资源描述
解一元一次不等式
知识点
1、一元一次不等式的定义
2、一元一次不等式的意义
3、在数轴上表示一元一次不等式
4、针对数轴上的表示转化为数学形式
5、不等式的基本性质
6、等式和不等式的基本性质的区别和联系
7、运用不等式的性质解一元一次不等式
8、解一元一次不等式的时候注意符号的判断
教学目标
１、掌握不等式的基本性质,理解它们与等式基本性质的异同．
２、能应用不等式的性质解一元一次不等式．
教学重点
不等式的性质以及应用
教学难点
运用不等式的性质解不等式
教学过程
一、课堂导入
不等式的相关性质:
(１)对称性:如果a＞b,那么b＜a．
(２)传递性:如果a＞b,b＞c,那么a＞c．
(３)同向可加性:如果a＞b,c＞d,那么a＋c＞c＋d．
二、复习预习
不等式的性质与等式的性质的联系及区别．
联系:不等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;而等式两边加(或减)同一个数或式子,都乘以(或除以)同一个正数,结果仍相等．
区别:对于等式来说,在两边乘以(或除以)同一个负数,结果仍相等;而对于不等式来说,在用负数乘以(或除以)不等式的两边时,不等号的方向却要改变．正是因为不等式的性质与等式的性质的这种联系及区别,导致了解一元一次不等式与解一元一次方程的联系及区别．
三、知识讲解
考点/易错点1
不等式的性质：
不等式基本性质１:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变．即如果a＞b,那么a±c＞b±c．
不等式基本性质２:不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不
变．即如果a＞b,c＞０,那么ac＞bc 或ac＞bc ．
不等式基本性质３:不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．即如果a＞b,c＜０,那么ac＜bc 或ac＜bc ．
(1)注意在不等式的两边加(或减)同一个式子,却不能在不等式的两边乘以(或除以)同一个式子．
(2)注意对不等号的方向变与不变的理解．
(3)一定要注意不等式的性质３的警惕,即不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．这条性质对初学者来说最容易忽视,导致不等式变形错误,应加以重视．
考点/易错点2
利用不等式的性质解简单的一元一次不等式
根据不等式的性质,我们可以对不等式进行适当的变形;解不等式就是利用不等式的性质把一个不等式变形为x＞a 或x＜a 的形式．
利用不等式的性质变形的步骤:
(１)观察不等式变化前后的规律;
(２)适当选择不等式的性质１、２、３;
(３)根据选择的性质变形．在利用不等式的性质进行变形时,要特别注意不等号的方向是否改变．
考点/易错点3
不等式在实际生活中的应用
根据等量关系列方程是我们解应用题的常用方法,但有的应用题中的数量是不等关系,我们可以仿照列方程的方法,根据题目中的不等关系列出不等式也可使问题得解．
四、例题精析
【例题1】
【题干】若a＞b,用“＞”或“＜”填空:
(１)a－２ b－２;(２)２a ２b;(３)－2a －2b
【答案】 (１)＞ (２)＞ (３)＜
【解析】
对照两边所产生的变化,正确运用不等式的基本性质是解决本题的关键．
(１)因为a＞b,根据不等式的性质１,不等式a＞b 的两边都减去２,不等号的方
向不变,所以a－２＞b－２．
(２)因为a＞b,根据不等式的性质２,不等式a＞b 的两边都乘以２,不等号的方
向不变,所以２a＞２b．
(３)因为a＞b,根据不等式的性质２,不等式a＞b 的两边都乘以－2
,不等号的方向改变,所以－2a＜－2b
【例题2】
【题干】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x＞a 或x＜a 的形式:
(１)x－２＜３;(２)６x＞５x－１;(３)－４x＞４．
【答案】(１)由不等式的性质１可知,不等式的两边都加上２,不等号的方向不变,
