北师版九年级数学上册为什么是0．618 1.doc

为什么是0．618
课时安排
2课时
从容说课
本节“为什么是0．618”是一元二次方程的应用的继续和发展．由于能用一元一次方程(或一次方程组)解的应用题，一般都可以用算术方法解，而需要用一元二次方程来解的应用题，一般来说是不能用算术法来解的．所以，讲解本节可以使学生认识到用代数方法解实际问题的优越性和必要性．
从列方程解决实际问题的方法来说：列一元二次方程解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题类似，都是根据题意，建立方程模型．解方程，判断根是否适合题意，作出正确的答案，列出一元二次方程，其应用相当广泛．如几何、物理及其他学科中都有大量问题存在．
本节课的重、难点就是根据题意，建立方程模型，即找出相等关系．所以在解决实际问
题时，力求贴近学生实际，以活动的形式或列表格的形式来突破重难点．
通过本节课的学习，使学生进一步认识方程模型的重要性，进而提高逻辑思维能力
和分析问题、解决问题的能力、以及培养学生应用数学的意识，渗透方程的思想．
教学目标
(一)教学知识点
1. 能分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并能解决实际问题．
2．通过列方程解应用题，来提高学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力．
(二)能力训练要求
1．经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结应用方程解决实际问题的一般步骤．
2．通过列方程解应用题，进一步提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．通过列方程解应用题，让学生进一步体会到一元二次方程是刻画现实世界数量关系的工具，感受数学的价值．
2．在用方程解决实际问题的过程中，来培养学生应用数学的意识．
教学重点
1．让学生经历和体验列方程解决实际问题的过程．
2．进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力．
教学难点
用方程这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学模型的建立．
教学方法
自主发现法．
学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识．
教具准备
投影片两张
第一张：引例(记作投影片§2．5．1 A)
第二张：例题(记作投影片§2．5．1 B)
教学过程
Ⅰ．巧设现实情景，引入新课
[师]同学们还记得黄金分割吗?(出示投影片§2. 5．1 A)

五角星是我们常
见的图形。如图，
度量点C到点
A、B的距离，可
知。与BC；相
等．由此可以说
点C把线段AB分成两条线
段AC和BC，如果，
那么称线段AB被点c黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，它等于0．618．
[师]你想知道黄金比是如何求出来的吗?即黄金比为什么是0．618吗?今天我们就来探讨这个问题．
Ⅱ．讲授新课
[师]在学习黄金分割、求黄金比时，书中曾有这样一句话：“学习了一元二次方程之后，我们可以求得黄金比：AC：AB＝：1≈0．618：1”．现在我们已学习了一元二次方程，那你能否由此求出黄金比?大家来做一做．
[生甲]我们知道，如图，如果,那么点C叫做线段AB的黄金分割点．

这样，只要把比例式转化为一元二次方程，就可以求出黄金比．
[生乙]因为线段AB、CB、AC之间有关系，只要求出两条线段的长，第三条即可求
出，所以我们可以把线段AB当作整体1，把AC设为x，则CB＝1-x，这样比例式即可转
化为一元二次方程．即
由 得AC2＝AB·CB．
设AB＝1，AC＝x，则CB=1-x．
∴x2＝1×(1-x)，
即x2+x-1＝0．
解这个方程，得
x1=，x2二
因为线段不能取负数，所以x2=应舍去．所以，黄金比=≈0．618．
[师]同学们做得很好，实际问题的解决，不仅要满足所列方程，还要符合实际问题的具体题意．因此，求出方程的解后，一定要进行检验，以确定问题的答案．
上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决．下面我们来看一个例题．(出示投影片§ 2．5．1 B)

