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第七章 空间解析几何与向量代数
1．求点(2,－3,－1)关于：（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点.
解答：（1）xOy面：，yOz面：，zOx面：；
（2）x轴：，y轴：，z轴：；
（3）
所属章节：第七章第一节
难度：一级

2．求点（4，－3，5）到坐标原点和各坐标轴的距离.
解答：点（4，－3，5）到坐标原点的距离为，
点（4，－3，5）到轴的距离为，
点（4，－3，5）到轴的距离为，
点（4，－3，5）到轴的距离为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

3．把两点（1，1，1）和（1，2，0）间的线段分成两部分，使其比等于2：1，试求分点的坐标.
解答：设分点坐标为，则由条件，解得，即所求分点坐标为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

4．设立方体的一个顶点在原点，三条棱分别在三条坐标轴的正半轴上，已知棱长为a，求各顶点的坐标.
解答：各顶点的坐标为：
所属章节：第七章第一节
难度：一级

5．在yOz平面上求一点，使它与点A（3，1，2），点B（4，－2，－2）和点C（0，5，1）的距离相等.
解答：设所求点为，则由条件有，故
，
解得.即所求点为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

6．在z轴上求一点，使它到点A（－4，1，7）和点B（3，5，－2）的距离相等.
解答：设所求点为，则由条件有，故
，
解得.即所求点为.
所属章节：第七章第一节
难度：一级

7．已知向量a和b的夹角为60°，且试求和
解答：由于，代入已知条件，即可得
；
又由于，故.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

8．设向量a和b的夹角为，且试求：
（1）
（2）
解答：（1）；
（2）.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

9．设其中向量a和b的夹角为，试求及.
解答：；
由于，
所以.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

10．设且问：
（1）k为何值时，
（2）k为何值时，A与B为邻边的平行四边形面积为6.
解答：(1) 要使，则，即，代入条件即，解得；
（2）要使以A与B为邻边的平行四边形面积为6，即，代入条件即，解得或
所属章节：第七章第四节
难度：二级

11．已知向量a+3b垂直于向量7a－5b,向量a－4b垂直于向量7a－2b,试求向量a与b的夹角.
解答：因为a+3b^7a-5b，a-4b^7a-2b，所以 (a+3b)×(7a-5b)=0, (a-4b)×(7a-2b)=0，
即 7|a|2+16a×b-15|b|2 =0, 7|a|2-30a×b+8|b|2 =0，
由以上两式可得
,
于是 ，.
所属章节：第七章第三节
难度：二级

12．设求：
解答：.
所属章节：第七章第四节
难度：二级

13．设试求下列各向量的坐标：
（1） （2） （3）
解答：（1）；
（2）；
（3）.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

14．求向量的模以及它与坐标轴之间的夹角.
解答：；
与坐标轴的夹角余弦分别为，
故与坐标轴的夹角分别为.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

15．已知一向量的起点是A(2,－2,5),终点是B(－1,6,7),试求：
（1）向量在各坐标轴上的投影；
（2）向量的模和方向余弦；
（3）的单位向量.
解答：由于向量，所以
（1）向量在各坐标轴上的投影为
（2）向量的模，
方向余弦为；
（3）的单位向量.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

16．已知向量的起点坐标为（2，0，－5），求它的终点坐标.
解答：终点坐标为.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

17． 已知向量的终点为B（2，－1，7），它在坐标轴上的投影依次为4、－4和7，求该向量起点A的坐标.
解答：起点A的坐标.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

18．已知向量求与同向的单位向量.
解答：由于，
单位化，与同向的单位向量为.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

19．设向量且，试求l与m的值.
（题目与解答不统一）如果题目中向量为，则答案为即原参考答案，下面按原题解答.
参考答案：
解答：由于，所以，解得或.
所属章节：第七章第二节
难度：一级

