同济大学版概率论与数理统计——修改版答案.doc

概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（一）
一．选择题
1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ]
（A）不可能事件 （B）必然事件 （C）随机事件 （D）样本事件
2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ]
（A）{抽到的三个产品全是合格品} {抽到的三个产品全是废品}
（B）{抽到的三个产品全是合格品} {抽到的三个产品中至少有一个废品}
（C）{抽到的三个产品中合格品不少于2个} {抽到的三个产品中废品不多于2个}
（D）{抽到的三个产品中有2个合格品} {抽到的三个产品中有2个废品}
3．下列事件与事件不等价的是 [ C ]
（A） （B） （C） （D）
4．甲、乙两人进行射击，A、B分别表示甲、乙射中目标，则表示 [ C]
（A）二人都没射中 （B）二人都射中
（C）二人没有都射着 （D）至少一个射中
5．以表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件为. [ D]
（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”；
（C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销
6．设，则表示 [ A]
（A） （B）
（C） （D）
7．在事件，，中，和至少有一个发生而不发生的事件可表示为 [ A]
（A）； （B）；
（C）； （D）.
8、设随机事件满足，则 [ D ]
（A）互为对立事件 (B) 互不相容
(C) 一定为不可能事件 (D) 不一定为不可能事件

二、填空题
1．若事件A，B满足，则称A与B 互不相容或互斥 。
2．“A，B，C三个事件中至少发生二个”此事件可以表示为 。

三、简答题：
1．一盒内放有四个球，它们分别标上1，2，3，4号，试根据下列3种不同的随机实验，写出对应的样本空间：
（1）从盒中任取一球后，不放回盒中，再从盒中任取一球，记录取球的结果；
（2）从盒中任取一球后放回，再从盒中任取一球，记录两次取球的结果；
（3）一次从盒中任取2个球，记录取球的结果。
答：（1）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)｝
（2）｛（1,1）,(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)｝
(3）｛(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)｝

2．设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件。
（1）A、B、C中只有A发生； （2）A不发生，B与C发生；
（3）A、B、C中恰有一个发生； （4）A、B、C中恰有二个发生；
（5）A、B、C中没有一个发生； （6）A、B、C中所有三个都发生；
（7）A、B、C中至少有一个发生； （8）A、B、C中不多于两个发生。
答：

概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（二）
一、 选择题：
1．掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是 [ B ]
（A） （B） （C） （D）
2．袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是 [ B ]
（A） （B） （C） （D）
3． 已知事件A、B满足，则 [ B]
（A） （B）
（C） （D）
4．A、B为两事件，若，则 [ B]
（A） （B）
（C） （D）
5．有6本中文书和4本外文书，任意往书架摆放，则4本外文书放在一起的概率是 [ D]
（A） （B） （C） （D）
二、选择题：
1．设A和B是两事件，则
2．设A、B、C两两互不相容，，则0.5
解答：
3．若，则 0.8 。
解：

4．设两两独立的事件A，B，C满足条件，，且已知
，则1/4 。
解：
5．设，，则A、B、C全不发生的概率为 1/2 。
解：
6．设A和B是两事件，，，则0.54 。
解：
三、计算题：
1．罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子，若从中任取3颗，求：
（1）取到的都是白子的概率；
（2）取到的两颗白子，一颗黑子的概率；
（3）取到的3颗中至少有一颗黑子的概率；
（4）取到的3颗棋子颜色相同的概率。
解：（1）

2．加工某一零件共需经过4道工序，设第一、二、三和四道工序的次品率分别为2%、3%、5%和3%，假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。
解：A,B,C,D分别表示第一、二、三四道工序出现次品

