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反比例的函数和性质
一、教学设计思想
本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图像和性质的过程。本课时讲解反比例函数的图像，要让学生经历列表、描点、画图的过程，并通过函数自变量的取值范围、计算函数与自变量的对应值、从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点，渗透反比例函数的性质，体会函数的三种表示方法的相互转换。通过操作、观察、概括和交流这些数学活动得到性质结论，逐步提高从函数图象中获取信息的能力。
二、教学目标
知识与技能：
1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；
2．体会函数的三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合；
3．逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并总结出反比例函数的主要性质。
过程与方法：
1．经历反比例函数主要性质的发现过程；
2．体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。
情感态度价值观：
体验到数学的探索过程中充满观察、实验、归纳、类比猜想等。
三、教学重难点
重点：掌握反比例函数的作图。
难点：反比例函数三种表示方法的相互转化。
四、教学方法
启发引导、合作探究
五、教学媒体
课件、直尺
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
画函数y=3x－1的图象；（2）求上述函数与x轴、y轴的交点坐标。
总结一次函数图象作法的基本步骤及其性质，为学习反比例函数的图象和性质作准备。
一次函数图象作法的基本步骤：列表、描点、连线。
师：我们知道，一次函数的图像是一条直线，那么我们上节课所学的反比例函数的图像到底如何呢？
下面我们亲自动手操作就会发现反比例函数图象的特点。
（二）画反比例函数的图像，揭示反比例函数的特点
活动1
例2 画出反比例函数与的图象。
分析：画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤，在反比例函数中自变量x ≠0．
我们利用列表、描点、连线，得到了与的图象，那么
（1）它们有什么共同的特征？
（2）它们之间有什么关系呢？
（3）图像为什么是断开的？是什么决定的？
小组讨论得出：（1）它们都是由两条曲线组成，曲线都无限地接近x、y轴，但不会与x轴、y轴相交，也就是反比例函数的图象是双曲线。
（2）与的图象都是轴对称图形，各有两条对称轴。它们都不会经过原点。
活动2
练习
在下面的平面直角坐标系中画出反比例函数与的图象。（可以利用与的图象之间的关系画出的图象。）
进一步熟悉画反比例函数图象的一般步骤和需要注意的问题：
（1）列表时，自变量的值可以选取绝对值相等而符号相反的一对一对的数值，这样可以简化运算，又便于描点，作出图象的对称；
（2）列表，描点时，要尽可能多取一些数值，多描一些点，这样便于连线。在连线时，必须用光滑曲线连接各点，而又不能用折线等。
在此活动中教师应重点关注：
（1）能否掌握画反比例函数图象的步骤；
（2）能否用光滑的曲线画出；
（3）能否利用与的关系画出函数的图象。
活动3
观察函数和以及和的图象。
（1）你能发现它们的共同特征以及不同点吗?
（2）每个函数的图象分别位于那几个象限？
（3）在每一个象限内，y随x的变化如何变化？
学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质。
教师参与到学生的讨论中去，积极引导。
（1）观察和以及和的图象。函数的图象在哪些象限由什么因素来决定？
通过观察讨论得出：
①的图象在哪些象限，由k来决定。
②当k>0时反比例函数的图象位于第一、第三象限；当k<0时，反比例函数的图象位于第二、四象限。
（2）像和以及和，它们的图象在每个象限，y随x的变化如何变化？
通过观察，小组讨论得出：
①y随x的变化情况也同k有关系。
②即，当k>0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x的增大而增大。
（3）为什么要强调在“每一个象限内”呢？
因为，反比例函数的图象是“断开”的。所以，y随x的变化情况也是“断开”的，因此需在每一个象限内分别讨论。
综上所述，反比例函数的图象和性质如下：
（1）反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y随x值的增大而减小；
（3）当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y随x值的增大而增大；
（三）练习
教科书43～44页的练习1、2。
熟悉反比例函数的图象和性质，进一步体会数形结合的思想。
（四）小结
你对本节知识有哪些认识？
（五）板书设计
17.1.2反比例函数的图象和性质（一）
一、反比例函数的图象 二、性质
名称：双曲线 1、k＞0:
2、k＜0:
第二课时
一、教学设计思想
首先通过填空题来帮助学生回忆上节课研究过的反比例函数的图象和性质，进一步让学生体会数形结合的思想。然后通过一些例题和练习来学习1．根据已知条件确定反比例函数的解析式，并能根据函数的解析式判断点是否在函数图象上。2．运用反比例函数的图象和性质解答数学问题，特别强调数形结合思想的应用。3．综合函数与几何知识，提高综合运用知识的能力。
二、教学目标
知识与技能：
进一步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并应用反比例函数的主要性质。
过程与方法：
1．经历用反比例函数的图象和性质解决数学问题的过程；
2．进一步体会分类讨论思想特别是数形结合思想的运用。
情感态度价值观：
在参与数学活动的过程中，体会探索、创新的乐趣，养成乐于探索的习惯。
三、教学重难点
重点：用反比例函数的图象和性质解决数学中的简单问题。
难点：数形结合思想在解题中的应用。
四、教学方法
小组讨论、合作探究
五、教学媒体
多媒体课件
六、教学过程设计
（一）创设问题情境，引入新课
1．作反比例函数图象的基本步骤是（1）__________；（2）_________；（3）__________．
2． 反比例函数的图象是由__________组成的，通常称为_________，当k>0时__________位于_________；当k<0时__________位于_________．
3． 反比例函数的图象， 当k>0时，在每一个象限内，y的值随x值的增大而________；当k<时，在每一个象限内，y的值随x的增大而__________．
4． 反比例函数的图象上任取一点，过这一点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积是_________．
5．知识结构
由学生回答，教师引导学生进一步归纳总结。
此活动中，教师应重点关注：
①学生能否顺利地完成填空；
②学生是否能由反比例函数的图象和性质整合起来理解。
（二）讲授新课
活动1
例3 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。
（1）这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
（2）点B（3，4），和D（2，5）是否在这个函数的图象上？
学生独立思考，自己解答。
教师巡视解答过程并给予引导。
在此活动中，教师应重点关注：
①是否理解反比例函数解析式的确定就是k值的确定。
②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。
活动2
例4 如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）如上图的图象上任取点A（a，b）和点B（a′b′）如果a>a′，那么b和b′有怎样的大小关系？
让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题。
在此活动中，教师应重点关注：
①学生能否从图象的特点得到m－5的符号；
②学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；
③学生能否独立思考问题。
（三）巩固提高
1．教科书45页的练习。
进一步熟悉由数得到形的特点，由形得到数的特点，渗透数形结合的思想。
2．补充：如下图，点A、B在反比例函数的图象上，且点A、B的横坐标分别为a，2a（a>0），AC⊥x轴，垂足为点C，且△AOC的面积为2。
（1）求该反比例函数的解析式。
（2）若点（－a，y1），（－2a，y2）在该反比例函数的图象上，试比较y1与y2的大小。
先由学生独立思考，寻找解题的途径。教师适当的引导，特别对于“学困生”。
分析：通过Rt△AOC的面积可知xA·xA=4．又因为点A在双曲线上，所以xA·xA=k，可求出函数的解析式，再根据反比例函数的性质，k>0，y随x的增大而减小知，自变量x越大，函数值反而小，通过比较－a与－2a的大小可知y1与y2的大小。
（四）小结
谈谈你本节课有什么新的收获？掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式。
（五）板书设计
17.1.2反比例函数的图象和性质（二）
1．反比例函数 2．反比例函数的图象和性质的应用
①定义 ②图象 ③主要性质
六、教学反思：
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