八年级数学 第十七章反比例函数单元分析.doc

八年级数学 第十七章反比例函数单元分析本章内容属于 “数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，再一次进入函数范畴，让学生进一步理解函数的内涵，并感受现实世界存在各种函数以及如何应用函数解决实际问题。反比例函数是最基本的函数之一，是学习后续各类函数的基础。本章的主要内容是反比例函数，教科书从几个学生熟悉的实际问题出发，引进反比例函数的概念，使学生逐步从对具体函数的感性认识上升到对抽象的反比例函数概念的理性认识。第17.1节的内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数（k为常数，）的图象分布在两个象限，当时，图象分布在一、三象限，y随x的增大（减小）而减小（增大）；当时，图象分布在二、四象限，y随x的增大（减小）而增大（减小）。第17.2节的内容是如何利用反比例函数解决现实世界的实际问题，以及如何用反比例函数解释现实世界中的一些现象。教学中要注重数学思想的渗透，注意做好与已学内容的衔接，还要加强反比例函数与正比例函数的对比。本章的重点是反比例函数的概念、图象和性质，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。教材中给出了大量的具体的反比例函数的例子，用以加深学生对所学知识的理解和融会贯通。本章的难点是对反比例函数及其图象和性质的理解和掌握，教学时在这方面要投入更多的精力。课时分配17.1 反比例函数3课时17.2 实际问题与反比例函数 4课时数学活动小结 1课时17.1反比例函数教学内容17.1.1反比例函数的意义教学目标1、经历抽象反比例函数概念的过程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。2、经历抽象反比例函数概念的过程，体会数学学习的重要性，提高学生的学习数学的兴趣。3、经历抽象反比例函数概念的过程，发展学生的抽象思维能力，提高数学化意识。重点理解和领会反比例函数的概念。难点领悟反比例的概念。课时安排1课时教学方法分组讨论教学过程问题与情境师生活动备注一、创设情境，导入新课活动1问题：下列问题中，变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示？这些函数有什么共同特点？京沪线铁路全程为1463km，乘坐某次列车所用时间t（单位:h）随该列车平均速度v（单位:km/h）的变化而变化；（2）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长为y随宽x的变化；（3）已知北京市的总面积为1.68104平方千米，人均占有土地面积S（单位：平方千米/人）随全市人口n（单位:人）的变化而变化.在此活动中老师应重点关注学生:能否积极主动地合作交流。能否用语言说明两个变量间的关系。能否了解所讨论的函数表达形式，形成反比例函数概念的具体形象。分析及解答：（1）（2）（3）其中v是自变量，t是v的函数；x是自变量，y是x的函数；n是自变量，s是n的函数；上面的函数关系式，都具有的形式，其中k是常数。二、联系生活，丰富联想活动2下列问题中，变量间的对应关系可用这样的函数式表示？（1）一个游泳池的容积为2000m3,注满游泳池所用的时间随注水速度u的变化而变化；（2）某立方体的体积为1000cm3，立方体的高h随底面积S的变化而变化；在此活动中，教师应重点关注学生：能否从现实情境中抽象出两个变量的函数关系；能否积极主动地参与小组活动；能否比较深刻地领会函数、反比例函数的概念。分析及解答：（1）（2）（3）概念：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成的形式，那么y是x的反比例函数，反比例函数的自变量x不能为零。活动3做一做：一个矩形的面积为20cm2, 相邻的两条边长为x cm和y cm。那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？此活动中教师应重点关注：学生能否理解反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；学生能否顺利抽象反比例函数的模型；学生能否积极主动地合作、交流；活动4问题1：下列哪个等式中的y是x的反比例函数？， ， ， 问题2：已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6写出y与x的函数关系式：求当x=4时，y的值。师生行为：学生独立思考，然后小组合作交流。教师巡视，查看学生完成的情况，并给予及时引导。在此活动中教师应重点关注：学生能否领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念；学生能否积极主动地参与小组活动。分析及解答：1、只有xy=123是反比例函数。2、分析：因为y是x的反比例函数，所以，再把x=2和y=6代入上式就可求出常数k的值。解：（1）设，因为x=2时，y=6,所以有解得k=12因此（2）把x=4代入，得三、巩固提高活动51、已知y是x的反比例函数，并且当x=3时，y=-8。（1）写出y与x之间的函数关系式。