第二章第10讲导数概念与运算.doc

第10讲　导数概念与运算

1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为.
(2)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．　
(3)函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
[做一做]
1．若f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．
解析：f′(x)＝x2＋2，故f′(－1)＝3.
答案：3
2．导数的四则运算法则
若u(x)，v(x)的导数都存在，则
(1)(u±v)′＝u′±v′，
推广：(u1＋u2＋…＋un)′＝u′1＋u′2＋…＋u′n；
(2)(u·v)′＝uv′＋u′v；
(3)()′＝(v≠0)；
(4)(mu)′＝mu′(其中m为常数)．
[做一做]
2．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为________．
解析：由题意x>0，且f′(x)＝2x－2－.
令f′(x)>0，则2x－2－>0，所以2x2－2x－4>0，
解得x<－1或x>2，又x>0，所以x>2.
答案：(2，＋∞)
3．求下列函数的导数．
(1)y＝(1－)；
(2)y＝3xex－2x＋e.
解：(1)因为y＝(1－)＝－＝x－－x，
所以y′＝(x－)′－(x)′＝－x－－x－.
(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)·ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.

1．必明辨的2个易错点
(1)曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系．
(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
[练一练]
1．曲线f(x)＝在点(－1，－1)处的切线方程为____________________________________________________．
解析：易知点(－1，－1)在曲线上，且f′(x)＝＝，所以切线斜率f′(－1)＝＝2.
由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
2．y＝的导数为________．
解析：y′＝′＝＝＝.
答案：
2．常用的8个结论
基本初等函数的导数公式：
原函数
导函数
f(x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f(x)＝xa(a为实数)
f′(x)＝axa－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f′(x)＝axln a
f(x)＝ex
f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝
[练一练]
3．求下列函数的导数．
(1)y＝；
(2)y＝＋；
(3)y＝.
解：(1)因为y＝＝x－＋x3＋，
所以y′＝(x－)′＋(x3)′＋(x－2sin x)′
＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.
(2)因为y＝＋＝，
所以y′＝′＝＝.
(3)y＝＝cos x－sin x，
所以y′＝－sin x－cos x.

考点一　利用定义求函数的导数　

　用导数的定义求函数y＝f(x)＝在x＝1处的导数．
[解]　Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－
＝＝.
所以＝－.
因为当Δx→0时，－→－，
所以f′(1)＝－.
[方法归纳]　利用导数的定义求函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的求解步骤：

　1.函数y＝x＋在[x，x＋Δx]上的平均变化率＝________；该函数在x＝1处的导数是________．
解析：因为Δy＝(x＋Δx)＋－x－
＝Δx＋－＝Δx＋.
所以＝1－.y′|x＝1＝0.
答案：1－　0
考点二　导数的运算(高频考点)　
　求下列函数的导数．
(1)y＝ex·ln x；
(2)y＝x；
(3)y＝－sin·(1－2cos2)．
[解]　(1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·＝ex(ln x＋)．
(2)因为y＝x3＋1＋，所以y′＝3x2－.
(3) 因为y＝－sin(－cos)＝sin x，
所以y′＝(sin x)′＝(sin x)′＝cos x.
[方法归纳]　(1)求导之前，应利用公式、定理等对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
　2.求下列各函数的导数：
(1)y＝；
(2)y＝3x2＋xcos x；
(3)y＝.
解：(1)因为y＝＝－(cos x＋sin x)，
所以y′＝sin x－cos x.
(2)y′＝6x＋(x)′cos x＋x(cos x)′＝6x＋cos x－xsin x.
(3)法一：y′＝
＝＝1－.
法二：因为y＝＝x＋，
所以y′＝1－.
考点三　导数的几何意义　[学生用书P39]

　已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
[解]　(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，
又f(2)＝－2，
所以曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4)，
因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，
所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)，
所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，
所以经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
[名师点评]　导数几何意义的应用，需注意以下两点：
(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；
(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．
　3.已知曲线y＝.
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；
(3)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
解：(1)因为y′＝－，又P(1,1)是曲线上的点，
所以P为切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1.
所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)，
即y＝－x＋2.
(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝上，则可设过该点的切线的切点为A(a，)，
则过该点的切线斜率为k1＝f′(a)＝－.
则切线方程为y－＝－(x－a)．
将Q(1,0)代入上面方程，得0－＝－(1－a)，
解得a＝，故所求切线方程为y＝－4x＋4.
(3)设切点坐标为B(b，)，
则切线斜率为k2＝－＝－，解得b＝±，
所以B(，)或B(－，－)，代入点斜式方程得所求切线方程为x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.

