八年级数学平方根1北师大版.doc

平方根教学目标与要求：1、了解数的算术平方根、平方根的概念。2、了解开方与乘方运算的关系。会求非负数的算术平方根和平方根。二、学习指导 本讲重点：（1）算术平方根、平方根的概念 会运用根号表示并会求数的平方根本讲难点： （1）平方根、算术平方根的区别与联系1、 关于算术平方根如果一个正数的平方等于，即，那么正数叫做的算术平方根。 注意：（1）0的算术平方根为0。（2）数a的算术平方根记作，其中。（3）只有当时，数才有算术平方根。2、 关于平方根如果一个数的平方等于a , 即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根。注意：（1）一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，记为；0有一个平方根，就是它本身；负数没有平方根。（2）要分清平方根与算术平方根的区别与联系：一个正数的平方根有两个，而算术平方根只有一个；一个正数的算术平方根是一个正数，而它的平方根是一正一负3、 关于开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方。其中叫做被开方数。注意：（1）开平方运算与平方运算互为逆运算。（2）一个正数开平方运算的结果有两个。（3）负数不能进行开平方运算。4、 关于、表示非负数的算术平方根，其结果也是非负数；若，则=；而总有意义，且当时，=；当时，=，即=.三典型例题（一）平方根 1. 平方根的概念： 如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根），就是说，如果x2a，那么，x就叫做a的平方根。 如5和-5都是25的平方根。 例1. 求100的平方根。 解：方根。 从上面的例子可以看出： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 那么，0的平方根是多少？负数的平方根存在吗？ 实际上，0的平方根是0，因为020，且只有0的平方等于0。 负数没有平方根，因为任何一个数的平方都不为负数。 故得结论：一个正数有两个平方根，它们互为相反数。0的平方根是0，负数没有平方根。 2. 一个非负数a的平方根的表示方法： 3. 算术平方根： 方根。 4. 开平方： 求一个数a（a0）的平方根的运算，叫做开平方。开平方运算是已知指数和幂求底数。 开平方与平方互为逆运算，正数、负数、0可以进行平方运算，且平方只有一个，但只有正数和0才可以开平方，负数无平方根。 因为平方和开平方互逆，故可通过平方来找一个数的平方根，也可验算平方根是否正确。例2. 下列各数有平方根吗？如果有，求出来，如果没有，说明理由。 解：（1）因为-64是负数，故-64无平方根。 （2）0只有一个平方根，是0。 例3 求下列各数的算术平方根（1）625 （2） （3） （4）解：（1）因为，所以625的算术平方根是25，即（2）因为，所以的算术平方根是，即（3）=，而，所以的算术平方根是，即 (4)因为，所以其算术平方根是说明：由算术平方根的定义可知,求某个非负数的算术平方根,就是要求哪个非负数的平方等于它. 5. 平方根与算术平方根的区别与联系： 区别： （1）定义不同，x2a，x叫a的平方根。 联系： （1）平方根包含算术平方根。 （2）存在条件相同，非负数才有平方根和算术平方根。 （3）0的平方根和算术平方根均为0。 例4. 求值： 解： 根为0.8 例5 说明下列各式的意义，并求值。（1）-； （2）； （3）.解： （1）-表示16的负的平方根。-=-4（2）表示的平方根，是互为相反的两个数。=（3）表示的算术平方根，即289的算术平方根。=17说明：在计算之前，首先要弄清各表达式的意义、它表示几个数、是正数还是负数。例6 求下列各数的平方根（1） 0.49 （2） （3） （4）15解：(1)因为，所以0.49的平方根是，即(2)因为=，而，所以的平方根是，即(3)因为，所以的平方根是，即(4)15的平方根是说明：由平方根的意义可知，一个正数的平方根有互为相反的两个值，切记别漏了负值。例7 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根.解：由题意得，且所以，所以的平方根为说明：要掌握平方运算与开方运算的关系。例8 求下列各式中的未知数（1） （2） （3） （4）解：（1）由得，所以 （2）由得，所以或 （3）由得，又因为，所以 （4）由得，又因为，所以说明：正数的平方根有两个，但具体解题时，要认真审题，看清要求，象（3）、（4）两题就不必写出两个值。 四、巩固练习1、 选择 (1)的算术平方根是（ ）（A）4 （B） （C）2 （D） (2)下列各式中，计算正确的是（ ）（A） （B） （C） （D） (3)下列语句不正确的是（ ）（A）0的平方根是0 （B）非负数的平方根互为相反数（C）的平方根是 （D）一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 (4)下列正方形中，边长不是有理数的为（ ）（A） 面积为8的正方形 （B）面积为144的正方形 （C）面积为1.69的正方形 （D）面积为的正方形 (5)能使有意义的数的个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）无数个 (6)下列说法中，正确的是（ ）（A）的平方根是 （B） 的平方根是 （C） 没有平方根 （D）一定有平方根2、填空（1）9的平方是 ，9的平方根是 ，-9是 的一个平方根，的平方根是 。（2）. 的平方根是_，算术平方根是_。（3）. ，则x_。（4） 的平方根是_，的算术平方根是_。（5）= ；= ；= 。（6）若则的平方根是_。（7）若则。（8）若则。3、解答：（1）计算：（2）求下列各数的平方根和算术平方根：289、0.64、 、（3）求下列各式的值： 、 、4. 求下式中的x的值： 5. 在下列各式中，哪些有意义，哪些无意义？在有意义的式子中，分别说明它们各表示的是什么数的平方根或算术平方根或负平方根。 6. 求下列各数的算术平方根： 思考题：已知三个数89、12、3，进行如下运算：取其中任意两个数求其和再除以，同时求其差再除以，试问：能否经过若干次上述运算，得到三个数90、14、10？说明理由。 （摘自数学培优竞赛新方法） 五、参考答案1、（1）C （2）C （3）C （4）A （5）B （6）D2、（1）81、81、 （2）. （3）. （4） （5）2、2、3 （6） （7）或 （8）5 3、（1）-5 （2）略 （3）60、4.3、0.23、91、4、 5解： 6. 解：（1）因为102100，故100的算术平方根是10