20．已知向量试求与
解答：；
.
所属章节：第七章第四节
难度：一级

21．已知和，试求向量在向量上的投影.
解答：，，.
所属章节：第七章第四节
难度：一级

22．设直线L通过点（－2，1，3）和（0，－1，2），求点（10，5，10）到直线L的距离.
解答：设，点到直线的距离为，则

利用，，解得
.
所属章节：第七章第四节
难度：二级

23．求点（1，－3，2）关于点（－1，2，1）的对称点.
解答：设，所求点为，由题意知，即，解得.
所属章节：第七章第四节
难度：一级

24．求以向量为相邻三棱的平行六面体的体积.
解答：由于，所以所求六面体的体积为
.
所属章节：第七章第四节
难度：三级

25．试证和四点共面.
解答：由题意，由于
，
所以四点共面.
所属章节：第七章第四节
难度：三级

26．确定球面的球心和半径.
参考答案：球心（本题参考答案有误）
解答：将原方程配方，得，故球心为，半径为.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

27．一球面过坐标原点和三点，试确定该球面的方程.
参考答案：
解答：设球面的方程为，将它所经过的四个点的坐标代入，即可解得，即球面方程为.
所属章节：第七章第五节
难度：二级

28．试求与距离相等的点的轨迹方程.
参考答案：
解答：设动点坐标为，则由条件有，故有
，
化简得.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

29．指出下列方程所表示的曲面：
（1） （2）
（3） （4）
解答：（1）母线平行于z轴的圆柱面；
（2）母线平行于z轴的双曲柱面；
（3）母线平行于x轴的椭圆柱面；
（4）母线平行于x轴的抛物柱面.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

30．说明下列旋转曲面是如何形成的并写出其名称：
（1） （2）
（3） （4）
解答：（1）旋转单叶双曲面，它是由双曲线或绕y轴旋转而成；
（2）旋转抛物面，它由抛物线或绕z轴旋转而成；
（3）旋转双叶双曲面，它是由双曲线或绕z轴旋转而成；
（4）圆锥面，它由相交的两条直线或绕z轴旋转而成.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

31．建立下列旋转曲面的方程：
（1）曲线绕x轴旋转一周所生成的旋转曲面；
（2）yOz平面上的椭圆绕z轴旋转一周所生成的曲面；
（3）xOy平面上的双曲线绕y轴和x轴旋转一周所生成的曲面；
（4）直线绕x轴旋转一周所生成的曲面.
解答：（1）
（2）
（3）绕y轴：
绕x轴：
（4）
所属章节：第七章第五节
难度：一级

32．指出下列方程所表示的曲线：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
解答：（1）平面x=3上的圆；
（2）平面y=－1上的圆；
（3）平面x=2上的双曲线；
（4）平面z=1上的抛物线；
（5）平面x=2上的椭圆.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

33．求曲线在xOy平面上的投影曲线.
（原参考答案有误）
解答：在所给方程中消去，得，加上，即得.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

34．求曲线在xOy平面上的投影曲线.
解答：在所给方程中消去，得，加上，即得
.
所属章节：第七章第五节
难度：一级

35．求下列曲线在xOy平面上的投影：
（1） （2）
解答：（1）在所给方程中消去，得，加上，即得；
（2）在所给方程中消去，得，加上，另外由知，故，于是投影曲线为 且.
所属章节：第七章第五节
难度：二级

36．求曲线在各坐标面上的投影：?
解答：xOy面： yOz面：且
xOz面：且
所属章节：第七章第五节
难度：二级

37．求下列各平面的方程：
（1）平行与（于）Oy轴，且通过点（1，－5，1）和（3，2，－2）；
（2）通过Ox轴和点（4，－3，－1）；
（3）平行于xOz平面，且通过点（3，2，－7）.
解答：（1）由于所求平面平行于Oy轴，故可设方程为，将另外两点坐标代入即得；
（2）由于所求平面通过Ox轴，故可设方程为，将另一点坐标代入即得；
（3）由于所求平面平行于xOz平面，故可设方程为，又通过点，故.
所属章节：第七章第六节
难度：一级

38. 设点P（3，－6，2）为原点到一平面的垂足，求该平面的方程.
解答：法向量为，所求平面的方程为，即
.
所属章节：第七章第六节
难度：一级

39．求通过两点（8，－3，1）和（4，7，2），且垂直于平面的平面方程.
解答：由条件可设法向量为
，
由点法式方程得
.
所属章节：第七章第六节
难度：二级

40．求通过点且垂直于两平面和的平面方程.
解答：由条件可设法向量为
，
由点法式方程得
.
所属章节：第七章第六节
难度：二级

41．求一个通过点和且平行y轴的平面方程.
解答：由条件可设法向量为
，
由点法式方程得
.
所属章节：第七章第六节
难度：二级

42．求a和b的值，使：
（1）平面与平行；
（2）平面与垂直.
解答：（1）要使平面与平行，则两个法向量平行，故有
，解得；
（2）要使平面与垂直，必须两个法向量垂直，故有，解得.
所属章节：第七章第六节
难度：一级