方法思想——等价转化思想在求导中的应用

　　　求下列函数的导数．
(1)y＝＋ ；
(2)y＝.
[解]　(1)y＝＋＝＋＝＝－2，
所以y′＝′＝＝.
(2)因为y＝x3＋x－＋＝x3＋x－＋sin x·x－2，
所以y′＝(x3＋x－＋sin x·x－2)′＝3x2－x－＋cos x·x－2＋(－2x－3)sin x　
＝3x2－＋－，
所以y′＝3x2－＋－.
[感悟提高]　有些函数经过转化以后会使函数式更为简洁，这样易于求导．因此，我们做题应注意分析题目结构，进行恰当变形，这也是数学中的等价转化思想体现．在求导过程中要熟记和、差、积、商的求导法则，特别是积、商的求导法则不要记错．
　4.求y＝ln的导数．
解：因为y＝4ln x－ln(x2＋1)，所以y′＝－··2x＝－.
5．求y＝x－sincos的导数．
解：y＝x－sincos＝x－sin x.
所以y′＝′＝x′－(sin x)′＝1－cos x．　

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．
答案：3(x2－a2)
2．已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.
解析：y′＝4x3＋2ax，由导数的几何意义知在点(－1，a＋2)处的切线斜率k＝y′|x＝－1＝－4－2a＝8，解得a＝－6.
答案：－6
3．已知f(x)＝x(2 015＋ln x)，f′(x0)＝2 016，则x0＝________.
解析：由题意可知f′(x)＝2 015＋ln x＋x·＝2 016＋ln x．由f′(x0)＝2 016，得ln x0＝0，解得x0＝1.
答案：1
4．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
解析：因为y′＝2ax－，依题意得y′|x＝1＝2a－1＝0，所以a＝.
答案：
5．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为________．
解析：由f(x)＝xln x得f′(x)＝ln x＋1.
根据题意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，因此x0＝e.
答案：e
6．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.
解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，
所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.
所以f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.
答案：－4
7.已知函数y＝f(x)及其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则曲线y＝f(x)在点P处的切线方程是________．
解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(2)＝1，又过点P(2,0)，
所以切线方程为x－y－2＝0.
答案：x－y－2＝0
8．若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为________．
解析：y′＝x2＋2bx＋4，
因为y′≥0恒成立，所以Δ＝4b2－16≤0，所以－2≤b≤2.
答案：[－2,2]
9．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sin x＋cos x，则f′＝________.
解析：因为f(x)＝f′()sin x＋cos x，
所以f′(x)＝f′()cos x－sin x，
所以f′()＝f′()cos－sin，即f′()＝－1，
所以f′(x)＝－sin x－cos x，
故f′()＝－cos－sin＝－.
答案：－
10．已知函数f(x)，g(x)满足f(5)＝5，f′(5)＝3，g(5)＝4，g′(5)＝1，则函数y＝的图象在x＝5处的切线方程为________．
解析：由y＝＝h(x)，知
y′＝h′(x)＝，
得h′(5)＝
＝＝.
又h(5)＝＝＝，
所以切线方程为y－＝(x－5)，
即5x－16y＋3＝0.
答案：5x－16y＋3＝0
11．求下列函数的导数．
(1)y＝x·tan x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
解：(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′
＝tan x＋x·′＝tan x＋x·
＝tan x＋.
(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11.
12．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：
(1)斜率最小的切线方程；
(2)切线l的倾斜角α的取值范围．
解：(1)因为y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，
所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，
所以斜率最小的切线过点，
斜率k＝－1，
所以切线方程为x＋y－＝0.
(2)由(1)得k≥－1，
所以tan α≥－1，
所以α∈∪.

1．若曲线y＝x2＋aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k，若k的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．
解析：y＝x2＋aln x的定义域为(0，＋∞)，
由导数的几何意义知y′＝2x＋≥2＝4，则a＝2，
当且仅当x＝1时等号成立，代入曲线方程得y＝1，
故所求的切点坐标是(1,1)．
答案：(1,1)
2．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________.
解析：f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，
所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.
答案：－120
3．设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________．
解析：因为y′＝x－(x＋1)＋＝＋≥2＝，设点P(x，y)(x>0)，
则在点P处的切线的斜率k≥，
所以tan θ≥，
又θ∈[0，π)，故θ∈[，)．
答案：[，)
4．已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2 014＝________.
解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，
f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x，
f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又因为f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
所以f1()＋f2()＋…＋f2 014()＝503＋f1()＋f2()＝0.
答案：0
5．对于正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，求数列{}的前n项和．
解：由题意，得切点坐标为(2，－2n)．
因为y＝f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn＋1，
所以y′＝nxn－1－(n＋1)xn，
从而f′(2)＝n·2n－1－(n＋1)·2n＝(－－1)·2n，
因此切线的方程为y＋2n＝(－－1)·2n(x－2)．
令x＝0，得an＝(1＋n)·2n，
所以＝2n.
故数列{}的前n项和为＝2n＋1－2.
6．(选做题)设有抛物线C：y＝－x2＋x－4，过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．
(1)求k的值；
(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．
解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1，①
y1＝－x＋x1－4，②
①代入②得x＋(k－)x1＋4＝0.
因为P为切点，所以Δ＝(k－)2－16＝0得k＝或k＝.
当k＝时，x1＝－2，y1＝－17.
当k＝时，x1＝2，y1＝1.
因为P在第一象限，所以所求的斜率k＝.
(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5.③
将③代入抛物线方程得x2－x＋9＝0.
设Q点的坐标为(x2，y2)，即2x2＝9，
所以x2＝，y2＝－4.
所以Q点的坐标为(，－4)．