资源描述
第二单元 乘 法 公 式
一、教 法 建 议
抛砖引玉
本单元学习乘法公式，它是在学习整式乘法的基础上进行的，所以在教学中可先安排如下一些题目让学生计算：
(a+b)(a-b),(x-y)(x+y),(a+b)2,(a-b)2,(x+y)(x2-xy+y2),….
在学生计算的基础上，引导学生导出公式，并进一步揭示这些公式的结构特征，使学生理解并掌握这些公式的特点，为正确运用这些公式进行计算打好基础.为了揭示公式的特征，要紧紧地采取对比的方式.紧扣例题与公式进行比较，让学生自己进行比较，发现公式特征.尽管问题千变万化，以千姿百态出现，通过对比，可发现它的特征不变，仍符合公式特征.根据公式，仍然可直接写出结果.在对比中学，在对比中用，在对比中进行再比较，从基本类型的题目到变化多端的，从单一的题型到复杂的.从式中的系数、指数、符号、项数、数字等逐一对比，抓住公式的实质，达到娴熟驾驭，左右逢源，才能把公式应用自如.
指点迷津
从多项式的乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程的典范.对它的学习与研究，丰富了学生知识，又开阔了视野.乘法公式应用广泛，涉及数学各个分支，是学习的重点.为了更好地学习它，应用它，在学习中，必须认真进行观察，分析，反复与例题进行对比.掌握每一个公式的结构特征，理解每一个公式的意义，认清公式中的字母可以表示任意的一个代数式（数，字母或单项式，多项式）.在应用公式时，首先观察是否符合使用公式的条件，这是应用公式的关键.重要的是确定“两数”，只有确定两数，然后再看符合哪个公式特征，才能确定使用哪个公式.总之在学习乘法公式中，掌握公式特征，把握关键，抓住“两数”，辨别符号，决定公式，一举获胜.
二、学 海 导 航
思维基础
五个乘法公式是本章也是本单元的核心，重中之重，只有熟练地掌握它，才能学好本单元知识.
1.平方差公式：(a+b)(a-b)= ,这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于 .
2.完全平方公式：(a+b)2= ,(a-b)2= ,这就是说，两数和（或）差的平方等于两个数的平方之和，加上（或 ） .请你分别用面积图表示，并用字母及符号标出：
3.(a+b+c)2=
4.立方和与立方差公式：
(a+b)(a2-ab+b2)=
(a+b)(a2-ab+b2)=
这就是说，两数和（或差）乘以它们的平方和与它们的积的差（或和），等于 .
学法指要
【例1】 计算：
1.(3x+2y)(3x-2y)
2.(-5a-3b)(5a-3b)
3.(-a2-b3)(b3-a2)
4.
思考：1.(a+b)(a-b)= ;2.-x-y=-( );3.3x-4y+5z=3x-( ).
思路分析：本例必须抓住平方差公式的特征，紧扣公式特征找出“a”，“b”两数.如1.“a”为“3x”,“b”为“2y”;2.“a”为“5a”,“b”为“3b”,……，由此应用平方差公式，直接写出结果.
解：1.原式=(3x)2-(2y)2
=9x2-4y2
2.原式=-(5a+3b)(5a-3b)
=-[(5a)2-(3b)2]
=-(25a2-9b2)
=9b2-25a2
3.原式=-(b3+a2)(b3-a2)
=-[(b3)2-(a2)2]
=-(b6-a4)
=a4-b6
4.原式
【例2】 计算：
1.(4a-1)2
2.(-2x+3y)2
3.(-3x-y)2
4.(2x+5)2-(2x-5)2
思考：1.(a+b)2= ;2.(a-b)2= ;3.(-2x+3y)2=(3y- )2;4.(-a-b)2=( )2;5.你会用文字叙述完全平方公式吗？
思路分析：根据完全平方公式的特征，找出上式中的1～4的两数“a”与“b”，再根据符号来确定用第1个公式或第2个公式，根据公式即可写出结果.如(-2x+3y)2可看成“-2x”与“3y”两数，也可看成(3y-2x)2中的“3y”与“2x”两数，这样便可选用两种不同公式，但结果一致，殊途同归.
