八年级数学下册 第二章分解因式教案 北师版.doc

第二章 分解因式
●课时安排 6课时
§2.1 分解因式
●教学目标
教学知识点
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
能力训练要求。
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生观察能力和语言概括能力.
情感与价值观要求。
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
●教学重点 1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
●教学难点 通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
●教学方法 观察讨论法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
导入：由（a+b）（a－b）=a2－b2逆推a2－b2=（a+b）（a－b）
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
993－99 =99×98×100
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
3.做一做
（1）计算下列各式：①（m+4）（m－4）=_________;②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=_______;④m（a+b+c）=_______; ⑤a（a+1）（a－1）=________
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（ ）（ ）;②m2－16=（ ）（ ）;③ma+mb+mc=（ ）（ ）;
④y2－6y+9=（ ）2. ⑤a3－a=（ ）（ ）.
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式.
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）
ma+mb+mc=m（a+b+c） （2）
5、整式乘法与分解因式的联系和区别
ma+mb+mc m（a+b+c）.因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
6.例题 下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
Ⅲ.课堂练习
P40随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业 习题2.1

§2.2.1 提公因式法（一）
●教学目标
教学知识点 让学生了解多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式.
能力训练要求 通过找公因式，培养学生的观察能力.
情感与价值观要求 让学生养成独立思考的习惯，同时培养学生的合作交流意识
●教学重点 能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来.
●教学难点 让学生识别多项式的公因式.
●教学方法 独立思考——合作交流法.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
引例：一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为 ， ， ，宽都是 ,求这块场地的面积。
Ⅱ.新课讲解
1.公因式与提公因式法分解因式的概念.
若将刚才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场地的面积为ma+mb+mc,或m（a+b+c），可以用等号来连接.
ma+mb+mc=m（a+b+c）
从上面的等式中，大家注意观察等式左边的每一项有什么特点？各项之间有什么联系？等式右边的项有什么特点？
⑴公因式：多项式的各项中都含有的因式叫做它的公因式
⑵提公因式法：把多项式中的公因式提取出来的分解因式方法叫做提公因式法.
2.例题讲解
例1、将下列各式分解因式：
（1）3x+6; （2）7x2－21x; （3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x.
3.议一议
提公因式法的步骤. ①找各项系数的最大公约数，
②找各项中含有的相同的字母，相同字母的指数取次数最低的.
4.想一想
提公因式法分解因式与单项式乘以多项式有什么关系？（互逆变换）
Ⅲ.课堂练习
1、随堂练习 P43~44
2、补充练习 把3x2－6xy+x分解因式
Ⅳ.课时小结
1.提公因式法分解因式的一般形式，如：ma+mb+mc=m（a+b+c）.
2.提公因式法分解因式，关键在于观察、发现多项式的公因式.
3.找公因式的一般步骤
（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；
（2）取相同的字母，字母的指数取较低的；
（3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.
（4）所有这些因式的乘积即为公因式.
4、特别注意：①不要漏项②公因式相差符号的，如（x－y）与（y－x）要先统一公因式，同时要防止出现符号问题.
Ⅴ.课后作业 习题2.2
Ⅳ.活动与探究
利用分解因式计算：（1）32004－32003;（2）（－2）101+（－2）100.
●备课资料
一、把下列各式分解因式：
1、2a－4b; 2、ax2+ax－4a; 3、3ab2－3a2b; 4、2x3+2x2－6x;
5、7x2+7x+14; 6、－12a2b+24ab2; 7、xy－x2y2－x3y3; 8、27x3+9x2y.

