贵州省贵阳市花溪二中八年级数学下册《3.4.1分式方程（一）》教案 北师大版.doc

贵州省贵阳市花溪二中八年级数学下册《3.4.1分式方程（一）》教案 北师大版
●课 题
§3.4.1 分式方程（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.
2.通过观察，归纳分式方程的概念.
（二）能力训练要求
1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.
（三）情感与价值观要求
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.
●教学重点
能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义.
●教学难点
能根据实际问题中的等量关系列出分式方程.
●教学方法
尝试——归纳相结合
教科书中提供了多个实际问题，教师鼓励学生尝试，利用具体情境中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.
●教具准备
投影片三张
第一张：小麦试验田问题，（记作 §3.4.1 A）
第二张：电脑网络培训问题，（记作§3.4.1 B）
第三张：几何问题，（记作§3.4.1 C）
●教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.
当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.根据题意，可得方程－=4.（1）
我们说，分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.
接下来，我们再来看几个这样的例子.
Ⅱ.讲授新课
列出刻画现实世界的数学模型——方程.
［师］（出示投影片§3.4.1 A）
［小麦实验田问题］
有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量.
你能找出这一问题中所有的等量关系吗？
如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________ kg.
根据题意，可得方程
____________.
［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？
［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.
［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？
［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. （a）
［生］还有一个等量关系是：
第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量 （b）
［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少 kg呢？
［生］根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000） kg.
［生］根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=. （2）
［师］,的实际意义是什么呢？
［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.
［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.
［生］根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：
+3000= （3）
［师］接下来，我们再来看一个问题（出示投影片§3.4.1 B）
［电脑网络培训问题］
王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.原定的人数是多少？
这一问题中有哪些等量关系？
如果设原定是x人，那么每人平均分摊____________元；
人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元.
根据题意，可得方程
.
［师］我们先来审题，找到题中的等量关系.
［生］由题意，可知：
实际参加活动的人数=原定人数×2倍. （c）
［生］还有一个等量关系为：
原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. （d）
［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？
［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.
［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？
讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.
［生］我代表第一小组回答.我们设未知数的方法采用投影片（§3.4.1 B）中方法：
设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程：
－4= . （4）
［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y－4）元，那么实际参加活动的人数为人，根据题意，利用等量关系（c），得方程：
2×=. （5）
［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们.（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型.
（出示投影片§3.4.1 C）

图3－2
如右图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2a,高AD=h，求内接正方形PQRS的边长.
［师生共析］由于SPQR是正方形，SR∥BC，AE⊥SR，所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长，△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差.
由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC，于是有：=（相似三角形对应高的比等于相似比）.
所以可设正方形的边长为x，由= 得：=.（其中a、h为常数）（6）
［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流.
［生］从上图中可知SPQR是正方形，所以RQ⊥BC，又因为AD⊥BC，所以AD∥RQ，△ADC∽△RQC.可得=.
即=.
所以，设内接正方形的边长为2x，根据题意，得=.（a、h为常数）.（7）
［师］你们表现得真棒！
观察方程：－=4 （1）
= （2）
+3000= （3）
－4= （4）
2×= （5）
=（其中a、h是常数） （7）
上面所得到的方程有什么共同特点？
［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.
［师］是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.
方程（6）是什么方程？
［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程.
Ⅲ.随堂练习
1.已知鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程.
分析：题中的等量关系是：
101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元.
解：x满足的方程是：101×=200.
2.补充练习
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？
解：抽调管理人员x人后，管理人员有（40－x）人，销售人员有（80+x）人，则
=.
Ⅳ.课时小结
这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程.
Ⅴ.课后作业
1.习题3.6
2.预习下一部分——分式方程的解法.
Ⅵ.活动与探究
如右图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm,高AD=80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，并求PN=2PQ时，PN的长是多少？
［过程］由于PQMN是矩形，所以AE⊥PN，这样△APN的高可写成AD—ED=AD－PQ，又PN∥BC，因此△APN∽△ABC，于是可找到PN与已知条件的关系. 图3－3
［结果］设PQ=x mm，则PN=2x mm.
PN∥BC→△APN∽△ABC→=，
即=
160x=9600－120x,
x==34
所以PN=2x=68（mm）