秋八年级数学上册 第十三章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.3 等边三角形备课资料教案 （新版）新人教版-（新版）新人教版初中八年级上册数学教案.doc

第十三章 13.3.3等边三角形

知识点1：等边三角形及其性质 
(1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形是等边三角形.
(2)等边三角形的性质:
①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
②等边三角形是轴对称图形,对称轴有三条;
③等边三角形是特殊的等腰三角形,它具有所有等腰三角形的性质.
关键提醒:等边三角形具有三条“三线合一”的线.
知识点2：等边三角形的判定 
等边三角形的判定方法有三个:
(1)定义法:三条边都相等的三角形是等边三角形;
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;
(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
归纳整理:用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来证明三角形是等边三角形的情况比较多.

考点1：等边三角形的边角计算
【例1】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为(　　)
A.           B.           C.        D.不能确定
答案:B
点拨：如图所示,作PF∥BC交AC于F,
∵△ABC是等边三角形,∴∠APF=∠ABC=60°,
∠AFP=∠ACB=60°,∴△APF是等边三角形,

∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ.
在△DPF和△DQC中,

∴△DPF≌△DQC,∴DF=DC,∵PE⊥AC,
∴E是AF中点,从而ED=AC=,故选B.
因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系,所以通过分割,将其分成两部分后,分别证DF=DC和EF=EA,从而求之.
考点二：利用等边三角形证线段和差
【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.

(1)                      (2)                 (3)
证明：证法一:如图 (1),延长DC到F,使CF=BD,连接AF,
∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴BE=DB.∴BE=CF.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF,
∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF,
∴AD-DE=DF-DB,即AE=BF,∴AE=BC+CF=BC+BE.
证法二:如图 (2),延长EB到P,使BP=BC,连接AP,CP.
∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,
∴∠CBP=∠DBE=60°,∴△BPC为等边三角形,∴BP=PC.
∵AB=AC,AP=AP,∴△BAP≌△CAP,∴∠BPA=∠CPA,
∵∠PCB=∠D=60°,∴PC∥AD,
∴∠CPA=∠EAP,∴∠EAP=∠BPA,∴AE=EP=BE+BC.
证法三:如图 (3),过C作CM∥BE,交AD于M.
∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,
∴∠DBE=60°.∵CM∥BE,∴∠MCD=∠DBE=60°,∠DMC=∠DEB=60°,
∴△DCM为等边三角形,∴CD=MD,∴CD-DB=DM-DE,即BC=EM.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.
∵∠D=∠MCD=60°,∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE,∴∠CMA=∠AEB,
∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE,∴AE=AM+EM=BE+BC.
点拨：欲证一线段等于另两线段之和,可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形,所以有相等的边与角,从而有全等的三角形,由此得证.