八年级数学下册 第六章 证明（一）教案 北师版.doc

第六章 证明（一）
●课时安排 8课时
§6.1 你能肯定吗
●教学目标
（一）教学知识点
1.通过观察、猜测得到的结论不一定正确.
2.让学生初步了解，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
（二）能力训练要求
1.通过探索，让学生初步了解数学中推理的重要性.
2.初步了解要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理.
●教学重点
判定一个结论正确与否需进行推理.
●教学难点
理解数学推理的重要性.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
在数学学习中，我们通过观察、度量、猜测来得到一些结论.那这样得到的结论都是正确的吗？如果不是，那么用什么方法才能说明它的正确性呢？
Ⅱ.讲授新课

图6－1
如图6－1，四边形ABCD四边的中点分别为E、F、G、H.度量四边形EFGH的边和角，你会发现什么结论？
1、学生动手操作并讨论结果
2、用推理证明法

［师］刚才我们连接了四边形的对角线后，通过推理得证了：连接任意四边形四边的中点所组成的图形是平行四边形.
通过观察、猜测、度量得到的结论是否正确，需要用推理过程得证.

例2、
1、当n=0、1、2、3、4、5时，代数式n2－n+11的值是质数吗？你能否得到结论：对于所有自然数n,n2－n+11的值都是质数？与同伴交流
例3、

图6－3
2、如图6－3，假如用一根比地球赤道长1 m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大（把地球看成球形）？能放进一颗红枣吗？能放进一个拳头吗？与同伴进行交流.
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课主要研究了：要判断一个数学结论是否正确，需要有根有据地进行推理.
Ⅴ.课后作业 课本P217习题6.1 1、2、3.

§6.2.1 定义与命题（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.定义的意义 2.命题的概念
（二）能力训练要求
1.从具体实例中，探索出定义，并了解定义在现实生活中的重要性.
2.从具体实例中，了解命题的概念，并会区分命题.
（三）情感与价值观要求
通过从具体例子中提炼数学概念，使学生体会数学与实践的联系.
●教学重点 命题的概念
●教学难点 命题的概念的理解
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课 P218
这节课我们就要研究：定义与命题
Ⅱ.讲授新课
1、列举生活一些命题（学生举例）
2、接下来，我们来做一做（出示投影片§6.2.1 A）
如图，某地区境内有一条大河，大河的水流入许多小河中，图中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J、K处均有一个化工厂，如果它们向河中排放污水，下游河流便会受到污染.

图6－6
如果B处工厂排放污水，那么__________处便会受到污染；
如果C处受到污染，那么__________处便受到污染；
如果E处受到污染，那么__________处便受到污染；
……
如果环保人员在h处测得水质受到污染，那么你认为哪个工厂排放了污水？你是怎么想的？与同伴交流.

3、命题的定义：对事情作出判断的句子，就叫做命题.即：命题是判断一件事情的句子.
4、学生举例（命题的特征）
一般情况下：疑问句不是命题.图形的作法不是命题.
Ⅲ.课堂练习 课本P220
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过具体实例，说明了定义在生活中的重要性.在具体实例中，了解了命题的概念. 命题：判断一件事情的句子.
Ⅴ.课后作业
课本P221习题6.2 1、2
（二）1.预习内容P181~185
2.预习提纲
（1）命题的组成是什么？
（2）命题的分类.
（3）公理、定理、证明的定义.

§6.2.2 定义与命题（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.命题的组成：条件和结论. 2.命题的真假. 3.了解数学史.
（二）能力训练要求
1.能够分清命题的题设和结论.会把命题改写成“如果……，那么……”的形式；能判断命题的真假.
2.通过举例判定一个命题是假命题，使学生学会反面思考问题的方法.
3.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.
（三）情感与价值观要求
1.通过举反例的方法来判断一个命题是假命题，说明任何事物都是正反两方面的对立统一体.
2.通过了解数学知识，拓展学生的视野，从而激发学生学习的兴趣.
●教学重点
找出命题的条件（题设）和结论.
●教学难点
找出命题的条件和结论.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入课题
上节课我们研究了命题，那么什么叫命题呢？
下面大家来想一想：
观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征？
（1）如果两个三角形的三条边对应相等，那么这两个三角形全等.
（2）如果一个四边形的一组对边平行且相等，那么这个四边形是平行四边形.
（3）如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.
（4）如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形.
（5）如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么这个四边形是菱形.
学生分组讨论.
①这五个命题都是用“如果……，那么……”的形式叙述的.②每个命题都是由已知得到结论.③这五个命题的每个命题都有条件和结论.
Ⅱ.讲授新课
1、命题的组成：每个命题都有条件和结论两部分组成.
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项.
2、举例说明 命题如何写成“如果……，那么……”的形式
①明显的。

②不明显的。
做一做
1.下列各命题的条件是什么？结论是什么？
（1）如果两个角相等，那么它们是对顶角；
（2）如果a>b,b>c,那么a=c;
（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；
（4）菱形的四条边都相等；
（5）全等三角形的面积相等.
2.上述命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？
3、真命题和假命题
我们把正确的命题称为真命题（true statement），不正确的命题称为假命题（false statement）.
思考：如何证实一个命题是真命题呢？

