再把自己的走着告诉这个人，由他代走.
比赛作了这样的约定：由少年象棋队挑出两名队员，轮流与大师赛棋，共赛三盘.如果能连胜大师两盘，就算少年棋队胜.注意，是连胜两盘，不是共胜两盘.
假定少年棋手甲能胜大师的概率中0.75，乙能胜大师的概率是0.5.那么少年棋队应该用“甲——乙——甲”.还是用“乙——甲——乙”的阵容来对付大师呢?
“当然用‘甲—乙——甲’阵容啦!甲是我队最好的队员嘛！”少年棋队的队员们一致这样看.
其实，“甲——乙——甲”阵容战胜大师(连胜两盘)的概率只有，而“乙——甲——乙”阵容战胜大师的概率却达到 ，后者大一些.
直觉欺骗了你!
为什么呢?我们在这里只作一些直观的解释
用“甲 乙 甲”阵容参战.最佳的棋手甲可以上场两次.看来好像是有利的.但是，我们现在的规则是：连胜两盘才能算少年队赢.用这个阵容，即使甲胜了两盘，也没用，因为不是“连胜”两盘.
要连胜两盘，必须在第二盘比赛中取胜，因此第二盘比赛上关键.而“乙 甲 乙”阵容，就是把最佳选手甲安排在最关键的场合，
所以是较好的方案.
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