§2.2.2 提公因式法（二）
●教学目标
教学知识点 进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
能力训练要求 进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
情感与价值观要求
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.
●教学重点 能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.
●教学难点 准确找出公因式，并能正确进行分解因式.
●教学方法 类比学习法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
深入探索用提公因式法。
Ⅱ.新课讲解
一、例题讲解
例2、把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
例3、把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）; （2）6（m－n）3－12（n－m）2.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）; （2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）; （4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）; （6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
Ⅲ.课堂练习
1、随堂练习 P45
2、补充练习 把下列各式分解因式
1、5（x－y）3+10（y－x）2 2、m（a－b）－n（b－a）
3、m（m－n）+n（n－m） 4、m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）
5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）
Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.
Ⅴ.课后作业 习题2.3
Ⅵ.活动与探究
把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.
●备课资料
把下列各式分解因式：
1、a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）; 2、x2y－3xy2+y3;
3、2（x－y）2+3（y－x）; 4、5（m－n）2+2（n－m）3.

§2.3.1 运用公式法（一）
●教学目标
教学知识点 1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
能力训练要求 1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
情感与价值观要求
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.
●教学重点 让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点 将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
●教学方法 引导自学法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
1.请看乘法公式 （a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
反过来 a2－b2=（a+b）（a－b） （2）
2.公式讲解
a2－b2的特点：是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差如：x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2=（3 m +2n）（3 m －2n）
3.例题讲解
例1、把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;（2）9a2－b2.
例2、把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2; （2）2x3－8x.
补充例题
判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）•（a2－1）.
Ⅲ.课堂练习
1、P49随堂练习
2、补充练习 分解因式
（1）36（x+y）2－49（x－y）2; （2）（x－1）+b2（1－x）;
（3）（x2+x+1）2－1.
Ⅳ.课时小结
①分解时先看是否有公因式，再考虑平方差公式②分解时一定要分解完整彻底。
Ⅴ.课后作业 习题2.4
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
●备课资料
把下列各式分解因式：
（1）49x2－121y2; （2）－25a2+16b2; （3）144a2b2－0.81c2;
（4）－36x2+y2; （5）（a－b）2－1; （6）9x2－（2y+z）2;
（7）（2m－n）2－（m－2n）2; （8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.

§2.3.2 运用公式法（二）
●教学目标
教学知识点 1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
能力训练要求 在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
情感与价值观要求 通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.
●教学重点 让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点 让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法 观察—发现—运用法
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2; （a－b）2 =a2－2ab+b2
倒写： a2+2ab+b2=（a+b）2; a2－2ab+b2=（a－b）2.
左边的特点有（1）多项式是三项式；（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
练一练
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）x2+4x+4y2; （3）4a2+2ab+ b2;
（4）a2－ab+b2; （5）x2－6x－9; （6）a2+a+0.25.
2.例题讲解
例1、把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49; （2）（m+n）2－6（m +n）+9.
例2、把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2; （2）－x2－4y2+4xy.
Ⅲ.课堂练习
1、P52随堂练习
2、补充练习
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab+b2; （2）a2b2+8abc+16c2; （3）（x+y）2+6（x+y）+9;
（4）－+n2; （5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;（6）x2y－x4－
Ⅳ.课时小结
用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
Ⅴ.课后作业 习题2.5
●备课资料把下列各式分解因式
1、－4xy－4x2－y2; 2、3ab2+6a2b+3a3; 3、（s+t）2－10（s+t）+25;
4、0.25a2b2－abc+c2; 5、x2y－6xy+9y; 6、2x3y2－16x2y+32x;
7、16x5+8x3y2+xy4

§2.4.1十字相乘法（1）
教学目标
1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式；
2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；
3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.
教学重点:能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式.
教学难点:把x2 + px + q分解因式时，准确找出a、b，使a·b= q；a + b = p.
教学过程
一、复习引新
利用公式计算：
(1) (2) (3) (4)
二、探索新知
1、观察与发现: 将多项式的乘积化为一个二次三项式,这是整式的乘法。反过来可得 x2 +(a + b)x + ab =(x + a)(x + b).
将一个二次三项式化成整式乘积形式，这是分解因式.
2、体会与尝试：
①试一试 因式分解: x2 + 4x + 3 ；
x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1)，用十字交叉线表示:
x +3
x +1
3x + x = 4x
②定义：利用十字交叉线分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：
6= ； 12= ； 24= ；
-6= ； -12= ； -24= .
3、例题讲解
例1、把分解因式。 例2 把分解因式。

