初中数学《中考中的一元一次不等式》教学设计.doc

中考中的一元一次不等式

国家数学课程标准就一元一次不等式的教学制定了如下的标准：
① 能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并探索不等式的基本性质．
② 会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．
③ 能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题．
各地中考中一元一次不等式的命题大多也是以此为标准，命制出形式多样、难易适度的考题，有效地考查了学生在这一部分的学习水平，这里略举一二，与大家分享．
一、 目标明确单一，考查应知应会的知识
在一元一次不等式的中考考查中，依据课程目标①、②（会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集），命制出诸如解一元一次不等式（组）的题目，这类题目大家都很熟悉，不偏不怪，应知应会．
例1．（08，江苏连云港）不等式组的解集是 ．
例2．（08，江苏苏州）解不等式组：，并判断是否满足该不等式组．
例3．（08，江苏淮安）解不等式，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解．

例4．（08，江苏南京）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．

评析：这几例，考查了学生对不等式解的概念的理解，解简单的一元一次不等式（组），学生主要的错误有：解集求错（经常是不等号方向错误，去分母漏乘某项，不等式组求解集时机械地记忆，不能借助数轴寻找解集导致错误），丢三落四（这类题目往往不只考查一个简单的知识点，可能有两三个知识点，学生解题时经常会有漏题现象）．
二、结合其它知识，考查综合能力
在一元一次不等式的中考考查中，将课程目标①、②的要求置于其它数学知识或新的数学背景下考查，其考查目标仍然没有超出课程目标①、②，只是学生解题时往往对题目的理解不好（如不能将问题分解出自己熟悉的问题等），有的对其它知识掌握得不够好（不能将问题转化为不等式的知识等）．
例5．（08，江苏连云港）如果有意义，那么字母的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
评析：本例考查了二次根式的知识，也考查了简单一元一次不等式的解法，有的学生对二次根式有意义的条件不清楚，影响了问题的解决．

B
A

1
0
a
b

例6．（09，江苏）如图，数轴上两点分别对应实数，
则下列结论正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
评析：本例考查了数轴上的点表示的数的大小关系，将数轴与不等式结合起来．

例7．(08，江苏泰州)已知关于x的不等式ax+3>0（其中a≠0）．
（1）当a=-2时，求此不等式的解，并在数轴上表示此不等式的解集；
（2）小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明卡片，上面分别写有整数-10、-9、-8、-7、-6、-5、-4、-3、-2、-1,将这10张卡片写有整数的一面向下放在桌面上．从中任意抽取一张，以卡片上的数作为不等式中的系数a，求使该不等式没有正整数解的概率．
评析：本例是不等式与概率的简单应用，只需求出相应的一元一次不等式的解集，利用概率的意义便可解决问题．
问题(2)用列举法：
取a=－1，不等式ax+3＞0的解为x＜3，不等式有正整数解．
　　　取a=－2，不等式ax+3＞0的解为x＜,不等式有正整数解．
取a=－3，不等式ax+3＞0的解为x＜1，不等多没有正整数解．
　　　取a=－4，不等式ax+3＞0的解为x＜,不等式没有正整数解．
　　　……
∴整数a取－3至－10中任意一个整数时，不等式没有正整数解．
P（不等式没有正整数解）==．

例8．（08，江苏镇江）已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）．
（1）求二次函数的解析式，并作出这个函数的图像；
（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间．请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足2<<3，试求实数k的取值范围．
评析：问题（1）、（2）与一元一次不等式无关，考查的是函数的知识，问题（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，
对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），
y2随着X的增大而减小．因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所以当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，
即＞×22+2-，解得K＞5．
同理，当x0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，
即×32+3—＞，解得k＜18．
所以k的取值范围为5 ＜k＜18．

例9．（08，江苏）理解发现
阅读以下材料：
对于三个数，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最小的数．例如：
；；
解决下列问题：
（1）填空： ；
如果，则的取值范围为．
（2）①如果，求；
②根据①，你发现了结论“如果，那么 （填的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若，
．
x
y
O
（3）在同一直角坐标系中作出函数，，的图象（不需列表描点）．通过观察图象，
填空：的最大值为 ．

评析：请看解答：
（1）（填也可以）；．
（2）①．
法一：．
当时，则，则，．
当时，则，则，（舍去）．
综上所述：．
法二：，

．
②
证明：，
x
y
O
P
1

如果，则，．
则有，即．
．
又，．且．
．
其他情况同理可证，故．
③
（3）作出图象．1
由此，我们可以看出，这里将不等式融合在新的数学背景下，不等式起到了两个作用：一是分类时确定分类的标准，二是通过解不等式确定变量的范围（可值）．这里的不等式实际上是发挥着承载的作用，这种作用在数学中经常出现．