4、我们这套教材有如下命题作为公理：
1.两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
2.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
3.两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
5.三边对应相等的两个三角形全等.
6.全等三角形的对应边相等，对应角相等.
Ⅲ.课堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课我们主要研究了命题的组成及真假.知道任何一个命题都是由条件和结论两部分组成.命题分为真命题和假命题.
在辨别真假命题时.注意：假命题只需举一个反例即可.而真命题除公理和性质外，必须通过推理得证.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P227 习题6.3 1、2
（二）1.预习内容P188~190
2.预习提纲
（1）平行线的判定方法的证明
（2）如何进行推理

§6.3 为什么它们平行
●教学目标
（一）教学知识点
1.平行线的判定公理. 2.平行线的判定定理.
（二）能力训练要求
1.通过经历探索平行线的判定方法的过程，发展学生的逻辑推理能力.
2.理解和掌握平行线的判定公理及两个判定定理.
3.掌握应用数学语言表示平行线判定公理及定理，逐步掌握规范的推理论证格式.
（三）情感与价值观要求
通过学生画图、讨论、推理等活动，给学生渗透化归思想和分类思想.
●教学重点 平行线的判定定理、公理.
●教学难点 推理过程的规范化表达.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
学生讨论：两条直线在什么情况下互相平行呢？
Ⅱ.讲授新课
1、命题：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
学生讨论：如何把文字证明题转化成几何图形和符号语言？

如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：a∥b.
学生讨论：如何证明这个题呢？（平行线的判定公理）
学生讨论：如何书写推理过程？强调书写的格式和理由的说明。
2、直线平行的判定定理：同旁内角互补，两直线平行.

3、注意：
（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据.用来证明新定理.
（2）方括号内的“∵∠1+∠2=180°”等，就是上面刚刚得到的∴∠1+∠2=180，前面的∵可以做为下面的∴。
（3）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，已经学过的定理.在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内.
4、议一议 课本P230（如何证明：内错角相等，两直线平行。）

已知，如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a∥b
5、定理：内错角相等，两直线平行
6、借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？
举例：已知，如图6－16，直线a⊥c,b⊥c.
求证：a∥b.

Ⅲ.课堂练习 课本P231随堂练习
Ⅳ.课时小结
证明过程的书写要注意：
1.证明语言的规范化. 2.推理过程要有依据.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P232习题6.4 1、2 （二）1.预习内容P192~194
2.预习提纲
（1）直线平行的性质如何证明？ （2）总结归纳证明的一般步骤.

§6.4 如果两条直线平行
●教学目标
（一）教学知识点
1.平行线的性质定理的证明. 2.证明的一般步骤.
（二）能力训练要求
1.经历探索平行线的性质定理的证明.培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力.
2.结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论.并能总结归纳出证明的一般步骤.
（三）情感与价值观要求
通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，熟悉综合法证明的格式.进而激发学生学习的积极主动性.
●教学重点 证明的步骤和格式.
●教学难点 理解命题、分清其条件和结论，对照命题画出图形写出已知、求证.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
导语：上节课我们通过推理得证了平行线的判定定理，知道它们的条件是角的大小关系.其结论是两直线平行.如果我们把平行线的判定定理的条件和结论互换之后得到的命题是真命题吗？
Ⅱ.讲授新课
议一议：利用“两直线平行，同位角相等”这个公理，能证明哪些熟悉的结论？
1、讨论 如何证明：两条直线平行，内错角相等？

已知，如图，直线a∥b,∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角.
求证：∠1=∠2.
①学生说明证明思路②学生书写证明过程
2、讨论 如何证明：两条直线平行，同旁内角互补？
①学生独立写出已知、结论和画出图形②学生说明证明思路③学生书写证明过程
3、说说证明的一般步骤吗？大家分组讨论、归纳.
证明的一般步骤：
第一步：根据题意，画出图形.
先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的内容在图上标出符号，还要根据证明的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达.
第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
把命题的条件化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中.
第三步，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了.
Ⅲ.课堂练习 证明邻补角的平分线互相垂直.
Ⅳ.课时小结
1.平行线的性质：
2.证明的一般步骤
（1）根据题意，画出图形.
（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P194 习题6.5 1、2、3
（二）1.预习内容P195~197
2.预习提纲
（1）三角形的内角和定理是什么？
（2）三角形的内角和定理的证明.

§6.5 三角形内角和定理的证明
●教学目标
（一）教学知识点 三角形的内角和定理的证明.
（二）能力训练要求 掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.
（三）情感与价值观要求 通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.
●教学重点 三角形内角和定理的证明.
●教学难点 三角形内角和定理的证明方法.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
我们知道三角形三个内角和等于180°，大家还记得这个结论的探索过程吗？
Ⅱ.讲授新课
1、如何证明三角形三个内角和等于180°？
方法一、实验法：
实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，
使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果.

