函数概念及其表示(知识点总结、例题分类讲解).doc

龙文教育教师1对1个性化教案
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教
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骤
及
教
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日期： 年 月 日

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布置

学习过程评价
学生对于本次课的评价
特别满意□ 满意□ 一般□ 差□
教师评定
1、 学生上次作业评价
好□ 较好□ 一般□ 差□
2、 学生本次上课情况评价
好□ 较好□ 一般□ 差□
家长
意见

家长签名：
心灵
鸡汤
★学习靠自己，进步靠努力。每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多。

★好成绩来源于持之以恒的努力，好前程来源于永不懈怠的刻苦。

★想做好大事情，必先得将小事情做漂亮。想有好成绩的人，就必须上好每一堂课，做好每一次作业。

函数及其表示
【要点回顾】
函数的概念
1.函数的概念
定义：设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意，在集合中都有唯一的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为 .

2.函数的定义域与值域
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域.
函数的三要素：定义域、值域和对应法则
3.区间的概念

4.判断对应是否为函数

5.定义域的求法

6.函数值域的求法

7.复合函数（抽象函数）定义域的求法

函数的表示法
1．函数的三种表示法
图象法、列表法、解析法

2．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射的概念
设是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应为从集合到集合的一个映射，通常记为 ，f表示对应法则.

【例题讲解】
考点一：函数与映射概念考查
例1 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）
x
y
0
(D)
x
y
0
(C)
x
y
0
(B)
x
y
0
(A)

练习1：函数的图象与直线x = a 的交点个数 （ ）
A.只有一个 　B.至多有一个 　 C.至少有一个 D.0个

练习2：下述两个个对应是到的映射吗？
（1） ，，；
（2），，．

练习3：下列是映射的是（ ）
a
b
c
e
a
b
c
e
f
a
b
c
e
f
g
a
b
c
e
f
a
b
e
f
g

图1 图2 图3 图4 图5
(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5

函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.
例2　指出下列各函数中，哪个与函数是同一个函数：
（1）； （2）； （3）．

练习1：判定下列各组函数是否为同一个函数：
（1）， ；（2），

练习2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），；
（4），
（5），（n∈N*）；

考点二：函数定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.

例１　求下列函数的定义域：
（１）；　　　　（２）．

例2 设，求，，，．

练习1：函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．

练习2：函数的定义域是（ ）

A. B. C. D.

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域（选讲）
1、复合函数的定义
如果是的函数，又是的函数，即，，那么关于的 函数叫做函数（外函数）和（内函数）的复合函数，其中是中间变量，自变量为函数值为。　例如：函数 是由和 复合而成立。
2．求有关复合函数的定义域
①　已知的定义域为，求的定义域的方法：
已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知中间变量的的取值范围，即，。通过解不等式求得的范围，即为的定义域。
②　已知的定义域为，求的定义域的方法：
若已知的定义域为，求的定义域。实际上是已知直接变量的取值范围，即。先利用求得的范围，则的范围即是的定义域。
例3 已知的定义域是，求函数的定义域.

练习1：已知的定义域是（-2，0），求的定义域.

练习2： ⑴若函数的定义域是[0，1]，求的定义域；
⑵若的定义域是[-1，1]，求函数的定义域；
⑶已知定义域是，求定义域．

考点三：函数表示

例1　文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．
分析　函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．
解　设表示购买的铅笔数（支），表示应付款额（元），则函数的定义域为．
（1）根据题意得，函数的解析式为，故函数的解析法表示为，．
（2）依照售价，分别计算出购买1~6支铅笔所需款额，列成表格，得到函数的列表法表示．
/支
1
2
3
4
5
6
/元
0.12
0.24
0.36
0.48
0.6
0.72
（3）以上表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次作出点（1，0.12），（2，0.24），（3，0.36），（4，0.48），（5，0.6），（6，0.72），得到函数的图像法表示．

练习1:利用“描点法”作出函数的图像，并判断点（25，5）是否为图像上的点 (求对应函数值时，精确到0.01) ．

练习2：判定点，是否在函数的图像上．

练习3：市场上土豆的价格是3.2元／kg ，应付款额y是购买土豆数量x的函数．请分别用解析法和图像法表示这个函数．

考点四：求函数值域
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1

练习： （1） （2） （3）

（2）分段函数分别求函数值域（分段函数作图）
例2 求函数的值域.

例3 函数的值域是（ ）
A． B． C． D．

（3）换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数
例4 求函数 的值域

考点五：函数解析式求法
1 直接代入法 ，求
2 换元法 ，求
3 凑配法 已知 ，要求，可从配凑出，用代
4 待定系数法 一次函数满足，求
5 方程组消元 ,,求
6 特殊值代入 对任意实数，有，且，求

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