3．袋中人民币五元的2张，二元的3张和一元的5张，从中任取5张，求它们之和大于12元的概率。
解：

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第一章 随机事件及其概率（三）
一、 选择题：
1．设A、B为两个事件，，且，则下列必成立是 [ A ]
（A） （D） （C） （D）
2．设盒中有10个木质球，6个玻璃球，木质球有3个红球，7个蓝色；玻璃球有2个红色，4个蓝色。现在从盒中任取一球，用A表示“取到蓝色球”，B表示“取到玻璃球”，则P(B|A)=[ D ]。
（A） （B） （C） （D）
3．设A、B为两事件，且均大于0，则下列公式错误的是 [ B ]
（A） （B）
（C） （D）
4．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取的2件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 [ B ]
（A） （B） （C） （D）

解：A：至少有一件不合格品，B：两件均是合格品。

5．设A、B为两个随机事件，且，则必有 [ C ]
（A） （B）
（C） （D）
解：
二、填空题：
1．设A、B为两事件，，则 1/6
解：
2．设，则 0.6
解：
3．若，则 0.9
解：
4．某产品的次品率为2%，且合格品中一等品率为75%。如果任取一件产品，取到的是一等品的概率为 0.735
解：A：合格品；C：一等品.

5．已知为一完备事件组，且
，则 1/18
解：
三、计算题：
1．某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，活到12岁的概率为0.56，求现年10岁的该动物活到12岁的概率是多少？
解：A: 某种动物由出生活到10岁.B: 某种动物由出生活到12岁

2．某产品由甲、乙两车间生产，甲车间占60%，乙车间占40%，且甲车间的正品率为90%，乙车间的正品率为95%，求：
（1）任取一件产品是正品的概率；
（2）任取一件是次品，它是乙车间生产的概率。
解：A：某产品由甲两车间生产。B：任取一件产品是正品。
已知：

3．为了防止意外，在矿内同时设有两报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：
（1）发生意外时，这两个报警系统至少一个有效的概率；
（2）B失灵的条件下，A有效的概率。
解: 设A为系统A有效, B为系统B有效, 则根据题意有
P(A)=0.92, P(B)=0.93,
(1) 两个系统至少一个有效的事件为A+B, 其对立事件为两个系统都失效,
即, 而, 则

(2) B失灵条件下A有效的概率为, 则

4．某酒厂生产一、二、三等白酒，酒的质量相差甚微，且包装一样，唯有从不同的价格才能区别品级。厂部取一箱给销售部做样品，但忘了标明价格，只写了箱内10瓶一等品，8瓶二等品，6瓶三等品，销售部主任从中任取1瓶，请3位评酒专家品尝，判断所取的是否为一等品。专家甲说是一等品，专家乙与丙都说不是一等品，而销售主任根据平时资料知道甲、乙、丙3位专家判定的准确率分别为。问懂得概率论的主任该作出怎样的裁决？
解：A：这瓶酒是一等品。
分别表示甲、乙、丙说是一等品。相互独立。
已知：概率论与数理统计练习题
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第一章 随机事件及其概率（四）
一、 选择题：
1．设A，B是两个相互独立的事件，，则一定有 [ B ]
（A） （B） （C） （D）
2．甲、乙两人各自考上大学的概率分别为0.7，0.8，则两人同时考上大学的概率是 [ B ]
（A）0.75 （B）0.56 （C）0.50 （D）0.94
3．某人打靶的命中率为0.8，现独立的射击5次，那么5次中有 2次命中的概率是 [ D ]
（A） （B） （C） （D）
4．设A，B是两个相互独立的事件，已知，则 [ C ]
（A） （B） （C） （D）
5．若A，B之积为不可能事件，则称A 与B [ B ]
（A）独立 （B）互不相容 （C）对立 （D）构成完备事件组
二、填空题：
1．设与是相互独立的两事件，且，则 0.12
2．设事件A，B独立。且，则A，B至少一个发生的概率为 0.82
3．设有供水龙头5个，每一个龙头被打开的可能为0.1，则有3个同时被打开的概率为

