八年级数学平方根1北师大版.doc

平方根
教学目标与要求：
1、了解数的算术平方根、平方根的概念。
2、了解开方与乘方运算的关系。会求非负数的算术平方根和平方根。

二、学习指导
本讲重点：（1）算术平方根、平方根的概念
② 会运用根号表示并会求数的平方根
本讲难点： （1）平方根、算术平方根的区别与联系
1、 关于算术平方根
如果一个正数的平方等于，即，那么正数叫做的算术平方根。
注意：（1）0的算术平方根为0。
（2）数a的算术平方根记作，其中。
（3）只有当时，数才有算术平方根。
2、 关于平方根
如果一个数的平方等于a , 即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根。
注意：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，记为；
0有一个平方根，就是它本身；
负数没有平方根。
（2）要分清平方根与算术平方根的区别与联系：
一个正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个；一个正数的算术平方根是一个正数，而它的平方根是一正一负
3、 关于开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方。其中叫做被开方数。
注意：（1）开平方运算与平方运算互为逆运算。
（2）一个正数开平方运算的结果有两个。
（3）负数不能进行开平方运算。
4、 关于、、
表示非负数的算术平方根，其结果也是非负数；
若，则=；
而总有意义，且当时，=；当时，=，即=.
三．典型例题
（一）平方根
1. 平方根的概念：
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根），就是说，如果x2＝a，那么，x就叫做a的平方根。
如5和-5都是25的平方根。

例1. 求100的平方根。
解：
方根。
从上面的例子可以看出：
一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
那么，0的平方根是多少？负数的平方根存在吗？
实际上，0的平方根是0，因为02＝0，且只有0的平方等于0。
负数没有平方根，因为任何一个数的平方都不为负数。
故得结论：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0的平方根是0，负数没有平方根。
2. 一个非负数a的平方根的表示方法：

3. 算术平方根：
方根。

4. 开平方：
求一个数a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。
开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行平方运算，且平方只有一个，但只有正数和0才可以开平方，负数无平方根。
因为平方和开平方互逆，故可通过平方来找一个数的平方根，也可验算平方根是否正确。
例2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出来，如果没有，说明理由。

解：（1）因为-64是负数，故-64无平方根。
（2）0只有一个平方根，是0。

例3 求下列各数的算术平方根
（1）625 （2） （3） （4）
解：（1）因为，所以625的算术平方根是25，即
（2）因为，所以的算术平方根是，即
（3）=，而，所以的算术平方根是，即
(4)因为，所以其算术平方根是
说明：由算术平方根的定义可知,求某个非负数的算术平方根,就是要求哪个非负数的平方等于它.
5. 平方根与算术平方根的区别与联系：
区别：
（1）定义不同，x2＝a，x叫a的平方根。

联系：
（1）平方根包含算术平方根。
（2）存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根。
（3）0的平方根和算术平方根均为0。
例4. 求值：

解：

根为0.8

例5 说明下列各式的意义，并求值。
（1）-； （2）； （3）.
解： （1）-表示16的负的平方根。-=-4
（2）表示的平方根，是互为相反的两个数。=
（3）表示的算术平方根，即289的算术平方根。=17
说明：在计算之前，首先要弄清各表达式的意义、它表示几个数、是正数还是负数。

例6 求下列各数的平方根
（1） 0.49 （2） （3） （4）15
解：(1)因为，所以0.49的平方根是，即
(2)因为=，而，所以的平方根是，即
(3)因为，所以的平方根是，即
(4)15的平方根是
说明：由平方根的意义可知，一个正数的平方根有互为相反的两个值，切记别漏了负值。
例7 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.
解：由题意得，且
所以，，
所以的平方根为
说明：要掌握平方运算与开方运算的关系。
例8 求下列各式中的未知数
（1） （2） （3） （4）
解：（1）由得，，所以
（2）由得，，所以或
（3）由得，，又因为，所以
（4）由得，，又因为，所以
说明：正数的平方根有两个，但具体解题时，要认真审题，看清要求，象（3）、（4）两题就不必写出两个值。

四、巩固练习
1、 选择
(1)的算术平方根是（ ）
（A）4 （B） （C）2 （D）
(2)下列各式中，计算正确的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
(3)下列语句不正确的是（ ）
（A）0的平方根是0 （B）非负数的平方根互为相反数
（C）的平方根是 （D）一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
(4)下列正方形中，边长不是有理数的为（ ）
（A） 面积为8的正方形 （B）面积为144的正方形
（C）面积为1.69的正方形 （D）面积为的正方形
(5)能使有意义的数的个数为（ ）
（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数个
(6)下列说法中，正确的是（ ）
（A）的平方根是 （B） 的平方根是
（C） 没有平方根 （D）一定有平方根
2、填空
（1）9的平方是 ，9的平方根是 ，-9是 的一个平方根，的平方根是 。
（2）. 的平方根是____________，算术平方根是____________。
（3）. ，则x＝____________。
（4） 的平方根是____________，的算术平方根是____________。
（5）= ；= ；= 。
（6）若则的平方根是__________。
（7）若则。
（8）若则。
3、解答：
（1）计算：
（2）求下列各数的平方根和算术平方根：
289、0.64、、、 、
（3）求下列各式的值：
、 、、、、
4. 求下式中的x的值：

5. 在下列各式中，哪些有意义，哪些无意义？在有意义的式子中，分别说明它们各表示的是什么数的平方根或算术平方根或负平方根。

6. 求下列各数的算术平方根：

思考题：
已知三个数89、12、3，进行如下运算：取其中任意两个数求其和再除以，同时求其差再除以，试问：能否经过若干次上述运算，得到三个数90、14、10？说明理由。
（摘自《数学培优竞赛新方法》）

五、参考答案
1、（1）C （2）C （3）C （4）A （5）B （6）D
2、（1）81、、81、 （2）. （3）.
（4）
（5）2、2、3 （6） （7）或 （8）5
3、（1）-5 （2）略 （3）60、、4.3、0.23、91、
4、

5解：

6. 解：（1）因为102＝100，故100的算术平方根是10