资源描述
5.3等腰三角形复习教案
教学目标：
1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定；
2.掌握角的平分线与线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；
3.能熟练运用相关知识进行证明与计算.
教学重点与难点：
重点：等腰（边）三角形的性质、判定及其应用.
难点：与等腰三角形有关的分类讨论题.
教法与学法指导：
教法：本节课主要采用题组复习，通过题组达到巩固知识点和提升学生能力的目的.在教学过程中我按照“构建知识框架——巩固知识点——考题精析——应用提高——反思提高”的方式完成本节课的教学.
学法： 学生通过自主学习，小组合作，展开互动性学习完成本节课的学习目标.
在整个专题复习过程中，学生积极主动参与复习的全过程，特别是参与知识梳理、板演、纠错剖析、规范整理、总结归纳等环节，有效地掌握所学习的知识和方法.
课前准备:
教师准备：导学案、多媒体课件、实物投影仪．
学生准备：完成导学案，必要时查阅教材．
教学过程：
一、开门见山，明确要求
师：等腰三角形的知识对大家来说并不陌生，在我们的学习中经常用到，你知道在我们的中考中对该考点是怎么要求的吗？
（多媒体展示中考要求）
1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定；
2.掌握角的平分线与线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，并会运用它们进行有关的证明和计算．
生：（一生开头，齐读考试要求）．
设计意图：站在中考的高度，让学生明确本考点的考试要求，这样既引起了学生的重视，又能给学生起到很好的导航作用，使本节课的复习就有了明确的目标.
实际效果：学生阅读考试要求，明确了本课的复习方向.心中或多或少的对本考点的知识点及在以前的学习中容易出错的地方进行回忆.
二、基础梳理，考点透视
师：这节课我们继续探究等腰三角形，进一步探究其中蕴含的数学思想及方法.
【教师板书课题：5.3 等腰三角形】
请同学们结合下列知识网络图对本章内容进行简要回顾.
（教师留给学生3分钟时间，让学生明白本章知识及知识间的联系.）
（多媒体展示）本章知识结构图
设计意图：出示知识结构图让学生清晰、形象地了解各知识点间的联系．在此停留时间不宜太长，让学生有个大概的认识即可．
考点统计
（导学案提前下发，学生在导学案中填空．）
知识点1 等腰三角形的性质：①等腰三角形的两底角 ，即等边对 ；
②等腰三角形的顶角的平分线、 、 互相重合，简称三线合一．
知识点2 等腰三角形的判定：等角对 ．
知识点3 等边三角形的性质：等边三角形的三条边 ；三个角 ，并且都等于 ．
知识点4 等边三角形的判定：①有一个角是 的等腰三角形是等边三角形；
② 个角都相等的三角形是等边三角形；③三边 的三角形是等边三角形．
知识点5 角平分线上的点到这个角两边的距离 ；在一个角的内部，到角的两边
的点，在这个角的平分线上．
知识点6 线段垂直平分线上的点到 相等；到一条线段 的点，在这条线段的垂直平分线上．
处理方式：一生用展台展示自己的导学案，其余学生互查并纠正错误．
师：用多媒体展示答案.
1．①相等，等角；②底边上的中线、底边上的高线；2．等边；3．相等，60°；
4．①60°，②三，③相等；5．相等，距离相等；6．线段两端点的距离，两个端点距离．
设计意图：在学生展示及其相互纠错的过程中，让学生进一步巩固本节学习的知识点，把握复习重点，如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充.这样做既可以节省课上时间，也能加深学生对知识网络的理解．
实际效果:通过上课时展示，学生间相互找问题互相纠正，基本上能够将语言做到规范，准确．这样做能够曝露出学生掌握存在的问题，比直接给出答案让学生对比纠正要好的多，这样更能使学生感悟到知识的严密性，同时也节省了上课的时间．
三、基础训练，互查反馈
1．有一个内角是60°的等腰三角形是( )
A、钝角三角形 B、等边三角形 C、直角三角形 D、以上都不是
2．下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( )
A、等腰三角形两底角相等
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合
C、等腰三角形是中心对称图形
D、等腰三角形是轴对称图形
3．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD等于( )
A、3 cm B、4 cm C、1.5 cm D、2 cm
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC为( )
4题图
A、55° B、65° C、75° D、85°
3题图
6题图
5．边长为4的正三角形的高为( )
A、2 B、4 C、 D、2
6.(2010，深圳)如图，△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是( )
A、40° B、35° C、25° D、20°
7.如图，CD、BD平分∠BCA及∠ABC，EF过D点且EF∥BC， 则图中的等腰三角形有 个，它们是 .