解：1.(4a-1)2=(4a)2-2·4a·1+12
=16a2-8a+1
2.(-2x+3y)2=(-2x)2+2·(-2x)·3y+(3y)2
=4x2-12xy+9y2
亦可这样求解：
(-2x+3y)2=(3y-2x)2
=(3y)2-2·3y·2x+(2x)2
=9y2-12xy+4x2
3.(-3x-y)2=(-3x)2-2·(-3x)·y+y2
=9x2+6xy+y2
亦可这样求解：
(-3x-y)2=[-(3x+y)]2
=(3x+y)2=(3x)2+2·3x·y+y2
=9x2+6xy+y2
4.(2x+5)2-(2x-5)2=[(2x)2+2·2x·5+52]-[(2x)2-2·2x·5+52]
=4x2+20x+25-4x2+20x-25
=40x
亦可利用平方差公式解之：
(2x+5)2-(2x-5)2=[(2x+5)+(2x-5)][(2x+5)-(2x-5)]
=(2x+5+2x-5)(2x+5-2x+5)
=4x·10
=40x
第二种解法逆用了平方差公式，运算简单些.对公式的逆向应用，有一定难度，在这方面要加强训练，以提高逆向思维能力.
【例3】 计算：
1.1999×2001
2.
3.1022
思考：1.(a-b)(a+b)= ;2.(a+b)2= ;3.(a-b)2= ;4.1999=2000-
;2001=1+ .
思路分析：这是三道数字计算题，直接计算，很麻烦，略加变形，便可转化为符合平方差公式或完全平方式形式，既简捷又新颖.
解：1.1999×2001=(2000-1)(2000+1)
=20002-12=4000000-1
=3999999
2.
3.102=(100+2)2
=1002+2·100·2+22=10000+400+4
=10404
或1022=1022-22+22
=(102+2)(102-2)+4
=104×100+4
=10404
【例4】 计算：
1.(a-5)(a2+5a+25)
2.(2x+3)(4x2-6x+9)
3.(-a-b)(a2-ab+b2)
4.(x+y)(x-y)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)
思考：1.(a+b)(a2-ab+b2)= ;2.(a-b)(a2+ab+b2)= ;3.用文字语言叙述立方和及立方差公式你会吗？
思路分析：立方和及立方差公式的特征必须了如指掌.将习题与公式特征相对比，可发现1～4题都符合立方和与立方差公式的特征，应用公式可旗开得胜.
解：1.原式=(a-5)(a2+a·5+52)
=a3-53
=a3-125
2.原式=(2x+3)[(2x)2-2x·3+32]
=(2x)3+33
=8x3+27
3.原式=-(a+b)(a2-ab+b2)
=-(a3+b3)
=-a3-b3
4.原式=[(x+y)(x2-xy+y2)][(x-y)(x2+xy+y2)]
=(x3+y3)(x3-y3)
=(x3)2-(y3)2
=x6-y6
或原式=(x-y)(x+y)[(x2+y2-xy)(x2+y2+xy)]
=(x2-y2)[(x2+y2)2-(xy)2]
=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)
=(x2)3-(y2)3
=x6-y6
思维体操
【例1】 已知a+b=3,ab=-4，求
1.a2+b2;2.a3+b3,3.a4+b4
思考：1.已知a+b=3,ab=-4，根据现有知识你能求出a,b的值吗？ 2.a、b的值无法求出，你又如何将以上1～3的问题转化为“a+b”与“ab”的形式？ 3.你能知道完全平方公式有何特点？借助完全平方公式是否可将上述问题转化？
思路分析：由a2+b2这一特征，使我们联想完全平方公式“(a+b)2=a2+2ab+b2”由此变形为“a2+b2=(a+b)2-2ab”，显然可将1解决，由此进行探索，便可打开思路.
