初三数学勾股定理“一、二”专题辅导.doc

勾股定理“一、二”
闫芳

勾股定理是人类的宝贵财富，它揭示了直角三角形三边之间的关系，是平面几何中的一个极为重要的定理。尤其是其体现出来的“数形结合”、“数形统一”思想方法更具有科学创新的重大意义。
一、勾股定理在初中阶段常见错误及应用拓展
1、思维定势
例1 在直角△ABC中，已知两边长为3和4，求第三边长．
错解：由勾股定理得第三边长为5．
错因剖析：这是很多同学在学习勾股定理时屡犯的错误，主要在于受勾3、股4、弦5的影响，不假思索得出以上错误结论．
正解：题中已知两边可能为两直角边也可能为一直角边和一斜边，因此应分类讨论：
（1）当3和4同时为直角边时，第三边为；
（2）当3为直角边时，4为斜边时，第三边为
2、生搬硬套
例2 已知三角形的三边长a=12，b=20，c=16，这个三角形是直角三角形吗？
错解：∵a2+b2=122+202=544，c2=162=256，
∴由a、b、c组成的三角形不是直角三角形．
错因剖析：本题错在只是表面记住了a2+b2=c2，而没有分析其中的c应是a、b、c这三边中的最长边．应用勾股定理逆定理判断三角形形状是应先确定较长边，然后计算较短的两条边的平方和是否等于较长边的平方．
正解：∵20>16>12，且122+162=202，由a、b、c组成的三角形是直角三角形．
3、忽视条件
例3 如图，一艘轮船从甲地向南偏西45°方向航行80km到达乙地，然后又向北航行100km到达丙地，这时它离甲地多远（精确到1km）?

错解：由勾股定理得AB=
应用勾股定理的前提条件必须是直角三角形，也就是说只有直角三角形的三边才满足这个关系，题中并未指出该三角形为直角三角形，因此是滥用定理．
正解：过A作AD⊥BC，垂足为D，设AD=xkm，则BD=100-x（km），由∠DAC=45°，可得AD=xkm．
在Rt△ADC中，由勾股定理得，AD2+DC2=AC2，
即x2+x2=802，解得x≈28.3．
在Rt△ADB中，由勾股定理得，AD2+BD2=AB2，
即28.32+（100-x）2=1002，解得x≈71．
这时它离甲地约71km．
4、顾此失彼
例4 在△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上的高AD=12，求BC的长．
错解：如图1，由勾股定理得，BD=
∴BC=9+5=14．

错因剖析：错因在于只考虑了AD在△ABC内部的情况，忽视了高AD也可能在△ABC外部．
正解：（1）当∠B和∠C为锐角时，解法同上可得BC=14．
（2）当∠B为钝角时如图2所示．在Rt△ADC中，由勾股定理得DC=，同理可得BD=5。
∴BC=DC-DB=9-5=4．
综上知BC=14或4．

说明：分类讨论是研究数学问题的常用的一种思想方法，也是一种很重要的解题策略，正确合理的讨论往往能使复杂问题条理化，简单化，从而正确求解．

二、勾股定理与其它学科综合题
1、勾股定理在古典题目中的应用
例5 《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何?”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿于水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′（如图）．问水深和芦苇长各多少?
剖析：初看题目，感觉所给条件不充分，再加上理解题意有偏差，就无从着手了．分析此题的隐含条件就成为关键，首先要注意到芦苇的根是扎在池塘底的，这样就明确了芦苇的高度与水深的关系．其次要抓住芦苇拉向岸边后，其茎长没有改变，找到这些长度之间的关系，构造三角形，问题就容易解决了．
解 如图，设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺．在Rt△ACB′中由勾股定理得

AC2+B′C2=AB′2，x2+52=（x+1）2。解得x=12，x+l=13，所以水深12尺，芦苇长13尺．
2、勾股定理在物理中的应用
例6 如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光由A射向平面镜反射之后恰巧经过点B，求B点到入射点的距离．

剖析：光的反射与几何中的轴对称有关，本题先用对称知识找到入射点O，再由勾股定理知识即可解决．
解 作B点关于镜CD的对称点B′，连接AB′交CD于O，则O即为入射点．
由对称性可得BD=B′D. 又∵∠AOC=∠B′OD，∠B′OD=∠ACO=90°,
∴△ACO≌△B′DO. ∴CO=DO, ∵CD=AB=6米，∴DO=3米. 在Rt△BDO中，BO= ∴B入射点距离为5米。
3、优化问题中的勾股定理
例7 如图所示，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？

剖析：这个有趣的问题是勾股定理典型的运用，此问题看上去是一个曲面上的路线问题，但实际上可通过圆柱的侧面展开图而转化为平面上的路线问题．
友情提醒，在剪开圆柱侧面时，要从A开始并垂直于A剪开，这样展开的图形才是矩形，得到直角，才能用勾股定理解决此问题．
解 如图，圆柱的底面周长为2πr≈2×3×3=18（cm），取其一半：0.5×18=9（cm）．圆柱的高=12cm，由勾股定理得AB2=92+122=225，∴AB=15cm．
答：蚂蚁走路线AB这条路线最近，约为15cm．
三、勾股定理在中考中的应用
1、作图题
例8 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）使三角形的三边长分别为3、、（按要求在图1中画一个即可）：
（2）使三角形为钝角三角形且面积为4（按要求在图2中画一个即可）．
剖析：（1）∵，∴可构造两条直角边为2、2的直角三角形，则斜边为。
∵可构造两条直角边为1、2的直角三角形，则斜边为。
（2）可利用4=×2×4，所以可构造底为2，高为4或底为4，高为2的三角形．
解 如图所示：

2、阅读题
例9 清朝康熙皇帝是我国历史上一位对数学很感兴趣的帝王．近日，西安发现他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出解法．
“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数．”
用现在的语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：；第二步：；第三步：分别用3、4、5乘k，得三边长．”
（1）当面积等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长：
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写证明过程．
（3）剖析：解题的关键是要读懂题意．
解 （1）当S=150时，，
∴3×5=15，4×5=20，5×5=25．
（4）正确．设直角三角形的三边长分别为3k、4k、5k，，
∴
说明：对本题的研究，不仅能掌握多种说明题的方法，培养思维能力，而且也会丰富研究数学问题的方法和手段．
3、规律探索题
例10 下表中所给的每行三个数a、b、c中，a<b<c，试根据表中已有的规律，写出当a=20时，b、c的值，并把b、c用a的代数式表示出来
6，8，10
62+82=l02
8，15，17
82+152=172
10，24，26
102+242=262
…
…
20，b，c
202+b2=c2
剖析 规律探索题是近几年中考的热门题型，解答时要充分利用所给信息，运用从特殊到一般的思想，来寻找一般规律，此题可观察出表中规律是（1）a2+b2=c2；（2）c=b+2，由此可建立起关于b、c的方程．
解 观察出表中数的规律是
由①得（c-b）（c+b）=a2．③
把②代入③得
当a=20时，
综上所述，勾股定理是刻画直角三角形三边数量关系特征的重要定理，它把“形”的特征转化为三边“数”的关系，与平面几何中的计算和证明息息相关．解题时要多角度、全方位的观察，挖掘隐含条件，寻找数量关系．故在数学问题的求解过程中，充分运用数形结合思想方法，可以让学生增强求知欲，更主要的是能简捷地解决某些问题，从而提高学生的直觉思维能力和形象思维能力，开拓解题新思路．