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方程与方程组
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一、方程有关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程。
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。
3、解方程：求方程的解或判断方程无解的过程叫做解方程。
4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。
5、同解方程的概念：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．
6、等式的基本性质：
(1)等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得的结果仍是等式；
即如果，那么
(2)等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不是零），所得的结果仍是等式。
即如果，那么。如果 ，那么。
注意：性质(2)是方程的两边乘以(或除以)同一个不等于零的数，而没说同一个整式．
二、一元方程
1、一元一次方程
（1）一元一次方程的概念：
在一个方程中，只含有一个未知数（元），并且未知数的次数为1的方程，叫做一元一次方程。形如（a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（3）解一元一次方程的一般步骤
步骤
具体做法
依据
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式
性质2
不要漏乘不含分母的项
去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
分配律 去括号法则
不要漏乘括号中的每一项
移项
含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边，注意移项要变号
移项法则
1）移动的项一定要变号，不移的项不变号
2）注意移项较多时不要漏项
合并同类项
把方程变为ax=b
（a≠0 ) 的最简形式
合并同类项法则
1）把系数相加
2）字母和字母的指数不变
系数化1
将方程两边都除以未知数系数a，得解x=b/a
等式
性质2
解的分子，分母位置不要颠倒
注意：
①当解含有字母系数的一元一次方程的最后一步时，要记得说明未知数的系数不为零；
②在比较复杂的公式变形过程中，要把含有未知数的项进行合并，不要使所求的表示未知数的代数式中还有未知数．
2、一元二次方程
方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．
含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
注意：由一元二次方程的定义可知，只有同时满足以下三个条件：①是整式方程；②含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一条的方程都不是一元二次方程．
（1）一元二次方程的一般形式是：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项．
（2）一元二次方程的解法：
① 直接开平方法:
②配方法
③公式法
④因式分解法
（3）一元二次方程的根的判别式：
当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；
当Δ=0时方程有两个相等的实数根；
当Δ< 0时方程没有实数根，无解；
当Δ≥0时方程有两个实数根
注意：①“”是专指一元二次方程的根的判别式，只有确认方程为一元二次方程时，才能确定，求出；
②要使用判别式，必须先将方程化为一般形式，以便确定；
③根的判别式是指=，而不是=
（4）一元二次方程根与系数的关系：
若是一元二次方程的两个根，那么：，
（5）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：
三、分式方程
（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
（2）解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程” ．
它的一般解法是：
①去分母，方程两边都乘以最简公分母；
②解所得的整式方程；
③验根：将所得的根代入最简公分母，若等于0就是增根，应该舍去；若不等于0就是原方程的根．
（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。
四、方程组
1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。
2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
3、二元一次方程组：
一般形式：（不全为0）
解法 (1)代入法（2）加减消元法
列方程（组）解应用题
一、解应用题的一般步骤：
解应用题的一般步骤可以归结为：“审、设、列、解、验、答” ．
1、“审”是指读懂题目，弄清题意，明确题目中的已知量，未知量，以及它们之间的关系，审题时也可以利用图示法，列表法来帮助理解题意．
2、“设”是指设元，也就是未知数．包括设直接未知数和设间接未知数以及设辅助未知数(较难的题目)．
3、“列”就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个等量关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．
4、“解”就是解方程，求出未知数的值．
5、“验”就是验根，即检验方程的解能否保证实际问题有意义．
6、“答”就是写出答案(包括单位名称)．
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；
1、工程问题
（1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间
（2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量
（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题
2、行程问题
（1）基本量之间的关系：路程=速度×时间
（2）常见等量关系：
相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程
追及问题（设甲速度快）：
同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程
同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程
3、水中航行问题：
顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆流速度=船在静水中的速度–水流速度
4、增长率问题：
常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×增长率；
5、数字问题：
基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100
6、利润问题
常见量之间的关系：商品利润=商品售价—商品进价。商品利润率=100%
三、列方程解应用题的常用方法
1、译式法：就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。
2、线示法：就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。
3、列表法：就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。
4、图示法：就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。
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