（2）求y=2时x的值。2、y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：x-2-113y2-1（1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。学生独立练习，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注“学困生”。四、小结反比例函数概念形成的过程中，大家充分利用已有的生活经验和背景知识，注意挖掘问题中变量的相依关系及变化规律，逐步加深理解。在概念的形成过程中，从感性认识到理发认识一旦建立概念，即已摆脱其原型成为数学对象。反比例函数具有丰富的数学含义，通过举例、说理、讨论等活动，感知数学眼光，审视某些实际现象。师生行为:先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看着函数,了解所讨论的函数的表达形式.教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.师生行为学生先独立思考，在进行全班交流。教师操作课件，提出问题，关注学生思考的过程，师生行为：学生先进行独立思考，再进行全班交流。教师提出问题，关注学生思考。作业课后习题板书设计 第十七章反比例函数反比例函数的意义和表达式 例题教学内容17.1.2反比例函数的图像和性质教学目标进一步作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象。体会函数三种表示方法的相互转换，对函数进行认识上的整合。逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的性质。体会分类讨论思想、数形结合思想的运用。在动手作图中体会做中的乐趣，养成勤于动手、乐于探索的习惯。重点掌握反比例函数的作图。难点反比例函数三种表示方法的相互转换。课时安排第一课时教学方法讨论，合作教学过程问题与情境师生活动备注创设问题情景，引入新课画函数的图象：（2）求上述函数与轴、轴的交点坐标。列表：（由于一次函数的图象是一条直线，所以只需找两点即可）01/3-10描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系内描出相应的点.连线：连接两点即可得的图象令,则,一次函数与轴交点坐标为（0，-1）,令,得一次函数与轴交点的坐标为（，0）。问：1、什么叫做反比例函数？如果两个变量、之间的关系可以表示成（为常数且）的形式，那么是的反比例函数。反比例函数的自变量不能为零。 2、让学生猜想反比例函数的图象是什么样的？让学生自己尝试作反比例函数，的图象。二、探索、研究揭示反比例函数的特点例2画出反比例函数与的图象。教师应重点关注：a、学生能否顺利进行三种表示方法的相互转换；b、是否熟悉作出函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象；c、在动手作图的过程中，能否勤于动手，乐于探索。反比例函数是我们第一次遇到的非直线函数图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成的，我们从描出的点的变化趋势可看出，切记不能用所线连接。师生共析：用平滑的曲线按自变量从小到大的顺序把描出的点连接起来，就可得到下图。问：观察画出的图象，思考与的图象有什么共同的特征？它们之间有什么关系？（教师在学生思考、回答后指出反比例函数的图象是双曲线，是轴对称图形，各有两条对称轴，它们都不会经过原点。）练习：在下面的平面直角坐标系中，如下图画出反比例函数与的图象，（可以利用与图象之间的关系画出函数的图象）。此活动中教师应重点关注：a、能否掌握画反比例函数图象的步骤；b、能否用光滑的曲线画出；c能否利用与的关系画出函数的图象。观察函数和以及和的图象。（1）你能发现它们的共同特征以及不同点？（2）每个函数的图象分别于哪几个象限？（3）在每一个象限内，随的变化如何变化？学生分组针对上面3个问题结合画出的图象分类讨论，归纳总结反比例函数图象的特点和性质。在此活动中，教师应重点关注：a、学生能否从反比例函数，和与图象中归纳出它们的相同点和不同点。b、学生能否积极参与到小组讨论中，大胆发表自己的见解，倾听别人的看法。师生共同分析后指出：随的变化情况也同有关系，即，当时，在每一个象限内，随的增大而减小；当时，在每一个象限内，随的增大而增大。（总结）反比例函数的图象和性质如下：（1）反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；（2）当时，双曲线的两支分别位于第二、第三象限，在每个象限内随值的增大而减小；（3）当时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内随值的增大而增大。下面我们就根据反比例函数的图象和性质完成下列练习。三、巩固提高1、请指出下面的图象中，如下图哪一个是反比例的图象 （ ） 2、如右图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象 （ ）A、 B、 C、 D、在此活动中，学生应重点关注：（1）学生能否熟练掌握反比例函数的图象和性质。