九年级数学角的平分线1北师大版.doc

角的平分线
【教学目标】 1.掌握角平分线的性质定理和它的逆定理的内容、证明；能运用角平分线性质定理及其逆定理证明角相等和线段相等.
2.渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想.
【教学重点】角平分线的性质定理和逆定理的应用.
【教学难点】正确区分和灵活运用性质定理与逆定理.  
【教学过程】 一、角平分线性质定理的探求与证明
1.复习引入课题 （1）什么是角平分线？什么是三角形的角平分线？二者有何异同？ （2）点与点的距离指什么？点到直线的距离呢？
（3）关于直角三角形全等的判定有哪几种方法？
（4）用量角器画出图1中的∠AOB的角平分线OC.
2.画图探索并证明角平分线的性质
（1） 让学生在角平分线OC上任取一点P，并分别作出表示P点到∠AOB两边的距离的线段PD、PE.
（2）度量一下，这两个距离的大小之间有什么关系？为什么？ 在度量的基础上引导学生猜想，并用直角三角形全等的知识证明角平分线的性质，得出定理.
定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
分析：这是一个文字命题，首先要分清命题的题设和结论. 并画图，写出已知、求证，再证明. 引导学生自己完成，教师简单点评.
(3) 强调定理的条件和结论，结合图形写出运用性质定理的表达式.
如图1，∵∠POD=∠POC，且PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE（角平分线的性质定理）.
3.逆向思维探求角平分线的判定定理 （1）学生把定理1的条件和结论互换，并思考所得的命题是否成立？如何证明？
请一位同学叙述证明过程，得出定理2——角平分线的判定定理.
定理2 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.
（2）根据图形写出运用定理2的表达式.
如图1，∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，∴∠POD=∠POC（角平分线的判定定理）.
4.注意事项：（1）定理1和定理2都是关于角的平分线的，已知角平分线用性质为定理1，由所给的条件判定出角平分线是定理2.
即定理1（性质定理）直接用于证明两条线段相等，而定理2（判定定理）直接用于证明两个角相等. （2）当已知条件中有符合两个定理的条件时，可以直接由定理得出相应的结论，而不用再证明全等，这样可以简化证明过程. 不少同学喜欢证明全等却不会直接用这两个定理，要引起重视.

二、应用举例，变式练习
例1 如图2，△ABC的角平分线BD和CE交于点F，
（1）求证：F到AB、BC和AC三边的距离相等；
（2）求证：AF平分∠BAC；
（3）求证：三角形中三条内角平分线交于一点，而且这点到三边的距离相等；
（4）怎样找出△ABC内到三边距离相等的点？
（5）若将“角平分线BD和CE交于点F”改为“两条外角平分线BD、CE交于点F”，如图3，那么（1）——（3）的结论是否会改变？怎样找△ABC外到三边所在的直线距离相等的点？共有多少个？
首先引导学生集体讨论，选几个代表发言，理清思路，然后由学生独立完成书面证明（根据实际情况选做几题），教师简评. 几点说明：（1）通过此题达到巩固角平分线性质定理（第（1）题）和判定定理（第（2）题）的目的；（2）此题提供了证明“三线共点”的一种常用方法：先确定两直线交于某一点，再证明这点在第三条直线上；（3）在引导学生对题目的条件进行类比联想（第（5）题），观察结论如何变化，培养发散思维能力.
练习：1、已知：如图4，在四边形ABCD中，AB=CD，AB⊥BC，AD⊥DC. 求证：点C在∠DAB的平分线上.
2、已知：如图5，OE平分∠AOB，EC⊥OA于C，ED⊥OB于D. 求证：（1）OC=OD；（2）OE垂直平分CD.
小结：角平分线的性质定理