资源描述
第七课时
●课 题
§3.4.2 分式方程（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.解分式方程的一般步骤.
2.了解解分式方程验根的必要性.
（二）能力训练要求
1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.
2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.
（三）情感与价值观要求
1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.
2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信.
●教学重点
1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.
2.明确解分式方程验根的必要性.
●教学难点
明确分式方程验根的必要性.
●教学方法
探索发现法
学生在教师的引导下，探索分式方程是如何转化为整式方程，并发现解分式方程验根的必要性.
●教具准备
投影片四张
第一张：例1、例2，（记作§3.4.2 A）
第二张：议一议，（记作§3.4.2 B）
第三张：想一想，（记作§3.4.2 C）
第四张：补充练习，（记作§3.4.2 D）.
●教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型——分式方程.但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程.
这节课，我们就来学习分式方程的解法.我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法.
解方程+=2－
［师生共解］（1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数6，得
3（3x－1）+2（5x+2）=6×2－（4x－2）.
（2）去括号，得9x－3+10x+4=12－4x+2,
（3）移项，得9x+10x+4x=12+2+3－4,
（4）合并同类项，得23x=13,
（5）使x的系数化为1，两边同除以23，x=.
Ⅱ.讲解新课，探索分式方程的解法
［师］刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤.下面我们来看一个分式方程.（出示投影片§3.4.2 A）
［例1］解方程：=. （1）
［生］解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？
［师］同学们说他的想法可取吗？
［生］可取.
［师］同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数），可以去掉分母呢？
［生］乘以分式方程中所有分母的公分母.
［生］解一元一次方程，去分母时，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单.解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单.
［师］我觉得这两位同学的想法都非常好.那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？
［生］x（x－2）.
［师生共析］方程两边同乘以x（x－2）,得x（x－2）·=x（x－2）·,
化简，得x=3（x－2）. （2）
我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程.
［生］再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出x.即x=3x－6（去括号）
2x=6（移项，合并同类项）.
x=3（x的系数化为1）.
［师］x=3是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内讨论.
（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）
［生］x=3是由一元一次方程x=3（x－2） （2）解出来的，x=3一定是方程（2）的解.但是不是原分式方程（1）的解，需要检验.把x=3代入方程（1）的左边==1，右边==1，左边=右边，所以x=3是方程（1）的解.
［师］同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法解出例2.
［例2］解方程：－=4
（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）
解：方程两边同乘以2x，得
600－480=8x
解这个方程，得x=15
检验：将x=15代入原方程，得
左边=4，右边=4，左边=右边,所以x=15是原方程的根.
［师］很好！同学们现在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯.
我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（出示投影片 §3.4.2 B）（先隐藏小亮的解法）
议一议
解方程=－2.
（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）
［师］我们来看小亮同学的解法：=－2
解：方程两边同乘以x－3,得2－x=－1－2（x－3）
解这个方程，得x=3.
［生］小亮解完没检验x=3是不是原方程的解.
［师］检验的结果如何呢？
［生］把x=3代入原方程中，使方程的分母x－3和3－x都为零，即x=3时，方程中的分式无意义，因此x=3不是原方程的根.
［师］它是去分母后得到的整式方程的根吗？
［生］x=3是去分母后的整式方程的根.
［师］为什么x=3是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论.
（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）
［生］在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程.如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.
［师］很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.
在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根.那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？
［生］还是要把分式方程转化成整式方程来解.解出整式方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解.
［师］怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？
［生］不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的.因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母.若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根.是增根，必舍去.
［师］在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根.但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验.小亮就犯了没有检验的错误.
Ⅲ.应用，升华
1.解方程：
（1）=;（2）+=2.
［分析］先总结解分式方程的几个步骤，然后解题.
解：（1）=
去分母，方程两边同乘以x（x－1），得
3x=4（x－1）
解这个方程，得x=4
检验：把x=4代入x（x－1）=4×3=12≠0，
所以原方程的根为x=4.
（2）+=2
去分母，方程两边同乘以（2x－1），得
10－5=2（2x－1）
解这个方程，得x=
检验：把x=代入原方程分母2x－1=2×－1=≠0.
所以原方程的根为x=.
2.回顾，总结
出示投影片（§3.4.2 C）
想一想
解分式方程一般需要经过哪几个步骤？
［师］同学们可根据例题和练习题的步骤，讨论总结.
［生］解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；
（2）解这个整式方程；
（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去.使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
3.补充练习
出示投影片（§3.4.2 D）
解分式方程：
（1）=;
（2）=（a,h常数）
［分析］强调解分式方程的三个步骤：一去分母；二解整式方程；三验根.
解：（1）去分母，方程两边同时乘以x（x+3000）,得9000（x+3000）=15000x
解这个整式方程，得x=4500
检验：把x=4500代入x（x+3000）≠0.
所以原方程的根为4500
（2）=（a,h是常数且都大于零）
去分母，方程两边同乘以2x（a－x），得
h（a－x）=2ax
解整式方程，得x=（2a+h≠0）
检验：把x=代入原方程中，最简公分母2x（a－x）≠0，所以原方程的根为
x=.
Ⅳ.课时小结
［师］同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小.
［生］我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可.
［生］我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根.
［生］我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美”，必须经过检验，反思“转化”过程.
……
Ⅴ.课后作业
习题3.7
Ⅵ.活动与探究
若关于x的方程=有增根，则m的值是____________.
