求解行列式方法及技巧.doc

第 #% 卷 专 辑 陕西师范大学学报（自然科学版） 456 . #% +,- .

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求解行列式的方法和技巧

齐 成 辉
（咸阳师范学院数学系，陕西 咸阳 *!%"""）

摘 要：行列式的求解是高等代数中一个非常重要的内容，常规作法是用行列式的性 质和相关定理求解 . 本文介绍了几个非常规求解方法，即导数法、代数方程组法、分离 线性因子法、积分法等，以拓宽行列式解题思路 .
关键词：行列式；导数；积分；函数 中图分类号：0%)% 1 !! 文献标识码：2

高等代数中关于行列式求解，通常都是如何用性质、展开式、特殊形等方法，即用高等代数 知识求解高等代数问题，跨专业、跨学科解法很少介绍，所以学生们无法触及到这方面的知识， 不利于培养厚基础，宽口径人才 . 本文以用数学分析手段求解行列式为例，作了这方面的尝试 .
! 导数法

这种方法是利用已知行列式巧妙地构造以函数作为其元素的行列式，再利用 ! 阶行列式 求导的结果是 ! 个行列式之和，且每个行列式是由一行求导而其它各行不变所构成（或一列求 导而其它各列不变所构成）"
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作者简万介方：齐数成据辉（%&’%—），男，陕西乾县人，咸阳师范学院讲师

专 辑 齐成辉：求解行列式的方法和技巧 "&

由范得蒙行列式，得


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由（!）式知 !（"
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其余 " ) ! 个行列式都因有两行相同而等于零，这样按行列式求导的规则可得
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! 代数方程组法
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当所求行列式是由 " 个元素组成的，若用曾求解过的行列式作系数行列式，构造一个 " 元
线性方程组，所求行列式中可作为线性方程组解的组成部分，于是就可依下面的方法求解 *
例 ! 设 ," 是行列式，而 , 是范得蒙行列式（如下）：
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于是当 &( $ &（’
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的解中 #" 的值，又这个方程组可看做是 ." ) #"." ) ! ) ⋯ ) #" . ) #! $ %（*
系数视为 #!，#"，⋯，

#" ，未知数为 . ）有 " 个根 &!，&"，⋯，&" ，于是由高次方程根与系数的关系有
万方数据
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"’ 陕西师范大学学报（自然科学版） 第 $! 卷

因此 !" #（ $! % $" % ⋯ % $" ） ! （ $& ( $’ ）)
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假若有某 $& # $（’
& # ’），易看出结论仍成立 )

! 分离线性因子法

这种方法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式，经过变换后，发现它可被 一些线性因子所整除，这意味着（如果这些因子互素）它也可被这些因子的积所整除 ) 利用这 一特性，可求得行列的值 )

例 ! 计算行列式 ! #
# * + ,
* # , +
)
+ , # *
, + * #

解 把第 "，$，% 列都加到第 ! 列上，由多项式整除的概念，有 * % + % , - !；如果对第 ! 列
加上第 " 列减去第 $ 列和第 % 列后，同样有 + % , ( * - !；如果对第 ! 列加上第 $ 列减去第 " 列 和第 % 列后，同样有 * ( + % , - !；如果对第 ! 列加上第 % 列减去第 " 列和第 $ 列后，同样有 *
% + ( , - !；这意味着有（ * % + % ,）（ + % , ( *）（ * ( + % ,）（ * ( + % ,）- ! ) 因为，这四个因 子的乘积包含 ,%，带有系数 ( !，而行列式本身包含同一项 ,%，却系数为 % !，所以有
! # (（ * % + % ,）（ + % , ( *）（ * ( + % ,）（ * ( + % ,）#
*% % +% % ,% ( " *" +" ( " *" ," ( " +" ," )
# 积分法

这种方法用于当所求行列式中有一列看做一个与 " 有关的函数的定积分时，把积分号提 到行列式的外面后，所求的行列式即变成了易求解的形式 )
例 # 求 " % ! 阶（设 " 为偶数）行列式的值 )
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解 !" % ! 可看做一个 " % ! 阶行列式的积分
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万方数据

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专 辑 齐成辉：求解行列式的方法和技巧 #’

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$ " $

上式中作为被积函数的行列式，当第 !，#，⋯，! ，! # ! 列分别提出公因子 !，#，⋯，! ，" 后，余下 的是一个 ! # ! 阶范得蒙行列式 $
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于是 %! # ! & !’
"（ " ( !）（ " ( #）⋯（ " ( !）$ "（其中，’ 是与 " 无关的常数）$
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作变换：" & !
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) ，由于 ! 是偶数，所以有
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上面的积分区间为对称区间，被积函数是奇函数，故积分值为 "，即得 %! # ! & （"
常数 ’）$
不必计算

以上我们给出了用数学分析求解行列式的几种方法，可以看出其解法独特、新颖，这实际 上是几何与代数结合（解析几何）思想的一次实践，可用这种思想来研究与此相似的问题（如用
数学分析来解决多项式问题）$
参考文献：
［!］张禾瑞，郝钅丙新 % 高等代数［&］% 北京：高等教育出版社，!’’" %
［#］王萼芳 % 高等代数［&］% 上海：上海科学技术出版社，!’’! %
［(］武汉教育学院，等 % 高等代数［&］% 北京：高等教育出版社，!’’) %
〔责任编辑 王 勇〕
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万方数据

求解行列式的方法和技巧
作者： 齐成辉

作者单位： 咸阳师范学院数学系,陕西,咸阳,721000 刊名： 陕西师范大学学报(自然科学版)
英文刊名： JOURNAL OF SHANXI NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION) 年，卷(期)： 2003,31(z1)
被引用次数： 2次

参考文献(3条)

1.武汉教育学院 高等代数 1996

2.王萼芳 高等代数 1991

3.张禾瑞;郝(钅丙)新 高等代数 1990

本文读者也读过(10条)

1. 徐胜林.孙平 几类特殊行列式的求解方法[期刊论文]-高等函授学报（自然科学版）2002,15(5)
2. 陈黎钦.Chen Liqin 关于求解行列式的几种特殊的方法[期刊论文]-福建商业高等专科学校学报
2007(1)
3. 刘召明 行列式解法的再认识[期刊论文]-科技创新导报2009(12)
4. 袁欣欣.YUAN Xin-xin 一类广义Vandermonde行列式的求导计算法[期刊论文]-井冈山学院学报(自 然科学版)2007,28(2)
5. 陈旭东 非齐次差分方程解一类行列式[期刊论文]-科技信息（科学·教研）2007(26)
6. 周恩.ZHOU en 行列式定义问的等价性及某些性质的证明[期刊论文]-河北北方学院学报（自然科 学版）2005,21(4)
7. 王伟贤.王志伟.Wang Weixian.Wang Zhiwei 三对角逆M矩阵的判定[期刊论文]-高等学校计算数学 学报2005,27(3)
8. 胡档.潘剑斌 复杂行列式的求解方法[期刊论文]-考试周刊2008(4)
9. 李排昌 矩阵与解线性方程组[期刊论文]-中国人民公安大学学报：自然科学版2011,17(3)
10. 徐望宝.陈雪波 基于行列式淘汰法精确求解一般指派问题[会议论文]-2010

引证文献(2条)

1.刘召明 行列式解法的再认识[期刊论文]-科技创新导报 2009(12)
2.施晓青 关于行列式定义及其性质证明的改进[期刊论文]-沈阳师范大学学报（自然科学版）
2008(3)

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