八年级数学 数的开方.doc

八年级数学 数的开方
【知识要点】
1．平方根与立方根

平方根
立方根
概念
如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根，或二次方根。
如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根，或三次方根。
性质
① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
（其中正的平方根，叫做的算术平方根，记作，负平方根用符号“-”表示）
①正数有一个正的立方根，记作。
②负数没有平方根。
②负数有一个负的立方根，记作。
③0的平方根是0；即。
③0的立方根是0。
开方
求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。
求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。
移小数点规律
如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
如果开方数的小数点向右或向左每移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。
2．n次方根
定义：若一个数的n次方等于a，这个数叫做a的n次方根。其中a是被开方数，n是根指数。
性质：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数没有偶次方根；
（2）任何数a的奇次方根只有一个，且与a同正负；
（3）0的任何次方根为0。
【典型例题】
例1（1）求下列各数的平方根及算术平方根：，，，。

（2）求下列各式的值：，，

（3）求下列各数的平方根及立方根：，729，

例2（1）的平方根为（ ）
A．没有平方根 B． C．0 D．1
（2）的平方根为（ ）
A． B．没有平方根 C．0或没有平方根 D．0
（3）一个自然数的一个平方根是，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）
A． B． C． D．
（4）下列各式中值为正数的是（ ）
A． B． C． D．
例3 解下列方程
（1） 144=25 （2） -100

（3） （4）

例4 求中的值 例5 已知，求的平方根。

例6 （1）已知，，求和的值。
（2）若，，求x。

例7 已知，求的值。

【练 习】
A 组
　　1．下列各式中正确的是（　）．
　　（A） 　　　（B）
　　（C） 　 （D）
　　2． 的立方根是（　）．
　　（A）－4　　（B）±4　　（C）±2　　（D）－2
　　3． ，则 的值是（　）．
　　（A） 　　（B） 　　（C） 　　（D）
　　4．下列四种说法中：
　　（1）负数没有立方根；　　（2）1的立方根与平方根都是1；　　（3） 的平方根是 ；
　　（4） ．　　 共有（　）个是错误的．
（A）1　（B）2　（C）3　（D）4

B 组
5．（1）125的立方根等于 ，－125的立方根等于 。

（2）0.216的立方根等于 ，的立方根等于 。

（3）0.16的平方根等于 ，49的算术平方根等于 。

（4）平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数是 。

（5）64的平方根的立方根等于 ，9的立方根可表示成 。

6．求下列各式的值：
（1） （2） （3）

（4） （5） （6）

7．求下列各式中的x的值：
（1）； （2） （3）

8．（1）求625的4次方根； （2）求－128的7次方根；

（3）求的6次方根； （4）求0.00001的5次方根。

C 组
9．的立方根是（ ）
A．±4 B．±2 C．2 D．－2
10．若，，则的值为（ ）
A．－10 B．0 C．0或－10 D．0，－10或10
11．若，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．若，那么的值是（ ）
A．64 B．－27 C．－343 D．343
13．的平方根是（ ） A．－2 B．2 C． D．
14．计算

15．如果的立方根是4，求的算术平方根。

　　16．解方程：

D 组
17．已知是m的立方根，而是x的相反数，且，求的立方根。

18．与互为相反数，求的立方根。

19．，求的立方根。

20．若、为实数，且，求的相反数。

【趣数什锦】
德里岛上的灾难
据说在古希腊时代，德里群岛中有一个叫杰罗西的小岛，有一年，这个小岛上发生了大瘟疫，居民惊恐地到神庙去祈求阿波罗神，询问怎样才能免除这场灾难，巫师告诉大家：阿波罗神给我托梦说，你们对神太不虔诚，我脚下的祭坛这么小就是证明，你们如果要想免除灾难，必须做一个新的祭坛，使新祭坛体积是现有祭坛体积的两倍才行！
居民们觉得神的要求并不过分，是不难做到的，于是他们便动手建筑新祭坛，原祭坛是立方体形状的，他们认为只要把立方体每条边的长都增加一倍，新立方体就是原来立方体的两倍了。于是他们按这一方案很快地在阿波罗神的面前筑好了新的祭坛，可是，新祭坛筑好之后，瘟疫并没有停止，反而更加厉害了。
居民们又去请巫师向神祈求，巫师说，阿波罗神发怒了。他要求你们做一个体积是原来祭坛2倍的新祭坛，可是你们却造了个体积是原来体积8倍的祭坛，这不是明明与神作对吗？所以阿波罗神不肯帮忙。
居民们仔细一想也对呀！设原来祭坛的边长为1，则体积为13=1，新祭坛的边长已为2，体积就变成了23=8，可见新祭坛的体积的确是原来体积的8倍而不是2倍了。
可是要怎样才能做出一个合乎阿波罗神要求的新立方体呢？即新立方体的边长应该是多少呢？大家绞尽脑汁，谁也想不出来。他们又跑去问当时最有名的数学家，数学家也是毫无办法。这个问题就成为古希腊几何三大作图难题中的一个而流传下来了。
不过，传说只是一种传说，不足为据，真正的几何作图三大难题之一的这个问题是这样的：
“只准使用圆规和没有刻度的直尺，作一个立方体，使它的体积是另一已知立方体体积的2倍。”
这个问题称为“倍立方问题”。数学中证明了，仅用圆规与直尺是不能作这一问题的。
但是，如果要作近似的图形则是很容易的，设已知立方体的边长为，求作立方体的边长，则按作图的要求，应有或者。
这就牵涉到求2的立方根的问题。