九年级数学下册 第二章 二次函数 2.4 二次函数的应用教案 （新版）北师大版-（新版）北师大版初中九年级下册数学教案.doc

2.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题 二、课时安排1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?解：活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题：某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解： 即当x1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2 2用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积 3学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）连接DE，作EFDE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y（1）求y关于x的函数关系式. （2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ 5.如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆设矩形的宽为x，面积为y （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由 【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为m矩形的一边长是2xm,其邻边长为 3.解： （1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得4x2（1002x）（802x）5 200，整理，得x245x3500，解得：x135，x210，经检验x135，x210均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y304x2(1002x)(802x)202x(1002x)2x(802x) 即y80x23 600x240 000，配方，得y80（x225）2199 500.当x225时，y的值最小，最小值为199 500.所以当矩形广场四角的小正方形的边长为225米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元 4. 在矩形ABCD中，B=C=90，在RtBFE中， 1+BFE=90，又EFDE， 1+2=90，2=BFE，RtBFERtCED，, 即.当m=8时，化成顶点式: （3）由，及得关于x的方程: ，得.DEF中FED是直角，要使DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时， RtBFERtCED.当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5. 解：（1）依题意，得y=(40-2x)x y=-2x2+40x x的取值范围是0 x 0时，y有最小值k；当a160,故由函数性质知，x=160时，利润最大，此时订房数y=50- =34，此时的利润为10 880元.例题3 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克. （1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ （2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程，得(5+x)(20010x)=1 500，解得x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，510，所以x=5.答：每千克应涨价5元.（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得y=( x +5)(20010x)= 10x2+150x+1 000，当x=时,y有最大值.因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多（四）归纳小结“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式.2.根据二次函数的最值问题求出最大利润（五）随堂检测1.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米 B.3米C.2米 D.1米 2.为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个乙商家一律按原价的80销售现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元. （1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式. （2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4某市政府大力扶持大学生创业李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本进价销售量）【答案】1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米. 2. 【解析】（1）由题意可知，当x100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x当x100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x 即100250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x; (2) 当0x100时，y1=5 000x500 0001 400 000；当100x250时， y1=6 000x-10x2=-10(x-300)2+900 0001 400 000；由得到x=400由得到故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3.【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意，得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=-(x-1)2+2.25.当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x20)y=(x20)(-10x+500)=-10x2+700x-10 000当时，w有最大值.答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润（2）由题意，得解这个方程，得x1 = 30，x2 = 40答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）抛物线开口向下.当30x40时，w2 000x32，当30x32时，w2 000 设成本为P（元），由题意，得P=20（-10x+500)=-200x+10 000, k=-2000，P随x的增大而减小.当x = 32时，P最小3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元六板书设计2.4.2二次函数的应用探究： 例题2： 例题3：“何时获得最大利润” 问题解决的基本思路.1.根据实际问题列出二次函数关系式；2.根据二次函数的最值问题求出最大利润.