8．（2010，宁波）如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则∠C＝ ，∠BDE＝ ，AE＝ ；若△BDC周长为24，CD＝4，则BC＝ ，△ABD的周长为 ，△ABC的周长为 .
师：请同学们迅速完成导学案上的基础题组，从中你能发现它蕴含的知识点是什么吗？
生1：第1题选B．考查等边三角形的判定．
生2：第2题选C．主要考查等腰三角形的性质及对称性．
生3：第3题选A．考查了角平分线的定义，平行线的性质及等角对等边．
生4：第4题选C．考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质及三角形的外角的性质．
生5：第5题选D．主要考查三线合一及勾股定理．
生6：第6题选C．主要考查等边对等角、三角形内角和定理及三角形外角的性质．
生7：第7题图中的等腰三角形有2个，它们是△BDE、△CDF.主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定．
生8：∠C＝72°，∠BDE＝54°，AE＝BE；BC＝10，△ABD的周长为34，△ABC的周长为38．考查了三角形内角和定理及等腰三角形“三线合一”的性质．
处理方式：学生在导学案上完成，4分钟后学生用展台展示答案，并说明理由，一生回答一个问题，其他同学互相讨论补充.
设计意图：通过基础训练，考点达标，及时获知学生对所复习知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
实际效果：学生的学习激情高涨，特别是一些希望生表现的较为突出，学习动力十足，效果较好．
四、典例探究，总结方法
例1 如图所示，△ABC中，AB=AC，D在BC上，且BD=AD，DC=AC，求∠B的度数．
思路点拨：只要把“等边对等角”这一性质用在三个不同的等腰三角形中，然后用方程思想解题，列方程的依据是三角形的内角和定理．
【解析】解：∵AB=CD（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角）．
同理 ∠B=∠BAD，∠CAD=∠CDA．
设∠B=x°，则∠C=x°，∠BAD=x°，
∴∠ADC=2x°，∠CAD=2x°．
在△ADC中，∵∠C+∠CAD+∠ADC=180°，
∴x+2x+2x=180．
∴x=36．
答：∠B的度数为36°．
方法总结：用代数方法解几何计算题常可使我们化繁为简．
跟踪练习：如图在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数？
生：一生用展台展示自己的解题过程，其余同学进行评判纠错．
解：∵AB=CD（已知），
∴∠ABC=∠C（等边对等角）．
同理 ∠A=∠ABD，∠C=∠CDB．
设∠A=x°，则∠ABD=x°，
∵∠CDB=∠A+∠ABD，
∴∠BDC=2x°，∠C=2x°．
在△ABC中，∵∠C+∠A+∠ABC=180°，
∴x+2x+2x=180．
∴x=36．
∴∠A=36°，∠C=∠ABC=72°．
处理方式：学生先根据老师的点拨在小组内开展交流研讨，完成例题的解题过程，对于跟踪练习题要求学生独立完成．
设计意图：通过例1让学生体会用代数方法解决几何问题往往能使问题变得简单化，解决过程清晰明了，随后的练习可以加强学生对该解题方法的掌握．
实际效果：绝大部分学生掌握的较好，运用自如，但是仍有两名学困生需要课下辅导．
例2 (2012，广安)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（ ）
A、45° B．75° C、45°或15° D．60°
思路导引：结合题意画出图形，有助于解题，注意分类讨论
【解析】分类讨论，
解：①当BC为底边时，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，而BD=DC=BC，所以AD=BD=DC，又∠ADB=90°，所以△ABC底角∠ABC=45°．
②当BC为腰长时，如图所示，BC=AB，AD⊥BC，AD=BC，AD=AB，
所以∠BAC=30°，因此△ABC底角∠ACB=75°．
点评：等腰三角形的边、角的计算问题，如果题目无图形，注意画图，运用数形结合解答问题，再等腰三角形问题往往有两种情况，应当分类讨论.
