资源描述
22．3 实践与探索
第1课时 利用一元二次方程解决面积、经济类问题
【知识与技能】
在已有的一元二次方程学习的基础上，知道现实生活中的一些数量关系，能够对生活中的实际问题转化为数学模型，利用一元二次方程解决实际问题，从而进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效模型．
【过程与方法】
通过自主探索和合作交流，发现问题、提出问题并尝试解决问题，经历和体验数学发现的过程，培养学生的数学应用能力．
【情感态度】
在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性，在发现的过程中提高思维品质．
【教学重点】
列一元二次方程解决实际问题．
【教学难点】
寻找实际问题中的相等关系，并分析方程的解，自主探索得到解决实际问题的最佳方案．
一、创设情境，导入新知
问题1：小明家里要建如图所示的一个长方形鸡场，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35 m，所围的面积为150 m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为多少呢？
问题2：某服装商场将每件进价为30元的内衣，以每件50元售出，平均每月能售出300件，经过试销发现，若每件内衣涨价10元，其销量就减少10件，为了实现每月8700元的销售利润，假如你是商场营销部负责人，你将如何安排进货？[解决此类问题要明确的关系式：商品利润＝每件商品利润×销售件数＝(售价－进价)×销售件数]
出示问题，教师倾听学生的交流，指导学生探究，重点关注学生能否找到解决问题的正确方案，帮助分析并提示学生要考虑问题的实际情况．
学生分组讨论，交流合作，探求方法，并完成问题．
二、合作探究，理解新知
探究问题一：与面积有关的问题
例1：某林场计划修一条长750 m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2，上口宽比渠深多2 m，渠底比渠深多0.4 m.
(1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
(2)如果计划每天挖土48 m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m，则上口宽为x＋2，渠底为x＋0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：(1)设渠深为x m，
则渠底为(x＋0.4) m，上口宽为(x＋2) m，
依题意，得：(x＋2＋x＋0.4)x＝1.6，
整理，得：5x2＋6x－8＝0，
解得：x1＝＝0.8，x2＝－2(舍去)．
∴上口宽为2.8 m，渠底为1.2 m.
(2)＝25天．
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8 m和1.2 m；需要25天才能挖完渠道．
教师可现场让学生画出图形，点拨问题，引导学生，总结结论．
探索思考
(1)解决面积问题的关键是什么？
(2)怎样快速而准确地解决这类型的题目？
引导、点拨、教师点评：准确画出几何图形是解决几何问题的关键．
先自主探索，再小组合作，交流总结．
探究问题二：与经济有关的问题
例2：某水果批发商经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
师生互动
分析：本题中涉及的关系有总利润、每千克的利润及销售量的关系、涨价与销售量的关系，因此，涨价与总利润之间有变化关系，设每千克应涨价x元，为了清楚地说明它们之间的关系列表如下：
每千克利润(元)
销售数量(千克)
总利润(元)
10
500
5000
10＋x
500－20x
6000
由学生完成解答过程，并根据题意(商场每天盈利，同时又要顾客得到实惠)对答案进行取舍．
老师提问题：如果不这样设未知数(设每千克应涨价x元)，设间接未知数又怎样来解决这些问题呢？
学生分组讨论，展示结果，师生共同点评．
本题是日常生活中经常遇到的商品经营问题．把其中的已知量与未知量之间的关系，用方程这种工具来表达时，就建立了它的数学模型，转化纯数学知识，通过解方程达到了解决问题的目的．
互动训练
1．要学生独自完成“创设情境”提出的问题，并展示解题过程．
2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的减价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多销售2件．
(1)若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
解：(1)设每件衬衫应降价x元，得
每天售出量(件)
每件利润(元)
每天盈利(元)
故列方程为：(20＋2x)(40－x)＝1200，
整理得：________________，
解之得：x1＝________，x2＝________．
因为要尽快减少库存，所以x1＝________(舍去)．
(2)这个问题的解决由学生通过分组讨论，找到答案，最后师生共同点评，老师通过此题把二次函数的思想透露给学生，激起学生的求知欲，为以后进一步学习二次函数打下伏笔．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第40页练习第1、2题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
1．构建一元二次方程数学模型，通过审题弄清实际问题中已知量与未知量之间的关系是构建数学模型、解决实际问题的关键．
2．注重解法和验根．在具体问题中要注意恰当地选择解法，以保证解题过程简单流畅，特别要注意对方程的解进行检验，根据实际情况作出正确取舍，以保证结论的准确性．
3．在解决利润方面问题时，常用的关系式有：
商品利润＝每件商品利润×销售件数＝(售价－进价)×销售件数．
售价＝进价×(1＋利润率)．
总利润＝每件商品利润×销售数量＝收入－总支出．
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第42页习题22.3的第1、3、4、5题．
第2课时 用一元二次方程解决增长率及其他问题
【知识与技能】
1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型．
2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理．
【过程与方法】
1．经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述．
2．通过解决平均增降率问题，学会将实际问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识．
【情感态度】
通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
【教学重点】
列一元二次方程解有关平均增降率问题的应用题．
【教学难点】
发现平均增降率问题中的等量关系．
一、创设情境，导入新知
问题：
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为60000 kg，第二年的产量为________kg，第三年的产量为________，三年总产量为________．
2．某糖厂2015年食糖产量为a吨，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2017年的产量将是________．
教师给出题目，学生口答，教师点评．
二、合作探究，理解新知
例题讲解
例：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
分析：绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000元，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．
相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面通过计算来说明．
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000(1－x)元，两年后甲种药品成本为5000(1－x)2元，依题意，得
5000(1－x)2＝3000，解得x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去)．
设乙种药品成本的年平均下降率为y，
则6000(1－y)2＝3600，解得y≈0.225.
答：两种药品成本的年平均下降率一样大．
思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？
学生分组讨论解答，选代表展示解答过程，并讲解解题过程和应注意的问题．
教师演示问题，指导解答，总结规律．
三、尝试练习，掌握新知
1．教材第40页练习第3题．
2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂练习”部分．
四、课堂小结，梳理新知
本节课你学到了什么知识？你感受最深的是什么？
五、深入练习，巩固新知
请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”部分．
教材第42～43页习题22.3的第2、6题．
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