解：1.a2+b2=a2+2ab+b2-2ab
=(a+b)2-2ab
∵ a+b=3,ab=-4
∴ a2+b2=32-2·(-4)=17
2.a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
=(a+b)[(a2+2ab+b2)-3ab]
=(a+b)[(a+b)2-3ab]
=(a+b)3-3ab(a+b)
∵ a+b=3,ab=-4
∴ a3+b3=33-3·3·(-4)
=27+36=63
3.a4+b4=a4+2a2b2+b4-2a2b2
=(a2+b2)2-2(ab)2
=[(a2+2ab+b2)-2ab]2-2(ab)2
=[(a+b)2-2ab]2-2(ab)2
∵ a+b=3,ab=-4
∴ a4+b4=[32-2·(-4)]2-2·(-4)2
=(9+8)2-2×16
=289-32
=257
由上可知，在无法直接利用公式的情况下，我们采取“配凑法”进行，通过配凑向公式过渡，向已知转化，架起了已知与未知之间桥梁，顺利到达“彼岸”.在解题时，善于观察，捕捉习题特点，联想公式特征，便易于点燃思维的火花，找到最佳思路.
【例2】 计算：(2x-3y-1)(-2x-3y+5)
思考：1.本例可利用平方差公式计算吗？ 2.-2x-3y+5=2-3y-( ); 3.2x-3y-1=2-3y+( );4.通过2，3两个步骤的变形是否符合平方差公式的特征？可直接利用平方差公式写出结果吗？
思路分析：从本例的结构特征与平方差公式特征有相近之处，但直接应用公式又行不通，这时必须创造条件，如：5=2+3，-1=2-3这样重新组合，改变原来面貌，向公式靠拢，便出现了符合平方差公式的特征，从而利用公式写出运算结果.
解：原式=(2x-3y-3+2)(-2x-3y+3+2)
=[(2-3y)+(2x-3)][(2-3y)-(2x-3)]
=(2-3y)2-(2x-3)2
=(4-12y+9y2)-(4x2-12x+9)
=4-12y+9y2-4x2+12x-9
=9y2-4x2-12y+12x-5
【例3】 已知3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2，求征：a=b=c.
思考：1.(a+b+c)2= ;2.(a+b)2= ;3.(a-b)2= ; 4.(a+b+c)2可转化为[(a+b)+c]2吗？
思路分析：从试题的结构形式来看，它与完全平方公式有着千丝万缕联系.必须确定应用完全平方公式作为“侦察兵”，摸清“线索”，便可胸有成竹.现探索如下.
证明：∵ 3(a2+b2+c2)=(a+b+c)2
∴ 3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
∴ 2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
∴ (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)=0
∴ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
由非负数的性质可知：
(a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-a)2=0
∴ a-b=0,b-c=0,c-a=0
∴ a=b,b=c,c=a
∴ a=b=c
又证：欲证a=b=c
即证：a=b,b=c,c=a
a- b=0,b-c=0,c-a=0
(a-b)2=0,(b-c)2=0,(c-a)2=0
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ca+a2=0
2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0
3a2+3b2+3c2-2ab-2bc-2ca=a2+b2+c2
3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
3·(a2+b2+c2)=(a+b+c)2
以上每步可逆.(证毕)
三、智 能 显 示
心中有数
乘法公式是一种特殊形式的乘法，是通过多项式的乘法，把特殊多项式及其相乘的结果写成公式形式并加以应用的.为此，必须理解五个乘法公式，并掌握这五个公式的结构特征，才能因题而异，更好地应用，灵活并简捷地计算某些数的积，快速选取公式，提高运算能力，提高数学素养.
动脑动手
计算：
1.(a+b)2+(a-b)2+(-2a-b)(2a-b)
2.5(m-n)(m+n)-2(m+n)2-3(m-n)2
3.(x-y)[(x+y)2-xy]+(x+y)[(x-y)2+xy]
4.
5.先化简，再求值：,其中
创新园地
1.试确定数3·(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1的末位数字.
2.已知a-b=4,b-c=6.求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值.
3.计算：
4.若a+b+c=0,a2+b2+c2=1,求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值.
5.已知，求的值.
四、同 步 题 库
一、 填空题
1.(8x2-5y3)(8x2+5y3)= .