4．某批产品中有20%的次品，进行重复抽样调查，共取5件样品，则5件中恰有2件次品的概率为 ，5件中至多有2件次品的概率
。
三、计算题：
1．设某人打靶，命中率为0.6，现独立地重复射击6次，求至少命中两次的概率。
解：所求的概率为

2．某类灯泡使用寿命在1000个小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只坏一个的概率。
解：设A =“灯泡使用寿命在1000个小时以上”， 则
所求的概率为

3．甲、乙、丙3人同时向一敌机射击，设击中敌机的概率分别为0.4，0.5，0.7。如果只有一人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.2；如果2人击中飞机，则飞机被击落的概率是0.6；如果3人都击飞机，则飞机一定被击落，求飞机被击落的概率。
解：设A =“甲击中敌机” B =“乙击中敌机” C =“丙击中敌机”
Dk =“k人击中飞机”（k =1，2，3） H =“敌机被击中”

4．一质量控制检查员通过一系列相互独立的在线检查过程（每一过程有一定的持续时间）以检查新生产元件的缺陷。已知若缺陷确实存在，缺陷在任一在线检查过程被查出的概率为。
（1）求缺陷在第二个过程结束前被查出的概率（缺陷若在一个过程查出就不再进行下一个过程）；
（2）求缺陷在第个过程结束之前被查出的概率；
（3）若缺陷经3个过程未被查出，该元件就通过检查，求一个有缺陷的元件通过检查的概率；
注：（1）、（2）、（3）都是在缺陷确实存在的前提下讨论的。
（4）设随机地取一元件，它有缺陷的概率为，设当元件无缺陷时将自动通过检查，求在（3）的假设下一元件通过检查的概率；
（5）已知一元件已通过检查，求该元件确实是有缺陷的概率（设）。
解：设Ak =“第k个过程前有缺陷的元件被查出”
B =“元件有缺陷” C =“元件通过检查”
（1）
（2）

（3）
（4）
（5）
（）
5．设A，B为两个事件，，证明A与B独立。
证： 由于
已知
有
即
所以 A与B独立

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第一章 随机事件及其概率（五）
一、选择题：
1．对于任意两个事件A和B [ B ]
（A）若，则A，B一定独立 （B）若，则A，B有可能独立
（C）若，则A，B一定独立 （D）若，则A，B一定不独立
2．设，则 [ D ]
（A）事件A和B互不相容 （B）事件A和B互相对立
（C）事件A和B互不独立 （D）事件A和B相互独立
3．设A，B为任意两个事件且，，则下列选项必然成立的是 [ B ]
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
1．已知A，B为两个事件满足，且，则
2．设两两独立的事件A，B，C满足条件，，且已知
，则 0.25
3．假设一批产品中一，二，三等品各占60%，30%，10%，从中任意取出一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率是 2/3
三、计算题：
1．设两个相互独立的事件都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求A发生的概率
解：已知 又
而
所以，有
故

2．如果一危险情况发生时，一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多个开关并联以改善可靠性。在发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了，警报就发出。如果两个这样的开关并联连接，它们每个具有的可靠性（即在情况发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少？如果需要有一个可靠性至少为的系统，则至少需要用多少只开关并联？设各开关闭合与否是相互独立的。
解：设一个电路闭合的可靠性为p，已知 ，
所以
设n个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999
则
即 ,
所以 取6个开关并联，可使系统可靠性至少为0.9999。

3．将三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为，而输出为其他一字母的概率为。今将字母串之一输入信道，输入的概率分别为，已知输出为，问输入的是的概率是多少？（设信道传输各个字母的工作是相互独立的）
解：

4．一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为，假设产品的优质率为。如果各件产品是否为优质品相互独立。求：
（1）计算生产线在两次故障间共生产k件（k = 0，1，2，…）优质品的概率；
（2）若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率。
解：

