（春季拔高课程）九年级数学 第11讲 几何问题探究—相似与比例相关问题教案-人教版初中九年级全册数学教案.doc

几何问题探究——相似与比例相关问题
知识点
相似三角形的性质与判定；相似三角形的综合；
教学目标
熟练掌握图形相似的证明方法；
教学重点
能够灵活的运用图形的性质去证明图形中线段的关系；
教学难点
灵活运用相似、旋转、全等证明方法探究图形的线段问题；
知识讲解
考点1 两条线段之间的数量关系
在数量关系的猜想中，证明两条线段相等的情况较多，有时也出现证明两条线段的倍数关系，如AB=2CD或AB=CD等。在证明两条线短相等的过程中，可以根据特殊四边形的性质证明两条线段相等，也可以证明两个三角形全等，根据全等三角形的性质证明两条线段相等。证明两条线段的倍分关系时，利用构造基本图形模型证明，具体情况如下：
1.利用三角形的中位线或直角三角形证明a=b；
2.利用等腰三角形证明a=b；
3.利用含30°角的直角三角形证明a=b等；
考点2 两条线段之间的位置关系
在位置关系猜想中，两条线段是垂直关系还是平行关系一目了然，关键是如何证明，方法如下：
1.在证明垂直关系时，由垂直定义，即两条线段相交，所夹的角是90°，一般利用直角三角形的两个锐角互余的角度进行证明；
2.在证明两条线段平行时，大多是根据平行线的判定方法进行证明即可；
总之证明位置关系，需要根据图形的性质，利用三角形全等进行证明，有时利用相似。在解答时，根据具体的题目条件，分解出基本图形，灵活掌握并选择方法证明。
考点3 相似三角形的判定
①定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
④判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．
考点4 证明题常用方法归纳
（1）总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
（2）找相似： 通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
（3）找中间比： 若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.
即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。
①
②
③
（4） 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止.
注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
例题精析
例1 已知：如图，若以△ABC边AB、AC为边向外作矩形ABDE和矩形ACGF，AC=k AF,AB=k AE ,M、N分别为BC和DG的中点.试探究线段MN、BC之间的关系，并证明你的结论.

例2如图11，在△OAB和△OCD中，∠A < 90°，OB = k OD(k > 1)，∠AOB =∠COD，∠OAB与∠OCD互补．试探索线段AB与CD的数量关系，并证明你的结论．
说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取⑴⑵中的一个条件
⑴k = 1(如图12)；
⑵点C在OA上，点D与点B重合(如图13)．

例3已知点E在△ABC内，∠ABC＝∠EBD＝α，∠ACB＝∠EDB＝60°，∠AEB＝150°，
∠BEC＝90°．
（1）当α＝60°时（如图17），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD＝AE；
（2）当α＝90°时（如图18），求的值．

例4已知△ABC是等边三角形，CD⊥AC，AE∥CD，且EA＝ED，BE与AD相交于点F．
（1）若∠CAD＝∠DAE（如图14），试判断BF与FE的数量关系，并说明理由；
（2）若∠CAD＝2∠DAE（如图15），求的值．

例5在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠EDB＝∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F．
（1）当AB＝AC时，（如图13），
① ∠EBF＝_______°；
② 探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2）当AB＝kAC时（如图14），求的值（用含k的式子表示）．

课程小结
本节课主要研究了相似与比例相关问题，抓住题干所提供的信息，利用证明所缺条件构造出全等形或是相似形是本节课的重点，几何问题的探究，是一个长期积累的过程，注重几何知识的综合运用，积累基本型是重中之重。

