资源描述
课题：1.1.1等腰三角形
教学目标：
1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式.
2．能够用综合法证明等腰三角形的性质“等边对等角”及“三线合一性质”.
教学重点与难点：
重点：通过对等腰三角形性质的证明，掌握证明的基本步骤和书写格式.
难点：证明等腰三角形性质时辅助线的添加．
课前准备：多媒体课件．
A
B
C
D
E
F
教学过程:
一、创设情境，导入新课
活动内容：回答下列问题.
问题1： 右图是什么图形，观察它们是否 有特殊的关系？
问题2：在《平行线的证明》一章中，我们应用给出的8条基本事实，已经证明了有关平行线的一些结论，今天我们应用以前已经证明的定理和三角形的有关公理来证明有关三角形的一些结论.请思考8条基本事实中有关三角形的公理？
处理方式：问题1、2由学生口答完成. 由问题1引出要学习的内容，是和三角形全等相关联的知识点，让学生有意识的应用三角形全等知识。
公理：三边对应相等的两个三角形全等.（SSS）
公理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）
公理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）
公理：全等三角形的对应边相等，对应角相等.
设计意图：简明扼要，自然引出所要学习的内容，提高课堂效率．为后面的学习设置潜意识应用，添加辅助线，构造全等三角形，解决问题.
二、探究学习，感悟新知
活动内容1：用上面的公理证明下面的推论：
推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.
问题3：证明这个推论需要完成哪些步骤？
问题4：如何书写合理的演绎推理过程？
A
B
C
D
E
F
处理方式：学生在导学案先独立完成部分或全部过程，然后相互讨论交流，（老师巡视，收集有代表性的书写过程）利用电脑再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：∵（因为）∴（所以）的逻辑思维合理性.
已知：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°.（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E) .
又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）.
∴∠C=∠F.
又∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF.（ASA）
设计意图：本活动的设计意图在于引导学生通过自主探究、合作交流，展现演绎推理书写中的常见逻辑思维错误，及时更正，理解，为下一步的证明打好基础.
活动内容2：
问题5：是否记得等腰三角形的定义？我们学过哪些等腰三角形的性质？
问题6：等腰三角形的性质是如何得到的，用演绎推理分别证明这些性质.
处理方式：问题5让学生回答，并思考得出的方法是折叠得出的，等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等.（简称为“等边对等角”）
（2）等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合（等腰三角形的“三线合一”）
演示准备好的等腰三角形纸片，进行折叠，感觉性质的得来还是转化成重合的两个三角形，如果，用演绎推理需要添加辅助线.
问题6学生先独立完成，然后电脑展示2个同学的证明过程，进一步理解推理过程的书写.
1.你能证明等腰三角形的两个底角相等这一性质吗？
已知：如图，在ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C
（ 刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？）
（1）证明：取BC的中点D，连接AD.
∵AB＝AC（已知），
BD＝CD（已作），
AD＝AD（公共边），
1
2
∴△ABC△≌△ACD (SSS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
（2）（你是否还有其他方法证明，让同学自己在讲台说明自己的方法思路）
证明：作∠ABC的平分线交BC于D，
∵AB＝AC，∠1=∠2，AD＝AD，
∴△ABC△≌△ACD (SAS)
∴∠B=∠C (全等三角形的对应边角相等)
（3）过点Ａ，做ＡＤ⊥ＢＣ，构造三角形全等.
这里，还没有学习（ＨＬ）定理，但可以引导学生利用勾股定理证明BD＝CD，在转化△ABC△≌△ACD (SSS)
想一想：
有以上同学们的证明过程可以发现，作线段AD为等腰三角形的顶角的平分线或底边上的中线、底边上的高都可以证明结论，并且可以相互得出，由此你能得到什么结论？
（引导学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，通常简述为等腰三角形的“三线合一”.）
推论：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
设计意图：通过引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形： 我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等.实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形.能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢.
三、例题解析，应用新知
活动内容：问题7.
已知：如右图，在△ABC中，AB＝AC，点D,E都在边BC上，且AD=AE
求证：BD=CE
处理方式,：先让学生独立解答，然后小组交流，相互验证证明方法和思路，6分钟后让学生展示自己的证明过程，并说明应用每一步的理由，同学们互相学习，共同提高..
图1：直接证明△ABE△≌△ACD 可得BE=CD,两边同减DE，证得BD=CE
图2：证明∠1=∠2可得△ABD△≌△ACE ，证得BD=CE
图3：证明∠3=∠4可得△ABD△≌△ACE ，证得BD=CE
图4：利用“三线合一” ，证得BF=CF,FD=FE,相减证得BD=CE
设计意图：例题的设计主要是巩固全等三角形判定公理的应用，训练学生熟练使用三线合一解决相关问题，通过巩固练习加深对知识的理解与应用．通过一题多解训练学生多角度思考解决问题的能力.
四、巩固训练：
活动内容1：
1.等腰三角形的两边长是3和5，它的周长是 .
2. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是 .
处理方式：让学生画图解答，理解无图题的多重性，当语言不确定的情况下要学会分类讨论全面考虑1：3,3,5或3,5,5；2：80°可能是顶角，或是底角.
参考答案：1：11或13，:2： 50°，,5 0°或80°，20°．
设计意图：理解语言交代的图形问题的多种可能性，通过画图分类全面解答，加深对等腰三角形的认识，给出的条件“边”是腰还是底，同时还要考虑三边关系十分满足，角是顶角还是底角，三角形是锐角三角形还是钝角三角形．
活动内容2：
3．如图所示，△ABC中，AB=BD=DC，∠C=40°，则∠A=_______，∠ABD=_________.
4．如图所示，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD.
（1）求证：△ABD是等腰三角形.
（2）求∠BAD的度数.
4题图
A
D
B
C
3题图
处理方式：让学生画图解答，学会对图形的分析，要求，用笔在图形上做适当的标注，等量条件得出的结论，具体的数据都在图形上展示，这样可以使图形非常直观，有利于得出解答或证明的思路.
参考答案：3：∠A=80°，∠ABD=20°.4：∠BAD=90°
设计意图：学会对图形的分析，通过画草图加深对图形和条件的理解，事实证明，在图形上作特殊标注更有利于思维的连续发展，更有利于学生的快速解答．
五、回顾反思，提炼升华
活动内容：本节课你学到了哪些知识？运用了哪些方法？有哪些收获？还有什么疑问？
处理方式：学各叙己见，教师注意对学生的收获进行适当的引导，并在学生交流的基础上，明晰部分收获供学生共享，例如：通过折纸活动对获得的定理给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据；学生体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性．
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、达标检测，反馈提高
活动内容：课本第4页习题1.1知识技能：1,2,3题
处理方式：学生做完后，用电脑展示部分学生的解答，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
七、布置作业，课堂延伸
必做题：习题1.1 第4、6题
选做题：在等腰三角形中作出一些线段（角平分线、中线、高等),你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？（为下节课作铺垫）
板书设计：
1.1.1等腰三角形
1.三角形全等的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS
2.等腰三角形的性质：
（1）定理：等边对等角
（2）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
例题1：
例题2：
已知：在ABC中，AB＝AC.
求证：∠B＝∠C
例题展示区
学生板书区域
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