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第二章 随机变量及其分布（一）
一．选择题：
1．设X是离散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是 [ ]
（A） （B）
（C） （D）
2．设随机变量ξ的分布列为 为其分布函数，则= [ ]
（A）0.2 （B）0.4 （C）0.8 （D）1
二、填空题：
1．设随机变量X 的概率分布为 ，则a =
2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X的概率分布为
3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X的概率分布为
三、计算题：
1．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：
（1）X的概率分布； （2）； （3）

2．产品有一、二、三等品及废品四种，其中一、二、三等品及废品率分别为60%，10%，20%及10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X描述检查结果。

3．已知随机变量X只能取，0，1，2四个值，相应概率依次为，试确定常数c，并计算

4．一袋中装有5只球编号1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中最大号码，写出随机变量X的分布律和分布函数。

5．设随机变量，若，求

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第二章 随机变量及其分布（二）
一、选择题：
1．设连续性随机变量X的密度函数为，则下列等式成立的是 [ A ]
（A） 　（Ｂ）　　（Ｃ）　　（Ｄ）
解：（A）
2．设连续性随机变量X的密度函数为，则常数　　　　　[ A ]
（A） （B） （C） （D）
解：
3．设，要使，则 [ C ]
（A） （B） （C） （D）
4．设，，则下列等式不成立的是 [ C ]
（A） （B） （C） （D）
5．X服从参数的指数分布，则 [ C ]
（A） （B） （C） （D）
解：
二、填空题：
1．设连续性随机变量X的密度函数为，则常数A = 3
解：
2．设随机变量，已知，则 0.1
三、计算题：
1．设求和
解：
2．设随机变量X的密度函数为，且
求：（1）常数 （2） （3）的分布函数
解：
3．设某种电子元件的使用寿命X（单位：h）服从参数的指数分布，现某种仪器使用三个该电子元件，且它们工作时相互独立，求：
（1）一个元件时间在200h以上的概率；
（2）三个元件中至少有两个使用时间在200h以上的概率。

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第二章 随机变量及其分布（三）
1．已知X的概率分辨为 ，试求：
（1）常数a； （2）的概率分布。

2．设随机变量X在（0，1）服从均匀分布，求：
（1）的概率密度；
（2）的概率密度。

3．设，求：
（1）的概率密度；
（2）的概率密度。

4．设随机变量X的概率密度为，求的概率密度。

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第三章 多维随机变量及其分布（一）
一、填空题：
1、设二维随机变量的联合密度函数为，则常数1/6 。

2、设二维随机变量的联合分布函数为，则常数 。

二、计算题：
1．在一箱子中装有12只开关，其中2只次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种实验：
（1）放回抽样；（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：
，
试分别就（1），（2）两种情况，写出X和Y的联合分布律。
解：1．（1）放回抽样 （2）不放回抽样
Y 0 1
X
0 15/22 5/33
1 5/33 1/66

Y 0 1
X
0 25/36 5/36
1 5/36 1/36

Y
X
2．设二维离散型随机变量的联合分布见表：试求
（1），
（2）
解：（1），
（2）

Y 0
X
1 1/4 1/4
2 1/6 a

3．设随机变量的联合分布律如表：
求：（1）a值； （2）的联合分布函数
（3）关于X，Y的边缘分布函数和
解：（1）1/4+1/4+1/6+a=1,a=1/3
（2）
（3）
0

1
-1 0
1/4 1/4
1/6 1/3
X
Y
pi•
p• j
5/12 7/12
1/2

1/2

4．设随机变量的概率密度为，求：
（1）常数k； （2）求； （3）； （4）
（1）
（2）
（3）
（4）

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第三章 多维随机变量及其分布（二）
一、选择题：
1、设随机变量与独立，且，则仍服从正态分布，且有
[ D ]
（A） (B)
(C) (D)
2、若服从二维均匀分布，则 [ B ]
（A）随机变量都服从均匀分布 （B）随机变量不一定服从均匀分布
（C）随机变量一定不服从均匀分布 （D）随机变量服从均匀分布
二、填空题：
1、设二维随机变量的密度函数为，
则 。

