1、17.1变量与函数(1)知识技能目标1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.过程性目标1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.教学过程一、创设情境在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.问题1 如图是某地一天内的气温变化图.看图回答：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
2、(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为1、2、5；(2)这一天中，最高气温是5.最低气温是4；(3)这一天中，3时14时的气温在逐渐升高.0时3时和14时24时的气温在逐渐降低.从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T()也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？二、探究归纳问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：周岁12345678910111213体重(kg)7.912.215.618.420.723.025.628.531.234.037.641
3、.244.9观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？解 随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：观察上表回答：(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?(2)波长l越大，频率f 就_.解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即lf300 000，或者说.(2)波长l越大，频率f 就越小.问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S_.利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.
4、5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_.解 Sr2.圆的半径越大，它的面积就越大.在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个
5、值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(function).表示函数关系的方法通常有三种：(1)解析法，如问题3中的，问题4中的S r2，这些表达式称为函数的关系式.(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.(3)图象法，如问题1中的气温曲线.问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant)，如问题3中的300 000，问题4中的等.在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实
6、际意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数.三、实践应用例1 下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：年龄组(岁)789101112131415161718平均身高(cm)117121125130135142148155162167170172(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?解 (1)平均身高是155cm；(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个
7、变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量,指出自变量的取值范围：(1)圆的周长C与半径r的关系式；(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式；(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.解 (1)C2 r，2是常量，r、C是变量，r0；(2)s60t，60是常量，t、s是变量，t0；(3)S(n2)180，2、180是常量，n、S是变量，n3.四、交流反思1.函数概念包含：(1)两个变量；(2)两个变量之间的对应关系.2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，
8、叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.3.函数关系三种表示方法：(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法.4. 函数的取值范围：在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.五、检测反馈1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是；(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为，则另一个锐角(度)与间的关系式是90 ；(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是：yax.3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系；(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.
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