例3、把分解因式。 例4 把分解因式。

4、思考与归纳：
x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b).
用十字交叉线表示: x +a
x +b
ax + bx = (a + b)x 规律：
如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同。
如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。
例5、把以下各式分解因式：
1、 2、； 3、；
三、课堂小结
对二次三项式x2 + px + q进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：
1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.
2．符号规律: 当q＞0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同；
当q＜0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.
四、课堂练习
1、； 2、； 3、； 4、
5、； 6、 7、； 8、； 9、
五、作业
1）； 2）； 3）； 4）。
5）； 6）

§2.4.2 十字相乘法（2）
教学目标
1.使学生掌握通过换元的方法，把可以转化为形如的某些多项式分解因式，渗透化归和整体思想方法；
2.掌握某些二次齐次式的因式分解方法.
教学重点和难点
重点：运用换元法，对可转化为形如x2+px+q的某些多项式进行因式分解.
难点：理解二次三项式x2+px+q中的x即可以是单项式，也可以是多项式；
对于p和q，不仅可以是单项式(包括数)，也可以是多项式.
教学过程
一、复习
1、把下列各式分解因式
1、x2－3x + 2 2、x4+6x2+8. 3、(a+b)2－4(a+b)+3.
2.问：在二次三项式x2+px+q中，p和q各满足什么条件时，可以因式分解?
二、新课
例1、把下列各式分解因式
1、(x2－3x+2)(x2－3x－4)－72 2、x2－3xy+2y2分解因式.

例2、把下列各式分解因式：
(1) (2) (3)

总结：①齐二次三项式应如何进行分解因式？
②二次项系数不是1时应如何进行分解因式？
三、课堂练习
把下列各式分解因式：
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7)
(8) (9) (10)
四、课堂小结
换元方法进行分解因式时要注意的问题
五、作业
把下列各式分解因式：
1.(1)x4+7x2－18；(2)x6+8x3+15；(3)m2x2－8mx+12；(4)x2y2－7xy+10；
2.(1)x2－7xy+12y2；(2)a2+2ab－15b2；(3)m2+4mn－12n2；(4)p2+9pq+18q2.
3.(1)(m+n) 2－(m+n)－30；(2)(x－y) 2－3(x－y)－40；
(3)(2m+n) 2－4r(2m+n)+3r2； (4)(a－b) 2－12(a－b)－45.
4.(1)(x2－4x) 2－(x2－4x)－20；(2)(a2+5a+3)(a2+5a－2)－6.
变形题型：求值题
⑴已知x2＋2x=3，求代数式x2＋6x的值；
⑵已知（x2＋y2 ）（x2＋y2 -1）-6=0，求代数式x2＋y2的值；
⑶已知3x2＋xy-2y2=0，求代数式x2-y2+x-y2的值；

§2.5 分组分解法
教学目标
1、使学生明确分组分解法的含义，理解分组必须预见到下一步分解的可能性；
2、使学生掌握分组规律、分组步骤。
教学重点和难点
重点：分组规律、分组步骤
难点：选择合理的分组方法
教学过程
一．引入新课
把多项式am+an+bm+bn分解因式
提问：看到这道题首先想到的是什么？其次想到的是什么？最后想到的是什么？（由此引入“分组分解法”）
方法1：am+an+bm+bn= (am+an)+(bm+bn)＝
方法2：am+an+bm+bn= (am+bm)+(an+bn)＝
二．新授课：
1、分组分解法定义：
把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法。
2、例题讲解
例1：把a2-ab+ac-bc分解因式
方法1：a2-ab+ac-bc= (a2-ab)+(ac-bc)＝
方法2：a2-ab+ac-bc= (a2+ac)-(ab+bc)＝
例2：把2ax-10ay-5by+bx分解因式
练习：(1) ma2+na2+mb2+nb2 (2) a2+ab-ac-bc (3) 3a-ax-3b+bx
(4)xy-y2-yz+xz (5)ab-1+a-b (6) 2a3+a2-6a-3
例3、分解因式a2+2ab+b2－ac－bc 例4、分解因式4x2-4xy+y2-16z2

