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第十五章 分式
15.3 分式方程
课时1 分式方程的解法
【知识与技能】
(1)理解分式方程的意义.
(2)理解解分式方程的基本思路和解法.
(3)理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法.
【过程与方法】
经历由分式方程转化为整式方程的过程，体会转化思想.
【情感态度与价值观】
在探索分式方程的解法的过程中，体会通过探索得到发现的乐趣.
解分式方程的基本思路和解法.
解分式方程时可能无解的原因.
多媒体课件.
教师出示问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相等,江水的流速为多少？
学生依照教材中的分析，完成填空，根据“两次航行所用时间相等”这一相等关系列出方程：
教师追问：方程与以前学过的整式方程有什么不同？
学生思考、讨论后再全班交流，教师以此引出本节课题并板书.
探究1：分式方程的概念
师生共同概括：分母中含未知数的方程叫作分式方程.(教师板书)
教师接着让学生举出一个分式方程的例子，学生口答.
接着出示练习题：判断下列各式哪个是分式方程.
学生先思考，再举手回答：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程.
探究2：分式方程的解法
教师提出问题：怎样解分式方程呢？
然后让学生回答以下问题：
(1)回顾解一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？
(2)有没有方法可以去掉分式方程的分母，把它转化为整式方程呢？
学生先自主探索，再合作学习并进行总结.
然后师生共同解方程.①(教师板书)
解：给方程两边同乘(30+v)(30-v)，约去分母，得
90(30-v)=60(30+v).
解这个整式方程，得v=6.
检验：将v=6代入①中，左边＝=右边，因此v=6是分式方程①的解.
所以江水的流速为6 km/h.
教师概括：上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
教师出示投影：解方程.②(师生共同完成)
解：给方程两边同乘(x+5)(x-5)，约去分母，得x+5=10.
解这个整式方程，得x=5.
教师：事实上，当x=5时，分母x-5与x2-25都是0，方程中出现的两个分式都没有意义.因此，x=5不是分式方程的根，应当舍去，所以原分式方程无解.
教师进一步引出增根的概念：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
教师追问：那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
学生先思考，再小组交流，最后选取代表回答：
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).给方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解v=6.当v=6时，(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，方程①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与方程①的解相同.
给方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5.当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，给方程②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使方程②出现分母为0的现象.因此这样的解不是方程②的解.
最后教师总结验根的方法：解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程的分式的分母为0.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值是否为0.如果为0，即为增根.
教师分别出示教材P151例1、例2：
例1解方程：
解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3x-9.
解得x=9.
检验：当x=9时，x(x-3)≠0.
所以原分式方程的解为x=9.
例2解方程：
解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得x=1.
检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.
所以原分式方程无解.
让两名学生分别在黑板上完成，其余学生在草稿本上完成，教师巡回指导.
接着，让学生独立完成教材P150练习和P152练习，同桌之间互相检查.
1.分式方程的概念：分母中含未知数的方程叫作分式方程.
2.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.
3.解分式方程的一般步骤：
(1)在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程.
(2)解这个方程.
(3)把整式方程的根代入原分式方程，看方程左右两边是否相等，并检验最简公分母是否为0.
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