所以x－２＋２＜３＋２,即x＜５．
(２)由不等式的性质１可知,不等式的两边都减去５x,不等号的方向不变,所以
６x－５x＞５x－１－５x,即x＞－１．
(３)由不等式的性质３可知,不等式的两边都除以－４,不等号的方向改变,所
以x＜－１．
【解析】适当地选用不等式的基本性质对所给不等式进行变形,注意不等号方向的“不变”与“改变”．
【例题3】
【题干】已知三角形的两边长分别为４cm 和９cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是( )．
A、１３cm B、６cm C、５cm D、４cm
【答案】B
【解析】构成三角形的关键在于三角形的三边关系(三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边)．借助三角形三边关系,第三边的长度x 满足９－４＜x＜９＋４,即５＜x＜１３,故选B．
【例题4】
【题干】在a 克糖水中含有b 克糖(a＞b＞０),现再加入m 克糖,则糖水变得更甜了,这一实际问题说明了数学上的一个不等关系式,则这个不等关系式为 ．
【答案】 (a＞b＞０,m＞０)
【解析】糖水的甜和糖水的浓度有关;糖水的浓度＝糖的质量÷糖水的质量．此题分别表示出两次糖水的浓度,列出不等式即可．根据题意可知,原来糖水中糖所占百分比为,后来变为，糖水之所以变甜,是因为糖所占的百分比变大了,从而有 (a＞b＞０,m＞０)．
【例题5】
【题干】明和爸爸、妈妈三人玩跷跷板,爸爸坐在跷跷板的一端,小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,他们都不用力时,爸爸那端着地,已知爸爸的体重为７０kg,妈妈的体重为５０kg,那么小明的体重可能是( )．
A．１８kg B．２２kg C．２８kg D．３０kg
【答案】A
【解析】如果我们把这样一个问题抽象成数学问题,实际上就是妈妈和小明的体
重之和比爸爸的体重轻．设小明的体重为xkg,则x＋５０＜７０,在A、B、C、D四个选项中,能使不等式成立的只有选项A．
【例题6】
【题干】在数轴上表示下列不等式的解集:
(１)x＞１;(２)x≥１;(３)x＜－２;(４)x≤－２．
【答案】x＞１可以用数轴上表示１的点的右边部分表示,因为不包含１,所以在
表示１的点上画一空心圆圈,如图９．１Ｇ１(１);x≥１可用数轴上表示１的点和它的右边部分来表示,并在表示１的点上画实心圆点,表示包含１,如图(２);同样,
x＜－２可用数轴上表示－２的点的左边部分表示,如图(３);x≤－２可用数轴上表示－２的点和它的左边部分表示,如图(４)．
【解析】利用数轴表示不等式的解集
【例题7】
【题干】关于x的不等式2x-a≤-1的解集如图所示，则a的取值是（ ）
-1
0
A.0 B.-3 C.-2 D.-1
【答案】D
【解析】不等式2x-a≤-1的解集为，数轴上所表示的解集为x≤-1，
所以，解得a=-1,故应选D.
【例题8】
【题干】解不等式
【答案】x>2
【解析】去分母，得5x-1-3x>3
移项、合并同类项，得2x>4
系数化为1，得x>2
【例题9】
【题干】解不等式
【答案】x≥1
【解析】原不等式可化为
即
变形为
所以x≥1
【例题10】
【题干】解关于x的不等式ax-5>3x+6
【答案】（1）当a-3>0,时系数化为1，得
(2)当a-3<0,时，
（3）当a-3=0时，不等式无解。
【解析】移项,得ax-3x>6+5
合并同类项，得（a-3）x>11
（1）当a-3>0,时，系数化为1，得
(2)当a-3<0,时，
（3）当a-3=0时，不等式无解。
课程小结
本节课主要认识了什么是不等式以及不等式的常见表示方法，学会不等式的解集，会在数轴上表示不等式的解集。
同时针对一元一次不等式的基本性质进行讲解，在本节课的学习中，重点是利用一元一次不等式的性质进行不等式的计算，同时注意符号的变化问题。
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