[例题]如右图，
某海军基地位
于A处，在其
正南方向200
海里处有一重
要目标B，在B的
正东方向200
海里处有一重
要目标C，小岛D位于AC的中点处，岛上有一补给码头．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里?(结果精确到0．1海里)
[师]我们一看到实际问题，首先想到的是把实际问题用数学模型刻画出来．这在前面已经学习了好多．想一想，你曾建立过什么样的模型来解决实际问题?
[生甲]我们曾建立过方程的数学模型来解决具体问题．如：列一元一次方程解应用题；列二元一次方程组解应用题；列可化为一次方程的分式方程来解应用题等．
[师]很好，现在我们来按大家已有的经验解决这一问题，首先应该做什么?
[生乙]首先要仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们
之间的关系．
[师]很好，下面同学们来读题．
……
[师]弄清题意了没有呢?我们分小组来讨论、交流．
……
[师]好，哪个小组来分析一下?演示也可以．
[生丙]由题意可知道如下信息：
目标B在A处的正南方向的200海里处，目标C又在目标B的正东方向的200海里处，由此可知，AB与BC是互相垂直的，从而可知，△ABC是等腰直角三角形．
小岛D点位于AC的中点处，可知AD=DC．
由于军舰的速度是补给船的2倍，它们行走的时间相同，所以可以知道：军舰所航行的路程是补给船的2倍．
要求的是两船相遇时，补给船航行的路程．
[师]噢，那已知量与未知量的关系如何呢?
[生丁]这两者的关系好像不明显．
[生戊]老师，是不是这样的；
因为这个实际问题可以抽象成一个几何图形，所以可考虑用几何知识来找出等量关系．根据题意，设军舰与补给船在E处相遇，过点D作DF⊥BC，垂足为F，这样就得到直角三角形DEF和直角三角形DFC．利用勾股定理就可以找到等量关系：DE2=EF2+DF2．
[师]同学们分析得很好，利用几何知识找到了题中的等量关系，从而解决了问题．
大家能沿戊同学的思路找到答案吗?
[生甲]能．
解：∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里，
∴AC＝AB＝200海里，∠C＝45°．
过点D作DF⊥BC，垂足为F，则
DF＝CF, DF＝CD，
即DF=CF= =100海里．
设相遇时补给船航行了x海里，那么
DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，
EF＝AB+BC-(AB+BE)-CF
＝(300-2x)海里．
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2＝1002+(300-2x)2，
整理，得
3x2-1200x+100000＝0．
解这个方程，得
x1=200-≈118．4，
x2=200+≈281．6．
所以，相遇时补给船大约航行了118．4海里或281．6海里．
[生乙]甲同学的最后结果出现了错误，因为若DE=281．6海里时，EF的长度就为负数，即点正不在线段BC上，它不符合题意，应舍去．
[师]很好，乙同学考虑得很全面，在正确求出方程的解后，要检验解的合理性，这一点一定要注意，本题在得到两个解后，经检验：x2＝200+不符合题意，所以应舍去，因此最后的结果是：相遇时补给船大约航行了118．4海里．
接下来我们来归纳一下运用方程解应用题的一般步骤．
[师生共析]它的一般步骤是：
(1)弄清题意，确定适当的未知数，注意写上单位．
(2)寻找已知量、未知量的相等关系，列出所需要的代数式．
(3)列出方程，解方程．
(4)检验方程的根是否符合题意．
Ⅲ．课堂练习
(一)课本P64随堂练习 1
1．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何?”
大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远?
解：设相遇时，甲走了x步．
根据题意，得
102+()2＝(x-10)2．
整理，得
2x2-49x＝0．
解这个方程，得
x1＝0(不合题意，舍去)，
x2＝24．5。
所以，相遇时，甲走了24．5步，乙走了10．5步．
(二)看课本P62～P64，然后小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过分析具体问题中的数量关系，建立了方程模型，并解决了实际问题．
解决问题的关键在于审题和分析题中的数量关系．
(1)审题要弄清已知量与未知量之间的内在联系．
(2)分析等量关系时，从多角度来考虑．
注意：
正确求解方程后要检验解的合理性．
Ⅴ．课后作业
课本P64习题2．8 1、2
Ⅵ．活动与探究
1．某省重视治理水土流失问题，2003年治理了水土流失面积400平方千米，该省逐年加大治理力度，计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2005年底，要使这三年治理的水土流失面积达到1324平方千米，求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数．
[过程]通过对本题的探究，让学生了解增长率，并会运用“增长率问题”来解决实际问题．
[结果]
解：设该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x，依题意，得：
400+400(1+x)+400(1+x)2=1324．
整理，得
100x2+300x-31=0．
解这个方程，得
x1＝0．1，x2=-3．1，
因为x2＝-3．1不合题意，所以只能取x1＝0．1＝10％．
答：平均每年增长的百分数为10％．
板书设计
§2．5．1 为什么是0．618(一)
一、黄金分割
如果，那么点C叫线段AB的黄金分割点．

由得AC2=AB．CB．
设AB=1，AC=x，则CB＝1-x,
∴x2=1×(1-x)．
即x2+x-1=0．
解得
x1=；x2＝ (舍去)．
所以黄金比≈0．618．
二、例题
三、课堂练习
四、课时小结
五、课后作业
备课资料
2003年中考应用题赏析
王老师把500元钱按一年定期存入银行，到期后，取出了300元捐给了灾区，剩下的200元和应得的利息又全部按一年定期存入，由于利息下调，第二次存款的年利率是第一次存款年利率的，这样到期后可得利息15元，求第一次存款的年利率．
命题意图：该题贴近社会生活实际，其目的是让学生了解银行利率的计算方法．
解：第一次存款的年利率为x．
根据题意，可得方程：
[500(1+x)-300]×x=15．
整理，得20x2+8x-1＝0．
解得x1＝=10％，x2＝- (舍去)．
因此第一次存款的年利率是10%．