资源描述
三角形的中位线
学习目标：
1.掌握三角形中位线及其性质，并能熟练进行证明或计算，发展合乎逻辑的推理能力.
2.通过小组交流、质疑，学会综合分析问题的思想方法.
3.体验数学的缜密性，提高逻辑思维能力.
A
B
C
D
E
重点：三角形中位线性质的灵活应用.
难点：三角形中位线性质的探究.
一.预习新知（阅读探究课本P88—P90的基础知识）
1.知识回顾：
⑴.什么是三角形？ ⑵.什么是三角形的中线？
2.三角形中位线的定义
问题1：如图1，D、E分别是AB、AC的中点，则线段DE叫做△ABC的什么？ 如图1
一个三角形有几条中位线？画画看.
三角形的中位线：___________________________________________________
问题2∶三角形的中位线与三角形的中线有什么区别?
3.三角形中位线的性质
（1）如图1，D、E分别是AB、AC的中点，通过度量你发现DE与 BC有怎样的数量关系？
（2）如图1，用量角器量一量∠ADE与∠B的度数，你发现DE与 AB有怎样的位置关系?
三角形中位线定理：_______________________________________________________.
（3）你能用几何语言表述三角形的中位线性质吗（结合图1）？
E
B
C
A
D
M
图2
（4）将△ABC沿中位线DE剪开，得到△ADE和四边形BCED,
将△ADE剪下来如图2拼成四边形DBCM，你能利用所学的知识
说明三角形的中位线性质吗？
二.课堂展示
H
G
F
E
D
C
B
A
例1. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，四边形EFGH是什么四边形吗？
规律方法总结__________________________________________________
例2.如图，ΔABC的中线BE、CD相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，试猜想DF与GE有怎样的关系？并证明你的猜想．
三.随堂练习
1.如图5，以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
2.如图6，点D,E,F分别是△ABC各边的中点,BH⊥AC,垂足为H,DE=6cm则FH=_________
H
E
D
A
B
C
F
图5
图6
四.当堂检测
1.已知第一个三角形的周长为a，它的三条中线组成的第二个三角形，其周长为___，第二个三角形的三条中线又组成第三个三角形，其周长为____，以此类推，第2009个三角形的周长为_________．
2.如图8，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD
五.小结与反思
19.2.1 矩形的性质
学习目标：
1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行简单的推理
2.会初步运用矩形的概念和性质来解决相关问题; 能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质
3.通过小组合作培养合作共赢的能力
重点：矩形的性质．
难点：矩形的性质的灵活应用．
一.预习新知：（阅读教材第94页至第95页的部分，完成以下问题）
1.复习平行四边形的有关概念及性质
2.平行四边形的判定方法．
3.矩形的定义
一个活动的平行四边形在拉动的过程，使其一个内角恰好为直角，得到一种特殊的平行四边形是什么图形？猜想
归纳矩形定义：
矩形是我们最常见的图形之一，请同学们举一些生活中的例子．
4.矩形的性质
(1)矩形和平行四边形的关系是什么？
矩形具有平行四边形的性质吗?
(2)矩形的特殊性质
【探究1】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋做出两条对角线，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．
① 随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
② 当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
理由：在这个活动过程中，随着∠α的变化，两条对角线的长度也随之变化，长的对角线 ，短的对角线 .但到∠α是直角时，两条对角线变得 ，再变化角时，两条对角线的长度又变化.
当∠α是锐角或钝角时，两条对角线
当∠α是直角时，平行四边形变为矩形，这时两条对角线的长度
【探究2】看门框也是一个矩形形状，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些一般地平行四边形所没有的特殊性质呢？
内角：
由此我们得到矩形的性质：
矩形性质1
矩形性质2
证明性质1，2.（画出图形，写出已知、求证，然后写出符号语言.）
性质1： 性质2：
符号语言 符号语言
归纳矩形的性质：
对称性： 边：
角： 对角线：
5.直角三角形的性质：
如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，由性质2有
AO=BO= = = = 因此可以得到直角
三角形的一个性质：
符号语言
二.课堂展示：
例1 已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=4cm，
求矩形对角线的长．
三. 随堂练习
1.如图，四边形ABCD是矩形，找出相等的线段和相等的角.
2.如果矩形的一条对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为120.，求矩形的边长.
四.当堂检测
1.在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2AC,求∠A,∠B的度数.
2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB与点D，∠ACD=3∠BCD,点E是斜边AB的中点.
D
C
B
A
求∠ECD是多少度？
E
五.小结与反思
19.2.1矩形的判定
学习目标：
1.理解并掌握矩形的判定方法．
2.应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养分析能力.
3.通过小组合作培养合作共赢的能力.
重点：矩形的判定．
难点：矩形的判定及性质的综合应用．
一.预习新知：（阅读教材P95 — 96 , 完成下列问题）
1.知识回顾
（1）矩形概念：
（2）矩形性质：
边： 对角线：
角： 对称性：
（3）矩形与平行四边形之间的关系？
2.探究：一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟.一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形.
甲的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”.
乙的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角.所以我这个四边形门就是矩形”.
根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形.
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：（ ）．
矩形判定方法2：（ ）．
3.判定方法的证明
判定1：已知：在 ABCD中,AC=BD求证：四边形ABCD是矩形
证明：
判定2：已知：∠A=∠B=∠C=90°求证：四边形ABCD是矩形
证明：
4.概括矩形的判定方法：
定义： 表达式：
判定1： 表达式：
判定2： 表达式：
二.课堂展示：
例1已知： ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4m，
求这个平行四边形的面积．
例2已知：如图（1）， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．
求证：四边形EFGH是矩形．
三. 随堂练习
1.下列说法正确的是（ ）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形
（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形
（D）对角互补的平行四边形是矩形
2.下列各句判定矩形的说法正确的是
（1）对角线相等的四边形是矩形 （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形
（3）四个角都相等的四边形是矩形 （4）有三个角都相等的四边形是矩形
（5）有三个角是直角的四边形是矩形（6）一组对角互补的平行四边形是矩形；
3.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠D=90°,若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是
4.已知：如图 ，在△ABC中，∠ACB＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
四.当堂检测
1.已知在 ABCD中,对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且∠OBC=∠OCB.
求证：四边形ABCD是矩形
2.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,
（1）试说明EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
简要说明理由.
五.小结与反思
19.2.2 菱形的性质
学习目标：
1．理解并掌握菱形的定义及性质，知道菱形与平行四边形的关系．
2．会用菱形的定义及性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．
重点：菱形的性质．
难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
一.预习新知（阅读教材第97至98页，并完成预习内容.）
1.知识回顾
平行四边形性质： 矩形性质：
平行四边形判定： 矩形判定：
2.探究新知
如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，就得到了一个菱形．
⑴菱形定义：________________相等的_________________叫做菱形．
举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．_____________、______________.
⑵菱形性质
按教材97页的方法剪得菱形，观察得到的菱形，回答下列问题.
①它是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？
②图中有哪些相等的线段？
③图中有哪些相等的角？
④图中有哪些特殊形状的三角形？是哪些？
菱形性质：菱形具有____________________的一切性质；
菱形是__________图形也是_____________图形.
菱形的四条边都___________
菱形的两条对角线互相__________，并且每一条对角线___________
性质证明：
已知：菱形ABCD，AB=BC 求证：AB=BC=CD=DA
证明：
已知：菱形ABCD 求证：AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.
证明：
⑶菱形面积
例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC=60°.沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD,求两条小路的长和花坛的面积.
S= ×AC×BD (菱形面积= 底×高= 对角线乘积的 )
二.课堂展示
例1.四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，AB=5cm,AO=4cm,求两条对角线AC和BD的长.
例2.菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
三.随堂练习
1.已知菱形的周长为12cm，则它的边长为_________;
2.已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，则∠BAC=_______
3.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
4.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°,BD=6,求：
⑴∠BAD, ∠ABC的度数；
⑵边AB及对角线AC的长.
四.当堂检测
1．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．
求证：∠AEF=∠AFE．
五.小结与反思
19.2.2 菱形的判定
学习目标：
1.理解并掌握菱形的判定方法，以及符号语言的应用
2.灵活运用判定方法进行有关的证明和计算.
3.通过预习培养认真细致的自学态度.
重点：掌握并会应用菱形的判定方法.
难点：菱形判定方法的应用.
一.预习新知（阅读教材第99页至第100页的部分，完成以下问题）
C
A
B
1.用两张宽相等的矩形纸片叠合在一起得到四边形ABCD（如图），你认为它是什么特殊的四边形？请说明理由.
D
2.木工在做菱形的窗格时,总是保证四条边框一样长,你知道其中的道理吗?借助以下图形探索：如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,试说明四边形ABCD是菱形.
我发现, 的四边形是菱形.
3.如下图,在□ABCD中,若AC⊥BD,则□ABCD是什么图形?
证明：
我发现, 的平行四边形四边形是菱形.
菱形的判定方法:
1、 的四边形是菱形
符号语言
2、 的平行四边形是菱形
符号语言
3、 的平行四边形是菱形
符号语言
二.课堂展示
例1 已知：在△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF是菱形吗？为什么？
例2一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积.
归纳：S菱形= =
三.随堂练习
1.判断：（正确的打√，错误的打×）
⑴一组邻边相等的四边形是菱形. （ ）
⑵对角线互相垂直的四边形是菱形. （ ）
⑶对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形. （ ）
⑷对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形. （ ）
⑸对角线互相互相垂直平分的四边形是菱形. （ ）
⑹一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形. （ ）
2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.求证：四边形OCED是菱形.
四.当堂检测
1.如图，四边形ABCD是菱形，点M,N分别在AB,AD上，且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN,EFCG都是菱形.
2.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD,且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD，
求证：四边形ABCD是菱形.
五.小结与反思
19.2.3正方形
学习目标
1.掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算．
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
3.通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系，提高逻辑思维能力．
重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用．
一.预习新知：（阅读教材P100 — 101 , 完成下列问题）
1.知识回顾
（1）矩形定义 （2）菱形定义
性质 边 性质 边
角 角
对角线 对角线
对称性 对称性
2.探究1：正方形定义：
（1）有一组 相等的矩形是正方形
（2）有一个角是 的菱形是正方形
探究2：正方形性质：
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．
所以，正方形具有 的性质，同时又具有 的性质．
边：对边 ，四边 ；
角：四个角都是 ；
对角线：对角线相等，互相 ，每条对角线平分一组 ．
对称性：既是 对称，又是 对称
二.课堂展示
例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O
求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形．
证明：
三.随堂训练
1．正方形的四条边____ __，四个角___ ____，两条对角线____ ____．
2．下列结论：
（1）正方形具有平行四边形的一切性质；
（2）正方形具有矩形的一切性质；
（3）正方形具有菱形的一切性质；
（4）正方形具有四边形的一切性质，其中正确结论有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3.如图,一张矩形纸片,要折叠出一个最大的正方形, 小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去,使AB和AD边上的AF重合,则四边形ABEF就是一个最大的正方形,你能说出他使用的判定方法吗?
四.当堂检测
1.已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．
求证：EA⊥AF．
五.小结与反思
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