初三数学勾股定理“一、二”专题辅导.doc

勾股定理“一、二” 闫芳勾股定理是人类的宝贵财富，它揭示了直角三角形三边之间的关系，是平面几何中的一个极为重要的定理。尤其是其体现出来的“数形结合”、“数形统一”思想方法更具有科学创新的重大意义。一、勾股定理在初中阶段常见错误及应用拓展1、思维定势例1 在直角ABC中，已知两边长为3和4，求第三边长错解：由勾股定理得第三边长为5错因剖析：这是很多同学在学习勾股定理时屡犯的错误，主要在于受勾3、股4、弦5的影响，不假思索得出以上错误结论正解：题中已知两边可能为两直角边也可能为一直角边和一斜边，因此应分类讨论：（1）当3和4同时为直角边时，第三边为；（2）当3为直角边时，4为斜边时，第三边为2、生搬硬套例2 已知三角形的三边长a=12，b=20，c=16，这个三角形是直角三角形吗？错解：a2+b2=122+202=544，c2=162=256，由a、b、c组成的三角形不是直角三角形错因剖析：本题错在只是表面记住了a2+b2=c2，而没有分析其中的c应是a、b、c这三边中的最长边应用勾股定理逆定理判断三角形形状是应先确定较长边，然后计算较短的两条边的平方和是否等于较长边的平方正解：201612，且122+162=202，由a、b、c组成的三角形是直角三角形3、忽视条件例3 如图，一艘轮船从甲地向南偏西45方向航行80km到达乙地，然后又向北航行100km到达丙地，这时它离甲地多远（精确到1km）?错解：由勾股定理得AB=应用勾股定理的前提条件必须是直角三角形，也就是说只有直角三角形的三边才满足这个关系，题中并未指出该三角形为直角三角形，因此是滥用定理正解：过A作ADBC，垂足为D，设AD=xkm，则BD=100-x（km），由DAC=45，可得AD=xkm在RtADC中，由勾股定理得，AD2+DC2=AC2，即x2+x2=802，解得x28.3在RtADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，即28.32+（100-x）2=1002，解得x71这时它离甲地约71km4、顾此失彼例4 在ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，求BC的长错解：如图1，由勾股定理得，BD=BC=9+5=14错因剖析：错因在于只考虑了AD在ABC内部的情况，忽视了高AD也可能在ABC外部正解：（1）当B和C为锐角时，解法同上可得BC=14（2）当B为钝角时如图2所示在RtADC中，由勾股定理得DC=，同理可得BD=5。BC=DC-DB=9-5=4综上知BC=14或4说明：分类讨论是研究数学问题的常用的一种思想方法，也是一种很重要的解题策略，正确合理的讨论往往能使复杂问题条理化，简单化，从而正确求解二、勾股定理与其它学科综合题1、勾股定理在古典题目中的应用例5 九章算术中的“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何?”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺如果把该芦苇沿于水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B（如图）问水深和芦苇长各多少?剖析：初看题目，感觉所给条件不充分，再加上理解题意有偏差，就无从着手了分析此题的隐含条件就成为关键，首先要注意到芦苇的根是扎在池塘底的，这样就明确了芦苇的高度与水深的关系其次要抓住芦苇拉向岸边后，其茎长没有改变，找到这些长度之间的关系，构造三角形，问题就容易解决了解 如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺在RtACB中由勾股定理得AC2+BC2=AB2，x2+52=（x+1）2。解得x=12，x+l=13，所以水深12尺，芦苇长13尺2、勾股定理在物理中的应用例6 如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光由A射向平面镜反射之后恰巧经过点B，求B点到入射点的距离剖析：光的反射与几何中的轴对称有关，本题先用对称知识找到入射点O，再由勾股定理知识即可解决解 作B点关于镜CD的对称点B，连接AB交CD于O，则O即为入射点由对称性可得BD=BD. 又AOC=BOD，BOD=ACO=90,ACOBDO. CO=DO, CD=AB=6米，DO=3米. 在RtBDO中，BO= B入射点距离为5米。3、优化问题中的勾股定理例7 如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？剖析：这个有趣的问题是勾股定理典型的运用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图而转化为平面上的路线问题友情提醒，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于A剪开，这样展开的图形才是矩形，得到直角，才能用勾股定理解决此问题解 如图，圆柱的底面周长为2r233=18（cm），取其一半：0.518=9（cm）圆柱的高=12cm，由勾股定理得AB2=92+122=225，AB=15cm答：蚂蚁走路线AB这条路线最近，约为15cm三、勾股定理在中考中的应用1、作图题例8 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）使三角形的三边长分别为3、（按要求在图1中画一个即可）：（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（按要求在图2中画一个即可）剖析：（1），可构造两条直角边为2、2的直角三角形，则斜边为。可构造两条直角边为1、2的直角三角形，则斜边为。（2）可利用4=24，所以可构造底为2，高为4或底为4，高为2的三角形解 如图所示：2、阅读题例9 清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很感兴趣的帝王近日，西安发现他的数学专著，其中有一文积求勾股法，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出解法“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”用现在的语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长”（1）当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长：（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写证明过程（3）剖析：解题的关键是要读懂题意解 （1）当S=150时，35=15，45=20，55=25（4）正确设直角三角形的三边长分别为3k、4k、5k，说明：对本题的研究，不仅能掌握多种说明题的方法，培养思维能力，而且也会丰富研究数学问题的方法和手段3、规律探索题例10 下表中所给的每行三个数a、b、c中，abc，试根据表中已有的规律，写出当a=20时，b、c的值，并把b、c用a的代数式表示出来6，8，1062+82=l028，15，1782+152=17210，24，26102+242=26220，b，c202+b2=c2剖析 规律探索题是近几年中考的热门题型，解答时要充分利用所给信息，运用从特殊到一般的思想，来寻找一般规律，此题可观察出表中规律是（1）a2+b2=c2；（2）c=b+2，由此可建立起关于b、c的方程解 观察出表中数的规律是由得（c-b）（c+b）=a2把代入得当a=20时， 综上所述，勾股定理是刻画直角三角形三边数量关系特征的重要定理，它把“形”的特征转化为三边“数”的关系，与平面几何中的计算和证明息息相关解题时要多角度、全方位的观察，挖掘隐含条件，寻找数量关系故在数学问题的求解过程中，充分运用数形结合思想方法，可以让学生增强求知欲，更主要的是能简捷地解决某些问题，从而提高学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路