2.(a-b)(-a+b)(a+b)(-a-b)= .
3.= .
4.(x+1)(x-1)(x2+x+1)(x2-x+1)= .
5.= .
6.x2+x+ =(x+ )2
7.边长为a厘米的正方形，若边长增加5厘米，则它的面积增加了 .
8.若一三角形的底为，高为，则此三角形的面积为 .
9.19992-2000×1998= .
10.若x2+8x+18-2k是完全平方式，则k= .
二、 选择题
11.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是 .
（A）(x-y)(y-x) （B）(2ab-3d)(2ab-3c)
（C）(a+bx)(bx-a) （D）(mx+ny)(nx-my)
12.下列运算中，正确的是 .
（A）(x-y)(-x+y)=x2-y2 （B）(-x+y)(-x-y)=-x2-y2
（C）(2x+y)(2x-y)=2x2-y2 （D）(-2x-y)(y-2x)=4x2-y2
13.要使代数式4a2-12a成为一个完全平方式，则应加上 .
（A）3 （B）9 （C）225 （D）36
14.要使(a-b)2变成为(a+b)2，需加上 .
（A）2ab （B）3ab （C）4ab （D）0
15.已知x+y=1,-x2+xy-y2=1，则x3+y3= .
（A）1 （B）-1 （C）±1 （D）0
16.下列代数式结果为a2+ab+b2的式子为 .
（A）(a+b)2 （B）(a-b)2 （C）(a+b)2-ab （D）(a-b)2+2ab
17.已知x+y=3,x·y=2,则x2+y2等于 .
（A）5 （B）6 （C）13 （D）25
18.已知a-b=m,ab=n,则(a+b)2等于 .
（A）m2-n （B）m2+n （C）m2+4n （D）m2-4n
19.a4+a2b2+b4+M=(a2-b2)2，则M为 .
（A）-3a2b2 （B）-2a2b2 （C）-a2b2 （D）a2b2
20.当x取任意实数时，代数式x2-2x+2的值为 .
（A）大于0 （B）小于0 （C）等于0 （D）不能确定
三、 计算题
21.0.98×1.02
22.5012
23.(xn+2)(xn-2)
24.(3x+2)2(3x-2)2
25.(2x-y)2[2x(y+2x)+y2]2
26．
27.(x+y)2(x-y)2(x4+x2y2+y4)2
28.
29.(3a-2b)2-(3a+2b)2
30.(x-2y+1)(x+2y-1)-(x+2y)(x-2y)
四、 解答题
31.已知,求的值.
32.已知x+y=3,x3+y3=9.求xy,(x+y)2(x-y)2的值.
33.若a+b=1，求a3+b3+3ab的值.
34.证明四个连续整数的积加上1是一个整数的平方.
35.代数式2x2+3y2-8x+6y+1的最小值是多少？此时x，y各是什么数？
36.已知n为正整数，且47+4n+41998是一个完全平方数，求n.
37.x(x2+x)-(x-1)(x+3)-(x+1)(x2-x+1),其中x=-2(先化简,再求值)
38.(x2-4x+16)(x+4)-x(x2-4x)=4(x+1)2(解方程)
39.两个正方形的边长之和为36厘米，面积之差为72平方厘米，求这两个正方形的边
长.
40.已知a=-2000,b=1999,c=-1998.求a2+b2+c2+ab+bc-ac的值.
参 考 答 案
动脑动手
1.原式=a2+2ab+b2+a2-2ab+b2-(2a+b)(2a-b)
=2a2+2b2-(4a2-b2)
=2a2+2b2-4a2+b2
=3b2-2a2
2.原式=5(m2-n2)-2(m2+2mn+n2)-3(m2-2mn+n2)
=5m2-5n2-2m2-4mn-2n2-3m2+6mn-3n2
=-10n2+2mn
3.原式=(x-y)(x2+2xy+y2-xy)+(x+y)(x2-2xy+y2+xy)
=(x-y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2)
=x3-y3+x3+y3
=2x3
4.原式
5.原式=[(8x3+4x)+(8x2+1)][(8x3+4x)-(8x2+1)]
=(8x3+4x)2-(8x2+1)2
=(64x6+64x4+16x2)-(64x4+16x2+1)
=64x6+64x4+16x2-64x4-16x2-1
=64x6-1
当时
上原式
创新园地
1.∵ 1=2-1,3=2+1.
