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22．1.1 二次函数
01 教学目标
1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
02 预习反馈
阅读教材P28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．
1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．
(1)下列函数中，不是二次函数的是(D)
A．y＝1－x2 B．y＝(x－1)2－1
C．y＝(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2)2－x2
(2)二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．
【点拨】 判断二次函数要紧扣定义．
2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y＝ax＋b(a，b是常数，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．
如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．
解：S表＝4πr2.
03 新课讲授
例1 (教材P28问题1)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．
【解答】 每个球队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m＝n(n－1)＝n2－n.
【跟踪训练1】 (22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝x2－x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．
例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
【解答】 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量y＝20(1＋x)2．
【跟踪训练2】 (22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)
A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)
C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)
例3 (教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面积为y cm2.
(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？
(2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？
【解答】 (1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.
∴y是x的二次函数．
(2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.
【点拨】 几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．
【跟踪训练3】 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式．
解：S＝a•＝－a2＋30a.
04 巩固训练
1．下列方程是一元二次方程的是(A)
A．(5－a)2＝2 B．3x2＋x－y2＝0
C．y2＝5－(2y－y3) D．x－＋1＝0
2．若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．
3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y＝x2＋2x＋1．
4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y＝－x2＋15x(不要求写出自变量x的取值范围)．
5．已知函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．m为何值时，它是二次函数？
解：m＝4.
【点拨】 不要忽视m＋1≠0.
05 课堂小结
1．二次函数的定义．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a≠0，a，b，c为常数．
3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？
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