43．求过点（2，－3，8）且平行于直线的直线方程.
解答：由于两直线平行，方向向量相同，故得所求直线方程.
所属章节：第七章第七节
难度：一级

44．求过点（4，－2，3）且垂直于平面的直线方程.
解答：由于所求直线垂直于已知平面，它的方向向量与该平面的法向量相同，即，于是所求方程为.
所属章节：第七章第七节
难度：一级

45．求过点（－1，2，1）且平行于直线的直线方程.
解答：已知直线的方向向量为，所求直线方向向量与它相同，于是所求直线方程为.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

46．试求下列直线的标准方程：
（1） （2）
解答：（1）令，代入方程，求得直线上一点坐标为，
方向向量为，
于是标准方程为
（2）令，代入方程，求得直线上一点坐标为，
方向向量为，
于是标准方程为
所属章节：第七章第七节
难度：二级

47．确定下列直线与平面的位置关系：
（1）与
（2）与
解答：（1）直线的方向向量，平面的法向量，易证，故所给直线与平面平行；
（2）直线的方向向量，平面的法向量，易证，故所给直线与平面垂直.
所属章节：第七章第七节
难度：一级

48．确定下列直线间的平行或垂直关系：
（1）与
（2）与
解答：（1）直线的方向向量为，
直线的方向向量为，
由于它们平行，所以两条直线平行；
（2）直线的方向向量为，
直线的方向向量为，
由于它们垂直，所以两条直线垂直.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

49．求直线与平面的交点和交角.
参考答案： （参考答案有误？）
解答：将直线方程改写成参数形式，代入所给平面方程，解得，再代回直线方程，即得交点；
由于直线的方向向量为，平面的法向量，所以交角的正弦为，于是交角为.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

50．求点（3，－1，－1）在平面上的投影.
解答：过已知点向已知平面作垂线，参数形式为，代入已知平面解得参数，于是交点也即所求投影点为.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

51．求点（2，3，1）在直线上的投影.
解答：过已知点作垂直于已知直线的平面，
再将已知直线的参数方程代入，即得参数，两者交点即所求投影点为.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

52．在平面上求作一直线，使它与直线垂直相交.
解答：由于所求直线与直线垂直，故可作平面平行与该已知直线，得平面方程，联立已知平面方程，得一条直线，又由于所求直线与直线相交，将代入直线方程，可得，于是所求直线方程为，即.
所属章节：第七章第七节
难度：三级

53．通过点（－1，0，4）作一直线，使它平行于平面且与直线 相交.
解答：过点（－1，0，4）作一平面，使它平行于平面，得，
由于所求直线与已知直线 相交，将已知直线方程化为参数方程，代入平面方程，得交点，此为所求直线上另一点，过两点作出直线，即为所求.
所属章节：第七章第七节
难度：三级

54．求两异面直线和之间的距离.
解答：分别在两条已知直线上任取一点，如取，连接两点得向量，作与两条已知直线都垂直的向量，
则所求距离为.
所属章节：第七章第七节
难度：三级

55．一直线通过点（1，2，1）并与相交，且垂直于直线求它的方程.
解答：过已知点作垂直于已知直线的平面，得
，
它与已知直线交于点，连接，即得所求直线
.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

56．求通过直线且平行于直线的平面方程.
解答：过直线的平面束为，即
，由于它与直线平行，故，解得，于是所求平面方程为.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

57．求通过直线且垂直于平面的平面方程.
解答：过直线的平面束为，即
，由于它垂直于平面，故两者的法向量平行，解得，代回平面束方程，即得所求平面方程.
所属章节：第七章第七节
难度：二级

58．过两平面和的交线，作两个互相垂直的平面，且使其中一个平面通过点A（0，1，－1）.
解答：过两平面和的交线的平面束方程为，即，由于其中一个平面经过点，将此点坐标代入平面束方程，得，得到一个平面，
由于平面束中的另一个平面与上面平面垂直，利用法向量垂直，解得.
所属章节：第七章第七节
难度：三级