∴ 原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)+1
=…
=(264-1)+1
=264
∵ 21,22,23,24,25,26,27,28的末位数是2,4,8,6,2,4,8,6,由此发现,2,4,8,6四个数以4为周期重复出现，而64÷4=16
∴ 264的末位数字为6.
2.
∵ a-b=4,b-c=6
a-c=(a-b)+(b-c)=4+6=10
∴ c-a=-10
代入上式，得
又解：
∴
∴
∵ a-b=4,b-c=6
∴ a-c=a-b+b-c=10
∴
3.原式
又解：
原式
4.原式=ab+ac+bc+ab+ac+bc
=2ab+2bc+2ac
∵ a+b+c=0,a2+b2+c2=1
∴ (a+b+c)2=0
∴ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=0
∴ 2ab+2ac+2bc=-(a2+b2+c2)=-1
即a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=-1
又解：
a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=ab+ac+bc+ab+ac+bc
=2ab+2bc+2ca+a2+b2+c2-1(由于a2+b2+c2=1)
=(a+b+c)2-1 (由于a+b+c=0)
=-1
5.原式
又解：
∵
∴ (a+b-c)2=12=1
∴ a2+2ab+b2-2ac+c2-2bc
=1
同步题库
一、 填空题
1.64x4-25y6 2.a4-2a2b2+b4 3. 4.x6-1 5.
6. 7.(10a+25)cm2 8.平方单位 9.1 10.1
二、 选择题
11.C 12.D 13.B 14.C 15.B 16.C 17.A 18.C 19.A 20.A
三、 计算题
21.0.98×1.02
解：0.98×1.02=(1-0.02)(1+0.02)
=1-0.0004
=0.9996
22.5012
解：5012=(500+1)2=250000+1000+1
=251001
23.(xn+2)(xn-2)
解：(xn+2)(xn-2)=x2n-4
24.(3x+2)2(3x-2)2
解：(3x+2)2(3x-2)2=[(3x+2)(3x-2)]2
=[(3x)2-22]2
=(9x2-4)2
=81x4-72x2+16
25.(2x-y)2·[2x(y+2x)+y2]2
解：原式=[(2x-y)(4x2+2xy+y2)]2
=(8x3-y3)2
=64x6-16x3y3+y6
26.
解：设a=1993,b=686，则
a-b=1993-686=1307
∴ 原式
27.
解：
28.
解：原式
29.
解法一：原式
解法二：原式
30.
解：原式
四、 解答题
31.解：（1）
∵
∴
（2）
∵
∴
32.解逆向运用两数立方和公式
∴ xy=2
∴ (x-y)2=(x+y)2-4xy
=32-4×2=1
∴ (x+y)2(x-y)2=32·1=9
33.解：a3+b3+3ab=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab
=a2-ab+b2+3ab
=(a+b)2
∵ a+b=1
∴ a3+b3+3ab=(a+b)2=1
34.证明：设这四个连续整数分别是：a、a+1、a+2、a+3
根据题意，得
∵ a为整数 ∴ a2+3a+1也是整数.
∴ 连续四个整数的积与1的和是一个整数的平方.
35.解：
∵ 2(x-2)2≥0;3(y+1)2≥0
∴ 当x=2且y=-1时原式可取得最小值，最小值为-10.
36.解：∵ 47+4n+41998是一个完全平方数
即：(27)2+2·27·22n-8+(21998)2是一个完全平方数.
∴ 22n-8=21998
∴ 2n-8=1998
∴ n=1003
37.解：
∵ x=-2时
∴原式=-2x+2
=-2·(-2)+2
=6
38.解：
39.解：设大正方形边长为x
小正方形边长为36-x，则
∴ 大正方形边长为19，小正方形边长为17.
40.
解：原式
当a=-2000,b=1999,c=-1998
∴
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