例5、分解因式ax-ay-x2+2xy-y2 例6、分解因式x(x-1)(x-2)-6

例7、分解因式(x2+y2-1)2-4x2y2
3、分组分解法的技巧与方法：
(1)分组规律：系数的特点、字母的特点、字母指数的特点等。
(2)分解步骤: ①分组；②在各组内提公因式或用公式法；
③在各组之间进行因式分解；④直至完全分解。
三、随堂练习
1、分解下列多项式
①2x3+x2-6x-3，②abx2-aby2-a2xy+b2xy，③xy-ax+bx+ay-a2+ab，④ x2-6x+9-y2，
⑤x+2xy+y2-ax-ay，⑥a2－2ab+b2－m2－2mn－n2；⑦a(a2－a－1)+1
⑧ab(m2+n2)+mn(a2+b2)；⑨(x2+y2-1)2-4x2y2 ⑩abx2-aby2-a2xy+b2xy
2、若a5+a4b+a4+a+b+1=0且3a+2b=1，求a、b的值。
四、课堂小结
学习分组分解法的概念，用分组分解法分组之后，运用提取公因式或公式法对多项式进行因式分解。
五、 课外作业：
1．3a-3b+ax-bx 2．ax+ax2-b-bx 3．ax2+by2+ay2+bx2 4．m2+4m3+5+20m
5．ab+ac+2a+bx+cx+2x 6．2x2+4xy-6ax+3a-x-2y 7．ab(c2-d2)-cd(a2-b2)
8、x(x-1)(x-2)-6 9、ax-ay-x2+2xy-y2 10、x2-y2+ax+ay
六、活动、探究与讨论：
多项式ma+mb+mc-na-nb-nc能用几种方法因式分解？分别是什么？

§2.6 回顾与思考
●教学目标
教学知识点
1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.
2.熟悉本章的知识结构图.
能力训练要求
通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.
情感与价值观要求
通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
●教学重点 复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.
●教学难点 利用分解因式进行计算及讨论.
●教学方法 引导学生自觉进行归纳总结.
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
今天,我们来综合总结一下分解因式的方法.
Ⅱ.新课讲解
（一）讨论推导本章知识结构图

（二）重点知识讲解
1.举例说明什么是分解因式.
学习因式分解的概念应注意以下几点:
（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.
（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.
2.分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.
3.分解因式常用的方法有哪些?
提公因式法和运用公式法.
4.例题讲解
例1、下列各式的变形中,哪些是因式分解?哪些不是?说明理由.
（1）x2+3x+4=（x+2）（x+1）+2 （2）6x2y3=3xy·2xy2
（3）（3x－2）（2x+1）=6x2－x－2 （4）4ab+2ac=2a（2b+c）
例2、将下列各式分解因式.
（1）8a4b3－4a3b4+2a2b5; （2）－9ab+18a2b2－27a3b3; （3）－x2;
（4）9（x+y）2－4（x－y）2;（5）x4－25x2y2; （6）4x2－20xy+25y2;
（7）（a+b）2+10c（a+b）+25c2.
例3、把下列各式分解因式:
（1）x7y3－x3y3; （2）16x4－72x2y2+81y4;
5、分解因式的一般步骤为:
（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.
（2）若多项式各项没公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
Ⅲ.课堂练习 P52随堂练习
Ⅳ.课时小结
1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.
2.利用因式分解简化某些计算.
Ⅴ.课后作业 复习题
Ⅵ.活动与探究 求满足4x2－9y2=31的正整数解.（31为质数）