（1） （2） （3） （4）
实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起.
方法二：理论证明

已知，如图6－40，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明一：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则
证明二：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.
2、议一议（证明三）
小明也在证明三角形的内角和定理，他是这样想的.

在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC.他的想法可行吗？
你有没有其他的证法.
证明四：作CA的延长线AD，过点A作∠DAE=∠C

证明五：在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F.
Ⅲ.课堂练习
（一）课本P239随堂练习1、2. （二）读一读P1240
Ⅳ.课时小结
这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P198习题6.6 1、2
（二）预习内容及提纲
（1）三角形内角和定理的推论是什么？
（2）三角形内角和定理的推论的应用.

§6.6 关注三角形的外角
●教学目标
（一）教学知识点
1.三角形的外角的概念. 2.三角形的内角和定理的两个推论.
（二）能力训练要求
1.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力.
2.理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用.
（三）情感与价值观要求
通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路.从而使他们灵活应用所学知识.
●教学重点 三角形内角和定理的推论.
●教学难点 三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用.
●教学过程
Ⅰ.巧设现实情境，引入新课
回忆：上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？（通过作辅助线，把三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角.这样就可以证明三角形的内角和等于180°）.
那三角形的外角有什么性质呢？我们这节课就来研究三角形的外角及其应用.
Ⅱ.讲授新课
1、三角形的外角
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
2、外角的特征：
（1）顶点在三角形的一个顶点上.
（2）一条边是三角形的一边.如：
（3）另一条边是三角形某条边的延长线.
（4）一个三角形有6个外角。
3、外角的性质
议一议

如图，∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？
误区：三角形的一个外角等于两个内角的和.它也大于三角形的一个内角.如：

（1） （2）
图（1）中，∠ACD是△ABC的外角，从图中可知：△ACB是钝角三角形.∠ACB>∠ACD.所以∠ACD不可能等于△ABC内的任两个内角的和.
图（2）中的△ABC是直角三角形，∠ACD是它的一个外角，它与∠ACB相等.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
4、什么叫推论
由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论。
5、三角形内角和定理的推论的应用

图6－59
［例1］已知，如图6－59，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证：AD∥BC.
6、若证明两个角不相等、或大于、或小于时，该如何证呢？

图6－60
［例2］已知，如图6－60，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E是边AC上一点，延长BC到D，连接DE.
求证：∠1>∠2.
Ⅲ.课堂练习 课本P244随堂练习
Ⅳ.课时小结
主要研究了三角形内角和定理的推论：
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P244习题6.7 1、2、3
2.预习提纲
用自己的语言梳理本章知识.
Ⅵ.活动与探究
1.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

回顾与思考
●教学目标
（一）教学知识点
1.证明的必要性，了解证明的书写格式. 2.了解定义、命题、公理和定理的含义.
3.平行线的性质定理和判定定理. 4.三角形的内角和定理及推论.
（二）能力训练要求
1.理解证明的含义.
2.通过具体例子，进一步了解定义、命题，定理、公理的含义，并会区分命题的条件和结论.
3.掌握用综合法证明的格式.体会证明的过程要步步有依据.
4.通过回顾与思考，进一步理解掌握平行线性质定理和判定定理，并会灵活应用.
5.通过回顾与思考，进一步理解掌握三角形内角和定理及推论，并会灵活应用.
（三）情感与价值观要求
通过学生回顾与思考，使他们进一步体会直观是重要的，但有时也会欺骗人，这时就需要通过逻辑推理来判断，培养学生的推理论证能力，进而发展他们的空间观念.
●教学重点
1.平行线的性质定理和判定定理的应用.
2.三角形内角和定理及其推论的应用.
3.证明的步骤及书写格式.
●教学难点 证明过程的书写.
●教学过程
Ⅰ.巧设问题情境，引入课题
前面几节课我们探讨了第六章“证明”，在教学中为什么要证明？如何证明呢？今天我们就来对此进行回顾与思考.

Ⅱ.回顾与思考
1、共同回顾本章的内容.
1.直观是重要的，但它有时也会欺骗人，你还能找到这样的例子吗？
2.请你用自己的语言说一说什么叫定义、命题、公理和定理.
3.什么条件下两条直线平行？两条直线平行又会怎样？这两类命题的条件和结论有什么关系？你会证明它们吗？
4.三角形内角和定理怎样证明？三角形的外角与内角有什么关系？
5.请你用自己的语言说一说证明的基本步骤.
（学生通过讨论、归纳、举例、一个一个问题解决）
2、现在来梳理一下本章的知识结构图.

Ⅲ.课堂练习 课本P247复习题1~7
Ⅳ.课时小结
本节课我们复习了第六章“证明（一）”的主要内容.大家要掌握证明的基本步骤，要会灵活添加辅助线，把条件和结论联系起来.还要会应用平行线的性质，判定及三角形的内角和定理、推论来解决一些证明、计算问题.
Ⅴ.课后作业 课本P248复习题