方法总结：在研究与等腰三角形的边角有关的计算时要注意分类，全面考虑，不要漏掉某些情况．
跟踪练习：1．如图，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，
且△APO是等腰三角形，则点P的坐标不可能是（ ）
A．(4，0) B．（1．0） C．（-2，0） D．（2，0）
2.（2012，广东肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
3.（2012，黑龙江绥化）等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 ．
4.等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程的两个解，则这个等腰三角形的周长是 ．
5．如果等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形的其他内角的大小为________．
生：1、A；2、C；3、11或13；4、7或8；5、30°，120°或75°，75°．
师：对第5小题的答案的填写情况进行规范和强调．
设计意图：分类讨论的题目也是近年来中考的热门考点，设计一道例题和四道跟踪练习题旨在培养学生养成严密的思维习惯，培养学生的发散思维和集中思维能力.
例3 如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC．
求证：AO⊥BC
思路点拨：要证AO⊥BC，即证AO是等腰三角形底边上的高，根据三线合一定理，只要先证AO是顶角的平分线即可．
证明：延长AO交BC于D．
在△ABO和△ACO中，
∵AB=AC，OB=OC，AO=AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS）．
∴∠BAO=∠CAO．
即∠BAD=∠CAD（全等三角形的对应角相等）．
∴AD⊥BC，即AO⊥BC（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）．
方法总结：与等腰三角形有关的证明题，常构造“三线合一”中的“一线”作为辅助线.
评注：本题利用了两次三角形全等也可达到目的．
跟踪练习：如图所示，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE．
求证：BD=CE．
（一生板书）
实际效果：绝大部分同学是通过作BC边上的高，借助三线合一完成，也有几名同学借助三角形全等完成的，通过两种方法的对比，体现出三线合一的优越性．
例4 求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
思路点拨：本题为文字题，文字题必须按下列步骤进行：（1）根据题意画出图形；（2）根据图形写出“已知”、“求证”；（3）写出证明过程．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC边上任一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，作BE⊥AC于E．
求证：PM+PN=BE．
证明：（法1）作PQ⊥BE于Q
∵BE⊥AC，PN⊥AC，
∴BE∥PN．
∵PQ⊥BE，AC⊥BE，
∴PQ∥NE．
∴QE=PN．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵PQ∥AC．
∴∠QPB=∠C．
∴∠ABC=∠QPB．
又∵∠PMB=∠BQP=90°，BP=PB，
∴△PMB≌△BQP（AAS）
∴PM=BQ．
∴PM+PN=BQ+QE=BE．
注：对文字题一定要逐字逐句地分析，画好图形，写出已知、求证，按步骤解题．
评注：本题也可用等积法完成．
证明：（法2）连结AP，
∵S△ABC= S△APC+ S△ABP，
B
C
P
M
E
N
Q
A
S△ABP =，
S△APC =，
S△ABC=，
∴=+．
∵AB=AC，
∴BE=PM+PN．
即：底边上任意一点到两腰距离之和等于一条腰上的高．
跟踪练习：求证等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之差等于一腰上的高．
处理方法：同位之间采用不同的方法，完成后交换批阅．然后选出较好的进行展示．
变式：（2012，烟台）如图，矩形ABCD中，P为CD中点，点Q为AB上的动点（不与A，B重合）.过Q作QM⊥PA于M，QN⊥PB于N.设AQ的长度为x，QM与QN的长度和为y．则能表示y与x之间的函数关系的图象大致是
A B C D
处理方式：学生完成后用展台展示成果并进行讲解，其余同学对展示的解题过程进行评判性的修订．
设计意图:一题多种解法，能培养学生的发散思维和集中思维能力，并对比各种方法的优缺点，从中选择最佳方法．
实际效果：通过对比，大部分学生感觉方法2（面积法）较好．
本环节设计意图：围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.老师讲解时是以基础性题目为主.把重点放在分类讨论和解题方法的引导上，让学生知道中考对等腰三角形考什么？怎么考？再者让学生通过对典型例题解答，在复习回扣考点的同时真正掌握一些题目的解题方法和处理技巧，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力.
