建立空间直角坐标系,解立体几何题.doc

建立空间直角坐标系，解立体几何高考题
立体几何重点、热点：
求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等．
常用公式：
1、求线段的长度：
2、求P点到平面的距离：，（N为垂足，M为斜足，为平面的法向量）
3、求直线l与平面所成的角：，(,,为的法向量)
4、求两异面直线AB与CD的夹角：
5、求二面角的平面角：，（ ，为二面角的两个面的法向量）
6、求二面角的平面角：，（射影面积法）
7、求法向量：①找；②求：设 为平面内的任意两个向量，为的法向量，
则由方程组，可求得法向量．

高中新教材9(B)引入了空间向量坐标运算这一内容，使得空间立体几何的平行﹑垂直﹑角﹑距离等问题避免了传统方法中进行大量繁琐的定性分析，只需建立空间直角坐标系进行定量分析，使问题得到了大大的简化。而用向量坐标运算的关键是建立一个适当的空间直角坐标系。
一﹑直接建系。
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系。
例1. (2002年全国高考题)如图，正方形ABCD﹑ABEF的边长都是1，而且平面ABCD﹑ABEF互相垂直。点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a（）。 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN最小时，求面MNA与面MNB所成二面角α的大小。
解：（1）以B为坐标原点，分别以BA﹑BE﹑BC为x﹑y﹑z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz，由CM=BN=a，M(，0，),N（，，0）
∴ =(0，，)
∴ =
=（）
（2）由（1）=
所以，当a=时，=，
即M﹑N分别移动到AC﹑BF的中点时，MN的长最小，最小值为。
（3）取MN的中点P，连结AP﹑BP，因为AM=AN，BM=BN，
所以AP⊥MN，BP⊥MN，∠APB即为二面角α的平面角。
MN的长最小时M(，0，),N（，，0）
由中点坐标公式P(，，),又A（1，0，0），B（0，0，0）
∴ =(，-，-)，=(-，-，-)
∴ cos∠APB===-
∴ 面MNA与面MNB所成二面角α的大小为π-arccos
例2.(1991年全国高考题)如图，已知ABCD是边长为4的正方形，E﹑F分别是AB﹑AD的中点，GC⊥面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
由题意 C（0，0，0），G（0，0，2），E（2，4，0），F（4，2，0），B（0，4，0）
∴ =（2，4，-2），=（4，2，-2），=（2，0，0）
设平面EFG的法向量为=（x，y，z），则⊥，⊥，
得，
令z=1，得x=，y=，
即=（，，1），
在方向上的射影的长度为
d ====
例3. (2000年二省一市高考题) 在直三棱柱ABC- A1B1C1中CA=CB=1，
∠BCA=900，棱A A1=2，M﹑N分别是A1B1﹑A1 A的中点。
（1）求的长； （2） 求cos；（3）求证：A1B⊥C1M
解：建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则C（0，0，0），B（0，1，0）， N（1，0，1），A1（1，0，2），B1（0，1，2），C1（0，0，2），M(，，2)
（1）=（1，-1，1）， 故=；
（2）=（0，1，2），=（1，-1，2）
∴ cos=
==
（3）=（-1， 1，-2），
=(，，0)
∴ •= -1×+1×+(-2)×0=0
∴ A1B⊥C1M
二﹑利用图形中的对称关系建系。
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系（如：正三棱锥﹑正四棱锥﹑正六棱锥等），我们可以利用图形的对称性建立空间直角坐标系来解题。
例4. (2001年二省一市高考题)如图，以底面边长为2a的正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz，其中Ox∥BC，Oy∥AB，E为VC的中点，高OV为h 。
（1）求cos； （2）记面BCV为α，面DVC为β，若∠BED是二面角α-VC-β的平面角，求∠BED 。
解：（1）由题意B（a，a，0），
D（-a，-a，0），E（-，，）
∴ =（-，-，），
=（，，）
cos=
=
=
（2） ∵ V（0，0，h），C（-a，a，0）
∴=（-a，a，- h）
又 ∠BED是二面角α-VC-β的平面角
∴ ⊥，⊥
即 ·=--= a2-=0， a2=
代入 cos==-
即∠BED=π-arccos
三﹑利用面面垂直的性质建系。
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间直角坐标系。
例5. (2000年全国高考题) 如图，正三棱柱ABC- A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a 。
（1） 建立适当的坐标系，并写出A﹑B﹑A1﹑C1的坐标；
（2） 求 AC1与侧面AB B1A1所成的角。
解：（1）如图，以点A为坐标原点，以AB所在直线为y轴，以AA1所在直线为z轴，以经过原点且与ABB1A1垂直的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。
由已知得：A（0，0，0），B（0，a，0），A1（0，0，a），C1（-，，a）
（2）取A1B1的中点M，于是有M（0，，a），连AM﹑MC1有
=（-，0，0），且=（0，a，0），=（0，0，a）
由于·=0，·=0，故MC1⊥平面AB B1A1 。
∴ A C1与AM所成的角就是AC1与侧面AB B1A1所成的角。
∵ =（-，，a），=（0，，a）,
∴ ·=0++2a2 =,
==a ，
==
∴ cos==
∴ 与所成的角，即AC1与侧面AB B1A1所成的角为30o 。
例6. (2002年上海高考题) 如图，三棱柱OAB- O1A1B1，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=600, ∠AOB=900，且OB= OO1=2，OA=。
求：（1）二面角O1–AB–O的大小；
（2）异面直线A1B与A O1所成角的大小。（结果用反三角函数值表示）
解：（1）如图，取OB的中点D，连接O1D，则O1D⊥OB
∵ 平面OBB1O1⊥平面OAB，
∴ O1D⊥面OAB，
过D作AB的垂线，垂足为E，连结O1E， 则O1E⊥OB，
∠DEO1为二面角O1–AB-O的平面角。
由题设得O1D=
sin∠OBA==
∴ DE=DBsin∠OBA=
∵ 在RtΔO1DE中，tan∠DE O1=
∴ ∠DE O1=arctan，即二面角O1–AB–O的大小为arctan。
（2）以O为原点，分别以OA﹑OB所在直线为x﹑y轴，过点O且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系。则O（0，0，0），O1（0，1，），
A（，0，0）， A1（，1，）， B（0，2，0），
则=（-，1，-），=（，-1，-）
cos〈，〉===-
故异面直线A1B与A O1所成角的大小arccos。

姓 名： 张传法
地 址： 山东临沂市罗庄区一中 （276017）
E-mail : zhangchuanfa424@
（注：本文发表于《数学通讯》2004年第6期）
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