资源描述
课题：6.4.2多边形的内角和与外角和
教学目标：
1.让学生经历探索多边形外角和公式的过程，培养学生主动探究的习惯.
2.能灵活的运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题.
教学重点与难点:
重点：多边形外角和定理的探索和应用．
难点:灵活运用公式解决简单的实际问题；转化的数学思维方法的渗透．
课前准备：多媒体课件，三角板．
教学过程：
一、复习回顾，温故知新
1.多边形的内角和是多少？
2.正八边形的每一个内角为 度？
处理方式：学生思考，并回答.
设计意图：复习回顾多边形的内角和，为本节课继续推导多边形外角和做准备.
二、创设情境，引入新课
清晨，小明沿一个长方形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，他跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
情境模拟：在教室里利用课桌，请一位同学模拟小明，伸出一只手臂平伸向正前方，然后绕课桌一周，停止后可以发现，手臂的方向不变，由此得出什么结论？让学生讨论.
问题：这个角度是哪些角的和？它们和四边形有何关系？如果把广场改为五边形结果又会怎样呢？本节课我们将继续研究有关多边形角的问题，从而引入课题.
【教师板书课题：6.4.2 多边形的内角和与外角和】
处理方式：学生实践，并回答.
设计意图：本环节选取长方形广场的背景，再利用教室的现有条件，进行实际操作，目的是从特殊的、容易的入手，先让学生获得感性认识，引入课题，然后再通过提出问题的不断深入，逐步进行探究，符合可接受性原则.
三、合作交流，解决问题
（多媒体演示）小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步.
1
5
2
4
3
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在上图中，你能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的结果吗？你是怎样得到的？
处理方式：学生思考，老师演示动画让学生理解题意.
设计意图：利用生活情境，设计问题，激发学生的兴趣和积极性，同时给学生一定的思考空间，很好的训练了学生的合作交流的意识和分析问题解决问题的能力.
（学生思考交流后，展示不同的说理方法）
方法一：以小明自身转过的度数计算，转过一周，刚好是360°；
方法二：用量角器量出度数后计算；
方法三：把各个外角都剪出来，再拼在一起，类似验证三角形内角和的方法；
方法四：利用内角与相邻的外角互补的关系推理得出：
1
5
2
4
3
∵Ð1+ Ð EAB=180°，
Ð2+ ÐABC= 180°，
Ð3+ Ð BCD=180°，
Ð 4+ Ð CDE=180°，
Ð 5+ Ð DEA=180°，
∴Ð1+ Ð EAB+ Ð2+ ÐABC + Ð3+ Ð BCD+ Ð 4+ Ð CDE+ Ð 5+ Ð DEA=900°.
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°
即 Ð EAB+ÐABC + ÐBCD + Ð CDE + Ð DEA=540°，
∴Ð1+ Ð 2+ Ð 3+ Ð 4+ Ð 5=900°-540°=360°.
思考：还有其他方法求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的和吗？
如图所示，过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′，OB′，OC′，OD′，OE′，得到∠α，∠β，∠γ，∠δ，∠θ，其中，∠α=∠1，∠β=∠2，∠γ=∠3，∠δ=∠4，∠θ=∠5．这样，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.
问题引申：
1．如果广场的形状是六边形那么还有类似的结论吗？
2．如果广场的形状是八边形呢？
处理方式：学生先自学，后分组讨论，老师巡视矫正学生的错误.
设计意图：通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，由特殊到一般，培养学生解决问题的逻辑思维能力，也为多边形外角和的得出做好铺垫.
知识点：多边形的外角与外角和
在上题中，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5不是五边形的内角，它们叫五边形的外角，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的和叫五边形的外角和．多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角．在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.（注意：多边形一个顶点有两个外角，但求外角和的时候只取一个外角.）
得出结论：多边形的外角和都等于360°.
处理方式：学生自己完成，了解多边形外角是一对对顶角，我们只取一个求外角和.
设计意图：通过学生画图找角，帮助学生巩固多边形外角及外角和定义，并明确多边形相邻内角和外角的关系.
四、典例精讲，深化提高
例1 如图所示，小明从A点出发，沿直线前进8米后左传40°，再沿直线前进8米，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时:
1.求整个行走路线是什么图形?
2. 一共走了多少米？
解：(1)设行走路线是正n边形，根据题意，得n==9.
所以行走路线是正九边形.
(2) 8×9=72(米)。
答：一共走了72米
变式练习：一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）
A.正六边形 B. 正八边形 C. 正十边形 D. 正十二边形
例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？
（学生独立解决，找一学生板书）
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是(n－2)·180°,外角和等于360°，
所以 (n－2)·180°= 3×360°，
解得n = 8．
所以，这个多边形是八边形．
议一议：利用多边形的外角和结论，能推导多边形内角和的结论吗？
180°•n-360°=（n-2） •180°
变式练习：某多边形的每一个内角都等于150°，这个多边形是几边形?
方法一：根据题意，得（n-2）• 180=150 n，解得 n=12．
方法二：因为每一个外角是180°-150°=30°，所以边数是360°÷30°=12.
处理方式：学生独立完成，小组间互相矫正.
设计意图：通过此题向学生渗透转化的数学思想，方程的思想.训练多边形内角和与外角和的综合应用.对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：（1）多边形的外角和与边数无关；（2）多边形内角和问题转化为外角和问题可以化繁为简，化难为易，使问题得以巧解.
例3 已知一个n边形的内角和与外角和之比是9：2，求n边形的边数.
解：根据题意，得 =。
解得n=11。
小试牛刀：1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形?如果这个多边形的每个内角都相等，那么每个内角等于多少度？（参考答案：n=6；120°）。
五、课堂小结，反思升华
通过本节课的学习你有哪些收获，还有那些疑惑?
知识上：多边形内角和是(n－2)·180°；
多边形的外角和都等于360°,多边形外角和与多边形的边数无关.
方法上：方程思想，数形结合思想
处理方式：学生自己总结，老师最后补充.
设计意图：通过小结帮助学生梳理本节课的知识点和数学思想方法.
六、达标测试，落实目标
1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
B
C
A
1
2
第4题
2．一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．一个多边形的每一个外角都等于18°，它是__________边形．
4．如图，在△ABC中，∠C＝70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2等于（ ）
A．360° B．250° C．180° D．140°
5．已知一个多边形的每个内角都比相邻的外角的4倍还多90°，求这个多边形的边数及内角和.
（答案：1、A；2、C；3、20；4、B；5、这个多边形的边数为18，内角和为3240°）
七、布置作业，拓展延伸
必做题：课本157页第1、3题.
4.6 探索多边形的内角和与外角和（2）
一、外角： 二、外角和的推导： 三、练习：
外角和定理：
选做题：课本157页第5题.
板书设计：
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