实际效果：刚开始，学生的积极性还很高，越到后面，随着题目难度的加大，综合性越来越强，有几个学生感觉越来越吃力了.及时告诉学生，学习不是一日之功，现在还是应该以基础性题目为主.
五、课堂小结，反思提高
师:通过本节课的学习请同学们对本节课从知识方面、能力方面、情感方面做个简单的总结.
生：（学生总结反思自己的所学所得，畅谈收获，拾遗补缺．）
我懂得了…
我收获了…
设计意图：复习课大多是学生自主探究、交流、提高的过程，教师只做点拨.因此，小结的过程大胆交给学生，听听学生的感悟、体会，以便教师更好的了解学生学习经验的获得情况.
六、当堂达标，检测反馈
（教师在多媒体展示题目，学生在5分钟时间内完成后，多媒体展示答案.）
基础过关题
1.（2012，江苏淮安）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=70°，则∠BAD= °．
2.（2012，湖北黄冈）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
AB的垂直平分线交AC点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为____°．
3.(2012，四川攀枝花)已知实数x，y满足|x－4|＋＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
4.（2012，山东滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．
5.（2012，湖北荆州）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF＝2，则PE的长为( )
A
D
E
F
P
Q
C
B
A．2 B．2 C． D．3
6．等腰三角形的底角等于15°，腰长为2a，求腰上的高．
能力提高题（选做）
7．（2012，湖北孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A =36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ）
A． B． C． D．
8.（2012，莱芜）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是 .
（温馨提示：运用等积法．）
设计意图：分层巩固本节课强调的知识，进一步让学生理解本节知识的重点、难点及突破难点的方法与技巧，达到熟练应用知识的目的．
七、分层作业，课堂延伸
必做题：整理好导学案上的习题.
选做题：复习指导丛书 第 84 页- 86 页 第8，10，11，15，16，17题．
设计意图：作业分层，让能力不同的每个学生都能各有所得．对后进生来说整理好导学案就很不错了，选做题主要面对准备升学或者说有希望升学的同学，这样更能激发他们比着学甚至说“偷”着学的心理，效果要比硬性规定完成这些题目要好．
板书设计：
教学反思：
成功之处：
1.本节课我从课前准备、复习知识要点入手，为本节课的顺利进行打下了很好的基础．课堂上我始终多为学生考虑，为大多数学生考虑，务求知识的落实，注重学生的参与，特别是中等生的参与．通过学案导学、合作探究，学生的求知热情非常高涨，学生个性得到了张扬，潜力也得到了发挥，课堂效率较高．
2.实物投影让学生展现光彩．新课程标准提出：“学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者．课堂并不应该只是教师的舞台，它更应该是学生展现自我的平台”．在课堂上只要发现学生的精彩思路，我一定给学生上台展示的机会，通过实物投影让其他同学和老师共同分享自己的独特见解，课堂气氛变得热烈，同学们和老师们都为他们的想法喝彩．此时，学生真正成为了课堂学习的主人，在这个时刻，他们光彩夺目！大大提高了课堂效率．
注意改进的方面：课前准备，要进一步落实，确保课前复习的效果．找学生代表发言时，面要更广一些，简单一点的可面向后进生，进一步检查落实学生的双基，确保在第一轮复习中夯实基础，为即将进行的第二轮复习做好准备．
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