资源描述
18.1.2 平行四边形的判定（三）
一、 教学目标：
1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．
2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．
3．经历探索、归纳、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．
4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．
二、 重点、难点
1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．
2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．
三、问题设计的意图分析
课堂引入中的两个问题是为这节课定理的证明做准备的，目的是引导学生如何寻找证明思路，特别是问题2（学生以前做过的问题）中对方法的总结——见中点往往考虑做全等三角形或平行四边形是解决定理证明的关键，同时引导学生对定理中的问题进行分析：要证平行应考虑角的关系（条件中未给出角的有关条件，所以此法暂不考虑）或平行四边形的性质；有线段倍分关系可考虑截长补短和倍长短线法，这些方法都是定理证明的关键。动手实验和画图并对图形进行分析可以使学生非常直接和明确的得出三角形中位线的定义和定理，而不是教材中让学生感知和猜想，这样就大大降低了学生对定理的理解和证明的难度，同时也巩固了平行四边形的有关知识。
定理的证明采用了一题多解的方式，能够更好的培养学生合情推理意识，形成几何思维分析思路，总结解题方法，同时也能激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识。
完成巩固练习和课堂小结后，再重新来分析课堂引入中的问题２，利用本节所学知识——三角形中位线定理解决此题，不但让学生更好地理解巩固运用本节所学知识同时又完善总结了解题方法，起到了一举多得、画龙点睛之意。
四、教学过程
（一）课堂引入
1． 前面我们研究平行四边形时，我们常常把它分成几个三角形＿，利用三角形的全等性质 研究平行四边形的有关问题。体现了数学中重要的思想方法——转化思想
2． 方法回顾（通过旧题分析总结方法为下面定理证明做准备）
已知AD是△ABC的中线，若AB=5,AC=3,求AD的取值范围（或求证：AB+AC＞2AD）
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ａ
（这是学生曾经做过的一道题，可以构造全等三角形也可构造平行四边形来解决，通过对此题的分析引导学生回顾解题方法：①倍长中线法②见中点构造全等三角形或平行四边形③把三角形问题转化为平行四边形的问题
引入：四边形问题可以转化为三角形问题，三角形问题也可转化为平行四边形问题，这节课我们就用平行四边形的知识再来解决一个有关三角形的问题
3．创设情境
问题1：利用两个全等的不等边三角形你能拼成平行四边形吗？如果能，你能拼出几个？（利用手中的三角形纸片拼一下看看）
问题2：以不在同一直线上的三个点为顶点，画平行四边形，能画几个？如何画？依据是什么？（画出的图形如图）
（学生自己画图，然后找一生边口述画法教师边画图演示并让学生说出画法的依据：可过顶点画边的平行线，也可画和边相等的线段依据是“两组对边分别平行或平行的四边形是平行四边形”，根据学生回答适当补充）
（二）新课讲解
1、分析上面的图形，以问题形式引导学生进行逐步探索、发现、归纳
问题1：根据画图，我们得到了四个三角形，这四个三角形什么关系？你的判断理由是什么？（答：全等，由对角线把平行四边形分成两个全等三角形易知它们都全等）；
问题2：线段AD、DB，AE、CE，BF、CF它们在一条直线上吗？它们有什么关系？你的判断理由是什么？
（答：因为AD、BD都和EF平行，根据平行公理可知AD、BD在一条直线上，由平行四边形性质可得它们相等）。
2、定义学习
（1）给出定义：由上面分析可知四个三角形构成一个大三角形△ABC，D、E、F分别是△ABC三边的中点，我们把连接三角形两边中点的线段DE、DF、EF叫做三角形的中位线
（2）理解定义
问题：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？
（答：（1）一个三角形的中位线共有三条；三角形的中位线与中线的区别主要是线段的端点不同．中位线是中点与中点的连线；中线是顶点与对边中点的连线．）
3、定理学习
（1）得出定理
继续观察上面图形：三角形的中位线与第三边有怎样的关系？（答：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半——根据前面对图形的分析，学生很容易得出结论．）
（2）定理证明
根据学生回答给出定理内容：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
师：对于每一个定理我们都可以给出严格地证明，如何证明这个命题呢？
生：先将文字语言转化为几何符号语言再解决。
学生口述，教师板书——已知：点D、E、分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=BC．
学生思考后，教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三角八线”的有关内容或平行四边形对边平行的性质进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。
（学生积极讨论，教师补充引导得出几种常用方法，大致思路如下）
方法1：如图（1），延长DE到F，使EF=DE，连接CF，由△ADE≌△CFE，可得AD∥FC，且AD=FC，因此有BD∥FC，BD=FC，所以四边形BCFD是平行四边形．所以DF∥BC，DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
（也可以过点C作CF∥AB交DE的延长线于F点，证明方法与上面大体相同）
方法2：如图（2），延长DE到F，使EF=DE，连接CF、CD和AF，又AE=EC，所以四边形ADCF是平行四边形．所以AD∥FC，且AD=FC．因为AD=BD，所以BD∥FC，且BD=FC．所以四边形ADCF是平行四边形．所以DF∥BC，且DF=BC，因为DE=DF，所以DE∥BC且DE=BC．
方法３：如图（３），过点E作AB的平行线交BC于点F，过点A作BC的平行线交FE于G，因为ＡＧ∥BＣ，所以∠EAG＝∠C.又AE=EC, ∠AEG=∠CEF,所以△AEG≌△CEF.所以AG=FC,GE=EF.又AB∥GF,AG∥BF,所以四边形ABFG是平行四边形.所以BF=AG=FC,AB=GF.又D为AB中点，E为GF中点，所以DB∥EF,DB=EF.所以四边形DBFE是平行四边形.所以DE∥BF,即DE∥BC,DE=BF=FC,所以DE=BC．
A
B
C
D
E
F
G
（３）
（三）、巩固训练
1．（填空）如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，如果测得MN=20 m，那么A、B两点的距离是 m，理由是 ．
2．已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长．
3．如图，△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，
（1）若EF=5cm，则AB= cm；若BC=9cm，则DE= cm；
（2）中线AF与DE中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．
（四）、课堂小结：
（1）、转化思想——四边形和三角形问题互化
（2）、证明两线平行的方法：
A
①角；②平行四边形
（3）、见中点或中线构造全等三角形或平行四边形（倍长中线法）
E
（4）、线段倍分关系：
Ｂ
Ｃ
①截长补短、倍长短线；②三角形的中位线
Ｄ
（五）、另辟异径
已知AD是△ABC的中线，若AB=5,AC=3,求AD的取值范围
分析：取AB中点E，连接DE,则AE=AB=2.5,DE=AC=1.5,再利用三边关系很容易求得AD的取值范围.
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