［过程］首先增根是分式方程转化为整式方程时整式方程的根，但却使最简公分母为零.
［结果］关于x的方程=有增根，则此增根必使3x－9=3（x－3）=0，所以增根为x=3.去分母，方程两边同乘以3（x－3），得3（x－1）=m2.
根据题意，得x=3是上面整式方程的根，
所以3（3－1）=m2,则m=±.
●板书设计
§3.4.2 分式方程（二）
一、提出问题
你能设法求出上一节课的分式方程
=.
二、探求分式方程解法
［例1］解方程=
［例2］解方程－=4
三、议一议
小亮的解法对吗？
四、想一想
解分式方程一般步骤
1.去分母
2.解整式方程
3.检验
第八课时
●课 题
§3.4.3 分式方程（三）
●教学目标
（一）教学知识点
1.用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题.
2.用分式方程来解决现实情境中的问题.
（二）能力训练要求1.经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力.
2.认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型.
（三）情感与价值观要求
1.经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣.
2.培养学生的创新精神，从中获得成功的体验.
●教学重点
1.审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分式方程的数学模型.
2.根据实际意义检验解的合理性.
●教学难点
寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法.
●教具准备
实物投影仪
投影片三张
第一张：做一做，（记作§3.4.3 A）
第二张：例3，（记作§3.4.3 B）
第三张：随堂练习，（记作§3.4.3 C）
●教学过程
Ⅰ.提出问题，引入新课
［师］前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程.
接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题.
Ⅱ.讲授新课
出示投影片（§3.4.3 A）
做一做
某单位将沿街的一部分房屋出租.每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境的等量关系吗？
（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？
［师］现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系.
［生］第二年每间房屋的租金
=第一年每间房屋的租金+500元. （1）
［生］还有一个等量关系：
第一年租出的房屋间数=第二年租出的房屋的间数.
［师］根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要.
同学们尽管提出符合情境的问题.
［生］问题可以是：每年各有多少间房屋出租？
［生］问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？
［师］下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？
［师生共析］解：设每年各有x间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为元，第二年每间房屋的租金为元，根据题意，得
=+500
解这个方程，得x=12
经检验x=12是原方程的解，也符合题意.
所以每年各有12间房屋出租.
［师］我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？
［生］根据第一问的答案可计算，得：
第一年每间房屋的租金为=8000（元），
第二年每间房屋的租金为=8500（元）.
［师］如果没有第一问，该如何解答第二问？
［生］解：设第一年每间房屋的租金为x元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元.第一年租出的房间为间，第二年租出的房间为间，根据题意，得
=
解，得x=8000
x+500=8500（元）
经检验：x=8000是原分式方程的解，也符合题意.
所以这两年每间房屋的租金分别为8000元，8500元.
［师］我们利用分式方程解决了实际问题.现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情.
出示投影片（§3.4.3 B）
［例3］某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5 m3,则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过5 m3,则超出部分每立方米收取较高的定额费用.1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元.超出5 m3的部分每立方米收费多少元？
［师］解决实际情境问题，最关键的是什么呢？
［生］审清题意，找出题中的等量关系.
［师］很好.某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）
用水量
单价
不超过5米3
1.5元/米3
超过5米3超出的部分
？元/米3
你们找到题中的等量关系了吗？
［生］此题主要的等量关系是：1月份张家用水量是李家用水量的.
［师］怎样表示出张家1月份的用水量和李家1月份的用水量呢？
［生］根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5 m3的水费与超出5 m3部分的水费.
［师］下面我们就来用等量关系列出方程.
［师生共析］设超出5 m3部分的水，每立方米收费设为x元，则1月份，
张家超出5 m3的部分水费为（17.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为m3，总用水量为5+；
李家超出5 m3部分的水费为（27.5－1.5×5）元，超出5 m3的用水量为m3，总用水量为（5+） m3
根据等量关系，得
+5=（+5）×
解这个方程，得x=2.
经检验x=2是所列方程的根.
所以超出5 m3部分的水，每立方米收费2元.
Ⅲ.随堂练习
出示投影片（§3.4.3 C）
小芳带了15元钱去商店买笔记本.如果买一种软皮本，正好需付15元钱.但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本.这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？
［师］我们先来找到题中的等量关系.
［生］题中的等量关系有两个：
15元钱买的软皮本的本数=15元钱买的硬皮本的本数+1本.
硬皮本的价格=软皮本的价格×（1+）
［师］我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第1题.
［生］解：设软皮本的价格为x元，则硬皮本的价格为（1+）x元，那么15元钱可买软皮本本，硬皮本本.根据题意，得，
= +1
解，得x=5
经检验x=5是原方程的根，也符合题意，所以（1+）x=×5=7.5（元）
故这种软皮本和硬皮本的价格各为5元、7.5元.
Ⅳ.课时小结
列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向.
Ⅴ.课后作业
习题3.8
图3－4
Ⅵ.活动与探究
如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上.小明家到王老师家路程为3 km，王老师家到学校的路程为0.5 km,由于小明父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学.已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？（2003年吉林省中考题）
［过程］分析题目中的等量关系：
王老师骑车速度=王老师步行速度×3;
王老师从家出发骑车接小明所用的时间=平时步行上学所用时间+20分钟.
［结果］设王老师步行速度为x km/h，则骑自行车的速度为3x km/h.
依题意，得=+
解得x=5
经检验x=5是原方程的根，这时3x=15
答：王老师步行速度为5 km/h,骑自行车的速度为15 km/ h.
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