（2）学生是否能将刚学过的知识用于实践。四、课堂总结，提高认识你对本节知识有哪些认识？教师可由学生随意说出一个反比例函数，然后由一个学生说出它的性质。在活动中，教师应重点关注 ：（1）不同层次学生对本节课知识的认识程度；（2）学生独立面对困难和克服困难的能力。学生独立思考、操作、交流、回答；教师可与学生平等交流，提问学生。让学生自己动手画图，相互观摩由学生自己独立完成。教师巡视以有困难的学生给予指导，然后让两个同学板演，教师参与到学生的讨论中去，积极引导。学生独立思考完成。教师巡视，引导“学困生”完成任务。作业课后习题板书设计 反比例函数的性质和图像反比例函数的性质及图像 例题课时安排第二课时教学过程问题与情境师生活动备注一、创设问题情景，引入新课作反比例函数图象的基本步骤是；。反比例函数的图象是由 组成的，通常称为 ，当k0时, 位于 。反比例函数的图象，当k0时,在每一个象限内，y的值x随的增大而（ ） ；当k0时，反比例函数的性质和图像是 当k0，所以这个函数的图象在第一、第三象限内，y随x的增大而减小。（2）把点B、C和D的坐标代入，可知点B点、C的坐标满足函数关系式。点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、点C在函数的图象上，点D不在函数的图象上。问题：【例4】如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？如上图的图象上任取点A（a,b）和点B（a,b），如果a a，那么b和b有怎样的大小关系？师生行为：让学生先观察图象，然后结合反比例函数的图象完成此题。教师应给学生充分的交流时间和空间。在此活动中教师应重点关注：学生能否从图象的特点得到（m-5）的符号；学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；学生能否独立思考问题。解：（1）反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限，这个函数的图象的一支在第一象限，则另一支必在第三象限。因此这个函数的图象分布在第一、三象限，所以m50，解得m5。（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而减小。所以当a a时，b b。三、巩固提高练习：已知反比例函数的图象经过点A（3，4）。（1）这个函数的图象分布在哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？（2）B（3，4）点、C（2，6）点和点D（3，4）是否在这个函数的图象上？2、如下图是反比例函数的图象的一支，根据图象回答下列问题：（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？（2）在图象上任取一点A（a，b）和B（a,b），如果a a，那么b和b有怎样的大小关系？师生行为：由学生独立思考完成，教师进一步根据学生情况进行评析。在此活动中教师应重点关注：学生是否具有数形结合的意识。学生能否有独立思考的习惯。解：1、（1）设这个反比例函数为，因为它经过点A（3,4），把点的坐标代入函数式，得，解得k=12。这个函数的表达式为。因为k0，所以这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。（2）把点B、C、D的坐标代入，可知点B、点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B、点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上。2、（1）因为反比例函数的图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者分布在第二、四象限，这个函数的一支在第二象限，则另一支必在第四象限。因此这个函数的图象分布在第二、四象限，所以n+70，n7。（2）由函数的图象可知，在双曲线的一支上，y随x的增大而增大，所以当a a时，bb。四、课时小结谈谈本节课你有什么新的收获？掌握反比例函数的性质；会利用待定系数法求函数的解析式。师生行为：让学生小组讨论，交流本节课的收获。教师根据学生情况汇总。在活动中教师应重点关注：不同层次学生对本章节知识的认识程度；学生独立面对困难、克服困难的能力。师生行为：由学生回答，教师引导学生进一步归纳总结。师生行为：学生独立思考，自己解答。教师巡视解答过程并给予指导。作业课后习题板书设计课题例题解题教后录反比例函数的性质同学们能抓住重点掌握知识，掌握了学习的方法，我在教法和学法上也比较灵活。一天有一点进步，那么一年的进步我想也不会少了。贵在持之以恒。贵在创新实践。17.2实际问题与反比例函数教学内容实际问题与反比例函数教学目标1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题3积极参与交流，并积极发表意见重点掌握从实际问题中建构反比例函数模型难点从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想课时安排1课时教学准备1教师准备：课件2学生准备：(1)复习已学过的反比例函数的图象和性质，(2)预习本节课的内容，尝试收集有关本节课的情境资料教学过程问题与情境师生活动备注讲授新课 活动1 例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室 (1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深? (3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。 设计意图： 让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题 在此活动中，教师有重点关注： 能否从实际问题中抽象出函数模型； 能否利用函数模型解释实际问题中的现象； 能否积极主动的阐述自己的见解 生：我们知道圆柱的容积是底面积深度，而现在容积一定为104m3，所以Sd104 变形就可得到底面积S与其深度d的函数关系，即S 所以储存室的底面积S是其深度d的反比例函数 生：根据函数S，我们知道给出一个d的值就有唯一的S的值和它相对应，反过来，知道S的一个值，也可求出d的值 题中告诉我们“公司决定把储存室的底面积5定为500m2，即S500m2，”施工队施工时应该向下挖进多深，实际就是求当S500m2时，d?m根据S,得500，解得d20 即施工队施工时应该向下挖进20米 生：当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石为了节约建设资金，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15m，即d15m，相应的储存室的底面积应改为多少才能满足需要；即当d15m，S?m2呢? 根据S，把d15代入此式子，得 S666.67 当储存室的探为15m时，储存室的底面积应改为666.67m2才能满足需要 师：大家完成的很好当我们把这个“煤气公司修建地下煤气储存室”的问题转化成反比例函数的数学模型时，后面的问题就变成了已知函数值求相应自变量的值或已知自变量的值求相应的函数值，借助于方程，问题变得迎刃而解， 三、巩固提高 活动2 练习：如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升1立方分米)的圆锥形漏斗 (1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少? 设计意图： 让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望 此活动中，教师应重点关注： 学生能否顺利建立实际问题的数学模型； 学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣； 学生能否注意到单位问题 生：解：(1)根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为Scm，漏斗的深为dcm，则容积为1升l立方分米1000立方厘米 所以，Sd1000， S (2)根据题意把S100cm2代入S,中，得 100 d30(cm) 所以如果漏斗口的面积为100cm2，则漏斗的深为30cm 活动4 练习； (1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。 (2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少? (3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 设计意图： 进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么? 生：解：(1)根据矩形的面积公式，我们可以得到20xy 所以y， 即长y与宽x之间的函数表达式为y (2)当矩形的长为12cm时求宽为多少?即求当y12cm时，x?cm，则把y12cm代入y中得 12， 解得x(cm) 当矩形的宽为4cm，求长为多少?即当x4cm时，y?cm，则 把x4cm代入y中， y5(cm) 所以当矩形的长为12 cm时，宽为cm；当矩形的宽为4cm时，其长为5cm(3)y此反比例函数在第一象限y随x的增大而减小，如果矩形的长不小于8cm，即y8 cm，所以8 cm，因为x0，所以208xx(cm) 即宽至多是m 四、课时小结 本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想 师生行为： 先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动师生行为： 由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助 师生行为 由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价作业课后习题板书设计课题例题 解题教后录学生由于语言障碍，所以对语言文字的理解也不是很透彻，所以应用题的题意理解的很吃力，这是一个长期的一直存在的问题。最根本的解决办法就是从小对他们进行家、校长期的、不间断的语言会话练习。补充他们的语言缺陷。