2、设随机变量同分布，的密度函数为，设与相互独立，且，则 。

三、计算题：
1．已知，X与Y独立，确定a，b的值，求出的联合概率分布以及的概率分布。
解：由归一性 所以
由归一性 所以
Y
X
1 24/539 54/539 216/539
2 12/539 27/539 108/539
3 8/539 18/539 72/539
的联合概率分布

由于

的概率分布为：

2．随机变量与的联合密度函数为，分别求下列概率密度函数：（1）； （2）； （3）。
解：（1）

即
所以 Z的概率密度函数为
或 当时，
当时，

所以 Z的概率密度函数为

（2）由于

则X与Y相互独立。
当时，
当时，

所以

（3） 当时，
当时，

所以

3．设与是独立同分布的随机变量，它们都服从均匀分布。试求
（1）的分布函数与概率密度函数；
（2）的概率密度函数。
解：（1）
当或时，
当时，
当时，
所以，

（2）当时，；当时，
当时，；
当时，；
当时，
即 的分布函数为：
所以 的概率密度函数为：

4．设X和Y相互独立，其概率密度函数分别为，，求：（1）常数A， （2）随机变量的概率密度函数。
解：（1） 由于，所以A = 1
（2） 随机变量的概率密度函数
（）
当时，
当时，
当时，

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第四章 随机变量的数字特征（一）
一、选择题：
1．设随机变量X，且存在，则是 [ B ]
（A）X的函数 （B）确定常数 （C）随机变量 （D）x的函数
2．设X的概率密度为，则 [ C ]
（A） （B） （C） （D）1
3．设是随机变量，存在，若，则 [ D ]
（A） （B） （C） （D）
二、填空题：
1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.5
2．设X为正态分布的随机变量，概率密度为，则 9
X 0 1 2
P 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30
3．设随机变量X的概率分布 ，则 116/15

4．设随机变量X的密度函数为，则 0
三、计算题：
1．袋中有5个乒乓球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个，以X表示取出的3个球中最大编号，求
解：X的可能取值为3，4，5
，

2．设随机变量X的密度函数为，求
解：

3．设随机变量，求
解：

4．设随机变量X的密度函数为，试求下列随机变量的数学期望。
（1） （2） （3）
解：（1）
（2）

（3）

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第四章 随机变量的数字特征（二）
一、选择题：
1．已知，则 [ B ]
（A）9 （B）6 （C）30 （D）36
2．设，则有 [ D ]
（A） （B）
（C） （D）
3．设服从参数为的泊松分布，，则 [ D ]
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题：
1．设随机变量X的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为0.6 , 0.3 , .01，则 0.45
2．设随机变量X的密度函数为，则 2
3．随机变量X服从区间[0，2]上的均匀分布，则 1/3
4．设正态分布Y的密度函数是，则 1/2
三、计算题：
1．设随机变量X的可能取值为1，2，3，相应的概率分布为0.3 , 0.5 , .02，求：的期望与方差；
解：

2．设随机变量，试求、、与
解： = sqrt()

= 1
所以
= 0
= 3

3．设随机变量X的分布密度为，已知，求：（1）常数A，B，C的值； （2）方差； （3）随机变量的期望与方差。
解：（1）

得
得
得
所以 解得

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第四章 随机变量的数字特征（三）
一、选择题：
1．对任意两个随机变量和，若，则 [ C ]
（A） （B）
（C）X与Y相互独立 （D）X与Y不相互独立
2．由即可断定 [ A ]
（A）X与Y不相关 （B）
（C）X与Y相互独立 （D）相关系数
二、填空题：
1．设维随机变量服从，则 13
2．设与独立，且，，则 27
三、计算题：

0
1

0.125
0.125
0.125
0
0.125
0
0.125
1
0125
0.125
0.125
1． 已知二维随机变量的分布律如表：
试验证与不相关，但与Y不独立。
解：X的分布律为: