九年级数学上 解直角三角形教案.doc

一. 教学内容：
解直角三角形

二. 教学重难点：
1. 解直角三角形的理论依据。
（1）在中，∠C=90°

①两锐角互余——∠A+∠B=90°
②三边关系——勾股定理：，变式
③边、角关系——锐角三角函数：
。
已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：
（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。
2. 特殊的直角三角形：
①含30°角的直角三角形：在中，∠C=90°，∠A=30°，则，三边之比为。
②含45°角的直角三角形：在中，∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，AC=BC,三边之比为。

3. 直角三角形中有斜边高线：
在中，∠C=90°，，则∠1=∠B，∠2=∠A。∽∽。

由相似得对应边成比例，可得到：

由面积公式，得
4. 等腰三角形、斜三角形、梯形等可化为直角三角形的图形。

5. 折叠中的直角三角形

【典型例题】
例1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：
（1）a＝8，b＝6
（2）c＝16，∠A＝32°

分析：略
解：

例2. （1）在中，∠C=90°，a=1，c=4，则的值是（ ）
A. B. C. D.
（2）如图，在中，∠C=90°，AC=6，，那么AB的长是（ ）
A. 4 B. 9 C. D.

（3）在中，∠B=45°，∠A=105°，AC=6，则AB的长是（ ）
A. B. C. D.
解：（1）画出草图，运用定义求解。
，应选B。

注意：正确运用三角函数定义求解。
（2），

应选B。

（3）画出草图，进行分析，45°要起作用，须放入，作高构造求解。
作于D，则∠1=45°，∠2=60°，∠C=30°

在中，∠B=45°，

应选B。

例3. 如图，在中，，求AB的长。

分析：由，得∠A=30°，要使30°角，起作用，则需构造。
解：作于D
在中，

在中，

注意：①特殊角，锐角三角函数值要放在中应用；
②求一条线段的长，也可以根据需要分段求和。

例4. 梯形ABCD中，AB//CD，。求这个梯形的周长和面积。
解析：可通过设未知数并转化成三角形和矩形来求解。
（如图）作

则

。

面积
（注：等腰三角形，平行四边形，菱形等的求解问题也可通过作高线等方法使其转化到直角三角形中去求解。）

例5. 如图，在中，∠B=90°，∠A=30°，AC=3，将BC向BA方向折过去，使点C落在BA上的C′点，折痕为BE，求的长。

分析：由图形折叠知得
在中，∠EBC=45°，∠C=60°
由例2的（3）想一想你该如何求解
解：作于D
在中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=3
∠C=60°
在中，∠EDC=90°，∠DEC=30°

设DC=x，则EC=2x，DE=

在中，∠EDB=90°，∠1=45°

【模拟试题】（答题时间：30分钟）
（一）基础训练
选择题
1. Rt△ABC中，∠C＝90°，，则（ ）
A. 4 B. 8 C. 1 D. 6
2. 中，∠C=90°，，则AC：BC：AB=（ ）
A. 3:4:5 B. 4:3:5 C. 3:5:4 D. 5:3:4
*3. 如图，某河堤横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，坡AD的坡度为1：3，斜坡CB的坡度为1：1，则河堤横断面的面积为（ ）

A. 48m2 B. 96m2 C. 84m2 D. 192m2
4. 在中，∠C=90°，若，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，中，∠ACB=90°，于D，若BD：AD=1：4，则（ ）

A. B. C. D. 2
**6. 如图，在等腰中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，且，则AD的长为（ ）

A. B. 2 C. 1 D.

（二）填空题。
1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠A＝__________，sinA＝__________。
2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝__________，b＝__________，∠B＝__________。
3. 如果等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，这个三角形的面积为__________。
4. 如图Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC＝__________。

（三）能力拓展
1. 如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，，求AC的长。

2. 如图中，在中，∠ACB=90°，于D，，设∠BCD=，求。

*3. 如图，中，∠C=90°，D是BC边上一点，且AD=DB=5，CD=3，求∠CAB的正切。

**4. 如图，四边形ABCD中，，求AD的长和。

试题答案
（一）
1. A 2. A 3. B 4. C 5. C 6. B
（二）1. ∠A＝30°，
2.
3.
4.
（三）
1. 解：如图，过A作AD⊥BC于D

在Rt△ABD中，
又
在Rt△ACD中，∠C＝45°又

2. 3. 2
4. ，
作辅助线得直角梯形AEFD，中，