九年级数学正多边形与圆苏教版.doc

正多边形与圆
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．复习巩固正多边形的定义及其有关概念；
2．复习巩固正多边形的性质和判定．
(二)能力训练点
1．通过复习使学生提高归纳、系统知识的能力；
2．通过证明和画图提高学生综合运用分析问题和解决问题的能力；
3．通过一题多解的训练培养学生的发散思维能力．
(三)德育渗透点
1．通过系统归纳知识渗透系统，培养全面、联系客观看问题的唯物辩证认识观．
2．通过一题多解的发散思维训练和逆向思维训练，培养学生对科学孜孜不倦的探索精神和不断更新的创新意识及选优意识．
二、教学重点、难点及解决方法
1．重点：(1)系统本单元的知识，复习正多边形的定义、概念、性质和判定；
(2)在理解正多边形的判定方法的基础上一题多解，对学生进行发散思维训练；
(3)通过正多边形与圆关系的第二定理的逆定理的证明，对学生进行求异思维的训练．
2．难点：综合运用知识证题．
三、教学步骤
(一)明确目标
前两节我们学习了正多边形的定义、概念、正多边形的性质和判定．本堂课我们对这一单元进行复习．
(二)整体感知
正多边形的有关概念以及正多边形与圆的关系的定理是研究正多边形的计算和画图、圆的有关计算的基础．
应用“把圆分成n(n≥3)等份，依次连结各分点所得正多边形是这个圆的内接正多边形这个定理，把正多边形的画图变为等分圆的问题，应用圆的有关知识容易等分一个圆，从而解决了正多边形的画图问题．
根据“任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆”这个定理和圆的有关概念，得到了“正n边形的半径和边心距把正n的边形分成2n个全等的直角三角形”这个定理，从而使正多边形的边长、半径、边心距、中心角的有关计算转变为解直角三角形问题，进而解决了正多边形周长和面积的计算．
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
(幻灯显示题目，教师提问，学生回答)
1．什么叫做正多边形？
2．什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
3．正多边形有哪些性质？(边、角、对称性、相似性、有两圆且同心)
4．正多边形的半径实质是它的什么圆的半径：它的边心距又是什么圆的半径？
5．正多边形的中心角实质是在它的外接圆中每边所对的什么角？如何求它的值？它的度数与正多边形的一个什么角度数相等？
6．正n边形有几条对称轴？当边数是什么数时，正n边形又是中心对称图形？
7．所有的正多边形都相似吗？
8．正多边形外接圆的圆心一定还是它的______圆的圆心．

9．已知：如图7-132，正六边形ABCDEF
求：正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．
当幻灯展示第9题时，要求学生讨论如何完成，并且要说出作图的依据．
在学生分组充分讨论之后，教师组织全班交流，并安排学生按要求画出正六边形ABCDEF的外接圆和内切圆．
(复习提问)：判断一个多边形是正多边形的方法有哪些？(安排中上学生回答：1．定义法；2．等分圆周法．)
(幻灯展示练习题)：

已知：如图7-133，F、C、H、M、N分别为正五边形ABCDE各边中点．
求证：五边形FGHMN是正五边形．
题目展示后安排学生讨论、研究．在学生充分讨论后教师提出如下问题，带领全班学生证明这道题．
1．要证五边形FGHMN是正五边形，必须证其五边相等．五角相等．要证五边相等，你想到证哪些三角形全等？(安排中下生回答)．
2．要证这些三角形全等，正五边形ABCDE提供了哪些全等条件？(安排中下生回答)．
3．哪位同学能证五边形FGHMN的五个角相等？(安排中等生回答)．
幻灯展示练习题2：如图7-134，求证：各角相等的圆外切五边形是正五边形．

已知：(安排学生填写)
求证：(安排学生填写)
分析：要证五边形ABCDE是正五边形，已知已具备了五个角相等，显然证五条边相等即可．
提出问题：大家讨论研究如何证五边形的五条边相等呢？
师生共同分析：证五边相等，先证其二边相等，其余同理可证．要证：线段相等，习惯证三角形全等．例如证AB=BC可证△AOB≌△BOC，要证这两个三角形全等需三个条件，大家找找看．当学生每找出一个条件，教师都要追问一下“为什么？”

这是大家熟悉的利用正多边形定义证明了这道题．大家再想一想，能不能用等分圆周的方法证明这道题呢：讨论讨论、研究研究、试试看．

如图7-135，师生共同分析：已知五边形与⊙O相切，要证其为正五边形只要证五个切点是⊙O圆周的五等分点即可．即，证明∠A′OB′=∠B′OC′=∠C′OD′=∠D′OE′=∠E′OA′．要证五个角等，可先证其两个角等，然后同理可证．
(提问)哪位同学能证∠A′OB′=∠B′OC′？(安排中等生证明)．

幻灯展示练习题3：
求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．
教师引导：此题的多边形的边数不具体，你打算如何处理？(安排中上生回答：以五边形为例．)
教师用幻灯给出这道题的图形，然后安排学生写出这题的已知、求证．再要求学生讨论研究分别用定义和等分圆周法证明．(可安排两名中上学生到黑板证明)
已知：如图7-136，五边形ABCDE内接于⊙O，且AB=BC=CD=DE=EA．
求证：五边形ABCDE是正五边形．

教师引导：这道题的两种证法，哪一种简单？(安排中下生回答：方法2简单)
教师或请优等生归纳：证圆的内接多边形或圆的外切多边形是正多边形时．只要证圆周被n等分即可．这种方法要优于用正多边形定义证明的方法．
教师引导：大家知道，正多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且两圆同心．反之，如果已知一个多边形既有一个外接圆又有一个内切圆，并且这两个圆是同心圆，那么这个多边形是不是正多边形呢？
幻灯给出以五边形为例的图形．安排学生讨论研究．

已知：如图7-137，同心⊙O分别为五边形ABCDE的内切圆和外接圆，切点分别为F、G、H、M、N．
求证：五边形ABCDE是正五边形．
(引导分析)：要证五边形ABCDE是正五边形，需要什么条件？(让中

DE=EA．大家观察五边形的边是它外接圆的什么？是它内切圆的什么？(安排中上生回答：边是外接圆的弦，是内切圆的切线．)根据切线的性质你发现五边形的内切圆半径应是它外接圆的什么？(安排中等生回答：弦心距)
哪位同学能够完整的证明这题？(安排优等生完成)．

边形ABCDE．
(四)总结
本堂课我们复习了正多边形的定义、概念、性质和判定方法．尤其重点复习了正多边形的判定．
四、布置作业
教材P.161中练习1、2；P.173中5；学有余力者作：P.174B组3、4．
五、板书设计

六、作业参考答案

弦等 弧等 正方形．
教材P.174B组3．(略，课堂上已领学生完成)
教材P.P174B组4．(1)提示：根据正多边形都有外接圆和同圆中圆

由三角形内角和定理可得∠EMA=72°，所以ME=EA=AB．
(2)提示：△ABE～△MAB AB2=MA·BE ME2=BE·BM．
教材P.161．练习1．(略，因课堂上已作)
教材P.161．练习2．(1)“各边相等的圆外切多边形是正多边形”不是真命题．例如，圆的外切菱形不一定正多边形；(2)“各角相等的圆内接多边形是正多边形”不是真命题．例如，圆的内接矩形不一定是正多边形．