例1【规范解答】

证明：延长BN使得BN=NH，连接HG、HC、NC,
又∵ ND=NG , ∠DNB=∠GNH
∴ △DNB≌△GNH
∴ BD=HG
延长BA交HG于Q点 ∵BD∥HG ∴∠AQG=∠ACG=90°
∴在四边形ACGQ中，∠AQG+∠ACG=180°，则 ∠HGC+∠QAC=180°
又∵∠BAC+∠QAC=180°, ∴∠HGC=∠BAC
又∵AC=kAF,AB=kAE , ∴△BAC∽△HGC, ∴BC=kHC
∵M、N分别为BC和DG的中点
∴MN∥HC, ∴MN⊥BC, ∴HC=2MN
∴BC=2kMN
【总结与反思】延长BN，构造八字形全等，得到与BD相等的边HG，构造△BAC∽△HGC，从而可以得到HC与BC的关系，进而得到BC与MN的关系。

例2【规范解答】

结论：AB =kCD
证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE=k OC，连接EB，
∵OB= k OD，∴
∵∠AOB=∠COD， ∴△OEB∽△OCD，∴，即EB=kCD，∠OEB=∠OCD
∵∠OAB+∠OCD=180° ，∴∠OAB+∠OEB=180° ，
∵∠AEB+∠OEB=180° ，∴∠OAB=∠AEB
∴EB =AB， ∴AB =kCD
（方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE．证明△DOE∽△BOA，再证明△DCE是等腰三角形，进而证出结论．
（方法三）作DE⊥OC交OC的延长线于E，作BF⊥OA于F，证明△DOE∽△BOF，再证明△DCE∽△BAF，进而证出结论．（评分标准参照证法一）
选择（1）结论：AB =CD
证明：（方法一）在OA上取一点E，使OE= OC，连接EB
∵OB=OD，∠AOB=∠COD，∴△OEB≌△OCD
∴EB=CD，∠OEB=∠OCD，∵∠OAB+∠OCD=1800，∴∠OAB+∠OEB=1800
∵∠AEB+∠OEB=1800，∴∠OAB=∠AEB，∴EB =AB
∴AB =CD
（方法二）延长OC到点E，使OE=OA，连接DE．证明△DOE≌△BOA，再证明△DCE
是等腰三角形，进而证出结论。
（方法三）作DE⊥OC交OC的延长线于E，作BF⊥OA于F，证明△DOE≌△BOF，
再证明△DCE≌△BAF，进而证出结论。
（评分标准参照证法一）
选择（2）结论：AB =CD
证明：∵∠OAB+∠OCB=1800，∵∠ACB+∠OCB=1800，∴∠OAB=∠ACB，∴CB =AB
即AB =CD
【总结与反思】
A
B
D
C
E
图17
方法一是截取图形构造相似形，方法二是补出图形构造相似形，方法三是作垂创造条件构造相似形。我们介绍的这三种证明方法，同时也适用于后面附加条件的证明。本题如若选择条件证明会相应的减掉一些分值。
例3【规范解答】（1）①判断：△ABC是等边三角形．
证明：∵
∴
∴△ABC是等边三角形
②同理△EBD也是等边三角形
连接DC，则AB=BC，BE=BD，
图18
C
E
A
B
D
∴△ABE ≌ △CBD，∴AE=CD，
∴，
在Rt△EDC中 ，
∴．
（2）连接DC，
∵，∴△ABC ∽△EBD ， ∴，
又∵，∴△ABE ∽ △CBD ，
，，∴

设BD=x 在Rt△EBD中，DE=2x，BE=
在Rt△EDC中，CD=
∴，即
【总结与反思】
（1）题中给出了特殊角60°，我们通过导角便可以得出△ABC是等边三角形，同理△EBD也是等边三角形.由图形全等可以得到一个特殊三角形Rt△EDC，从而得到BD=AE.
（2）补全图形，仿照（1），证明相似，通过边之间的关系便可以确定BD与AE的比值了。
例4【规范解答】解(1) 判断：BF=FE
证明：

作BQ⊥AC，交AC于点P ，交AD于点Q ．
∵CD⊥AC，∴∠ACD =90°，∵AE∥CD ，∴∠EAC= 90°，∵∠CAD=∠DAE，∴∠CAD =30°，∠DAE=60°
∵EA=ED，∴△EAD是等边三角形，∴EA=AD=2 CD，又∵△ABC是等边三角形
∴AP=PC，∠APB=90°=∠EAC=∠ACD，∴AE∥BQ∥CD，∴ 即Q是AD中点
∠EAF=∠BQF，∠AEF=∠QBF，∴PQ=CD，AC=CD
在Rt△ABP中，BP=AP=AC=CD，∴BQ= BP+ PQ=2CD=EA
∴△AFE ≌△QFB，∴BF=FE
（2）

作BQ⊥AC，交AC于点P ，交AD于点Q ,连接EQ．
同理P、Q为AC、AD的中点，∠EAF=∠BQF，∠AEF=∠QBF
∴△AFE∽△QFB，∴
∵∠EAC= 90°,∠CAD=2∠DAE，∴∠CAD =60°，∠DAE=30°
∴PQ=CD, AC=CD, AD=CD，∴BQ= BP+ PQ= AC+CD=×CD+CD=CD
AQ=AD=CD ，又∵EA=ED，∴EQ⊥AD
∴EA= AQ=×CD= CD
∴
【总结与反思】
（1）作垂线，通过题干所提供的信息得到BQ与AE的关系，从而构造全等△AFE ≌△QFB，去证明BF=FE。
（2）作垂线，过题干所提供的信息，从而构造全等△AFE∽△QFB，去证明BF与EF的比值是3：2.
例5【规范解答】解：（1）①22.5°② 结论：BE＝FD
证明：如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

则∠GDB＝∠C ∠BHD＝∠A＝90°＝∠GHB，∵∠EDB＝∠C＝∠GDB＝∠EDG又∵DE＝DE，∠DEB＝∠DEG＝90°，
∴△DEB≌△DEG，∴BE＝GE＝GB，∵AB＝AC ∠A＝90°，∴∠ABC＝∠C＝∠GDB，∴HB＝HD
∵∠DEB＝∠BHD＝90° ∠BFE＝∠DFH，∴∠EBF＝∠HDF，∴△GBH≌△FDH，∴GB＝FD，∴BE＝FD
（2）如图1，过点D作DG∥CA，与BE的延长线相交于点G，与AB相交于点H

同理可证：△DEB≌△DEG，BE＝GB，∠BHD＝∠GHB＝90°，∠EBF＝∠HDF，∴△GBH∽△FDH
∴＝ 即＝，又∵DG∥CA，∴△BHD∽△BAC，∴＝ 即＝＝k
∴＝
第二种解法：
解：（1）①∵AB＝AC∠A＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∵∠EDB＝ ∠C，∴∠EDB＝22.5°
∵BE⊥DE，∴∠EBD＝67.5°，∴∠EBF＝67.5°－45°＝22.5°
②在△BEF和△DEB中，∵∠E＝∠E＝90°，∠EBF＝∠EDB＝22.5°，∴△BEF∽△DEB
如图：BG平分∠ABC，

∴BG＝GD△BEG是等腰直角三角形，设EF＝x，BE＝y，则：BG＝GD＝ y，FD＝ y＋y－x
∵△BEF∽△DEB，∴ ＝ ，即： ＝ ，得：x＝（ －1）y，∴FD＝ y＋y－（ －1）y＝2y
∴FD＝2BE．
（2）如图：作∠ACB的平分线CG，交AB于点G，

∵AB＝kAC，∴设AC＝b，AB＝kb，BC＝ b
利用角平分线的性质有：＝ ，即： ＝ ，得：AG＝
∵∠EDB＝ ∠ACB，∴tan∠EDB＝tan∠ACG＝ ，∵∠EDB＝ ∠ACB
∠ABC＝90°－∠ACB，∴∠EBF＝90°－∠ABC－∠EDB＝ ∠ACB，∴△BEF∽△DEB，∴EF＝ BE
ED＝ BE＝EF＋FD，∴FD＝ BE－ BE＝ BE．∴ ＝ ．
【总结与反思】我们介绍了两种方法一种是作平行线，目的是将半角变成倍角，另一种方法是作角平分线，目的是将倍角变成半角，无论哪种方式，最终的目的都是为了构造全等形或是相似形。