三、与实际联系，考查应用意识
在一元一次不等式的中考考查中，课程目标③（能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式和一元一次不等式组，解决简单的问题）的考查往往与一次方程（组）、一次函数（即三个“一次”）综合考查．

例10．(08，江苏泰州)如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的．已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是2cm，若铁钉总长度为acm，则a的取值范围是_____________．
评析：a的取值范围不仅要考虑上限，也要考虑下限，即3＜a≤3.5 ．

例11．（08，江苏连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的两地，由于两市通住两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：

地
地
每千顶帐篷
所需车辆数
甲市
4
7
乙市
3
5
所急需帐篷数（单位：千顶）
9
5
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．

评析：问题（1）考查的是二元一次方程（组）的知识，可得总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶．问题（2）设从（甲市）总厂调配千顶帐篷到灾区的地，则总厂调配到灾区地的帐篷为千顶，（乙市）分厂调配到灾区两地的帐篷分别为千顶．可得3≤m≤8．
设甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆．由题意，得
．
即．
因为，所以随的增大而减小．
所以，当时，有最小值60．
所以，从总厂运送到灾区地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆．
这里，利用一次函数的增减性结合不等式（自变量的取值范围确定函数的取值范围）解决问题．

例12．（08，江苏盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为（张），总费用为（元）．现有两种购买方案：
方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购门票的价格为每张60元；
（总费用=广告赞助费+门票费）
方案二：购买门票方式如图所示．
解答下列问题：
（1）方案一中，与的函数关系式为 ；
方案二中，当时，与的函数关系式为 ；
当时，与的函数关系式为 ；
（2）如果购买本场足球赛超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由；
（3）甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张．
评析：(1) 方案一: y=60x+10000 ； 　　
当0≤x≤100时，y=100x ； 　
当x＞100时，y=80x+2000 ；
(2)因为方案一y与x的函数关系式为y=60x+10000，
∵x＞100，方案二的y与x的函数关系式为y=80x+2000；
　当60x+10000＞80x+2000时，即x＜400时，选方案二进行购买，
当60x+10000=80x+2000时，即x=400时，两种方案都可以，
当60x+10000＜80x+2000时，即x＞400时，选方案一进行购买；
(3) 略
这里，问题（2）实际上是利用函数与不等式研究的方案设计型的一个问题，这类问题在学习不等式之前是通过观察图象解决的，学了不等式之后，可以利用不等式求解，同时也对图象法的认识更加深刻、更加精确．

例13．（08，江苏无锡）在“5·12大地震”灾民安置工作中，某企业接到一批生产甲种板材24000和乙种板材12000的任务．
（1）已知该企业安排140人生产这两种板材，每人每天能生产甲种板材30或乙种板材20．问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材，才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务？
（2）某灾民安置点计划用该企业生产的这批板材搭建两种型号的板房共400间，在搭建过程中，按实际需要调运这两种板材．已知建一间型板房和一间型板房所需板材及能安置的人数如下表所示：
板房型号
甲种板材
乙种板材
安置人数
型板房
54
26
5
型板房
78
41
8
问：这400间板房最多能安置多少灾民？
评析：问题（1）可通过分式方程解决问题，可得应安排80人生产甲种板材，60人生产乙种板材．问题（2）设建造型板房间，则建造型板房为间，
由题意有：
解得．
又，．
这400间板房可安置灾民．
当时，取得最大值2300名．
答：这400间板房最多能安置灾民2300名．
这里，问题（2）中有两个重要的不等关系：A、B型板房使用的甲种板材量≤24000，A、B型板房使用的乙种板材量≤12000，这两个不等关系，确定了m的取值范围，再结合一次函数解决问题．

从上面各例可以看出：在中考中，一元一次不等式的考查与方程、函数一样都是重要内容之一，考查的形式主要有：解不等式（组），不等式知识在其它数学知识中的应用，不等式知识在实际中的应用，但形式的变化已有很多，教学时需要我们认真准备，发展学生的能力，而非形式的记忆．
数量关系是数学研究的核心内容之一，数量关系既包括等量关系，也包括不等量关系，与刻画等量关系的等式、方程、函数等模型不同，不等式则是刻画普通存在的不等关系的典型模型，一元一次不等式是表示不等关系的最基本的工具，是学生学习其他相关数学知识的基础．
理解进而掌握不等式模型，不仅可以深化对等式、方程等模型的理解，而且可以丰富自己的数学认知结构，为后续学习奠定重要基础．