高一寒假(清北班)资料1(函数的周期性).doc

专题一：函数的周期性
（一）函数的周期性
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有
，则为周期函数，为这个函数的一个周期。若为一个周期，则
也为周期。若周期函数的正周期中有一个最小者，这个周期就叫最小正周期。
（1）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。
证明：因为，所以，，所以是以为周期的周期函数。
（2）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。
证明：因为，令，则，于是对于恒成立，所以是以为周期的周期函数。
（3）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。
证明：由已知，所以是以为周期的周期函数。
（4）已知函数对任意实数，都有，则是的一个周期。
证明：由已知 ，于是
，所以是以为周期的周期函数。
如：还有“”、“”等也是周期函数。
（二）函数的对称性与周期性及关系：
（1）函数对于定义域上的任意，如果都有或，则函数关于直线对称，反之也成立。
（2）函数对于定义域上的任意，如果都有或，
则函数关于点对称，反之也成立。
（3）一般地，函数有两种及以上的对称性时，则函数是周期函数。（详见补充中的定理3）
如：已知函数对任意实数，都有且，则是的一个周期。
证明：不妨设，于是
，∴是的一个周期；当时同理可得。所以，是的周期。
补充：
定理1：函数的图象关于点对称的充要条件是。
证明：（必要性）设点是图象上任一点，∵点关于点的对称点也在图象上，∴，即，故
，必要性得证。
（充分性）设点是图象上任一点，则，∵，∴，即。故点也在 图象上，而点与点关于点对称，充分性得征。
推论：函数的图象关于原点对称的充要条件是。
定理2：函数的图象关于直线对称的充要条件是 ，即
。（证明留给读者）
推论：函数的图象关于轴对称的充要条件是。
定理3：①若函数图象同时关于点和点成中心对称，则
是周期函数，且是其一个周期。
②若函数图象同时关于直线和直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。
③若函数图象既关于点成中心对称又关于直线成轴对称，则是周期函数，且是其一个周期。
①的证明留给读者，②已证明，以下给出③的证明：
∵函数图象既关于点成中心对称，∴，用代得：…………（*）
又∵函数图象直线成轴对称，∴代入（*）得：
…………（**），
用代得代入（**）得：
，故是周期函数，且是其一个周期。
1．函数的周期性：
例1．已知是实数集上的函数，且对任意恒成立。
（1）求证：是周期函数；
（2）已知，求的值。

变式训练
（1）设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是（ ）
（A） （B） （C） （D）

（2）已知，定义，则（ ）
A． B． C． D．

2．函数奇偶性、周期性、对称性与综合应用：
例2．（1）定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有，且，则的值为（ ）
A． B． C．0 D．1

（2）已知是定义在上的且以2为周期的偶函数，当时，，如果直线与曲线恰有两个交点，则实数的值是（ ）
A. B. C. 或 D.以上答案都不对

（3）已知函数是定义域为的周期为的奇函数，且当时
，则方程在区间上的解的个数是 。

（4）定义在R上的偶函数满足：
①对任意都有成立；
②；
③当且时，都有．
则：（Ⅰ）；
（Ⅱ）若方程在区间上恰有３个不同实根，则实数的取值范围是________。
例3．设函数在上满足，且在闭区间上，只有。
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论。

例4．已知函数是定义域为的奇函数，且它的图象关于直线对称。
（1）求的值；
（2）证明函数是周期函数；
（3）若，求时，函数的解析式，并画出满足条件的函数至少一个周期的图象。

例5．函数是定义在上的偶函数，且对任意实数，都有成立。当时，。
（1）求时，函数的表达式；
（2）求时，函数的表达式；
（3）若函数的最大值为，解关于的不等式。

例6．设是定义在区间上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数恒有则称为定义在上的“函数”.
（1）试判断函数是否为各自定义域上的函数，并说明理由；
（2）若是定义域为的函数，且最小正周期为，试证明不是上的函数.

课后作业
1．设是上的奇函数，，当时，，则
（ ）
A. B. C. D.
2．已知函数为奇函数，函数为偶函数，且，则＝__________。
3．设f（x）是R上的奇函数，它在[-1，0]上是增函数，且，那么（ ）
A．＜f（1）＜ B．＜f（1）＜
C．＜＜f（1） D．＜＜f（1）
4.定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期。若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为（ ）
A.0 B.1 C.3 D.5
5．已知是周期为2的奇函数，当时，，设
则（ ）
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
6.（安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则
_______________。
7．是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则与的大小关系是____________________。
8．已知是定义在R上的函数，且，若，则
的值为__________________。
9．函数是上的奇函数，满足，当∈（0，3）时，则当∈（，）时，=（ ）
A. B. C. D.
10．若存在常数，使得函数满足，则的一个正周期为_____。
11．已知函数f (x)的定义域为R，且 , 则f(2006)=__________。
12．（08四川）设定义在上的函数满足，若，则（ ）
A．13 B．2 C． D．
13.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（　　）
Ａ.在区间上是增函数，在区间上是增函数
Ｂ.在区间上是增函数，在区间上是减函数
Ｃ.在区间上是减函数，在区间上是增函数
Ｄ.在区间上是减函数，在区间上是减函数
14．定义在上的函数的图象关于点成中心对称，对任意的实数都有
，且，则的值为
（ ）
A． B． C．0 D．1
15．已知函数（xR）满足，且x[-1，1]时，,则与的图象的交点个数为（　）
A．2　　　　　　B．3　　　　　 C．4　　　　　　D．5
16．定义在R上的奇函数f(x)以4为周期，则的值为____.
17.设f(x)是定义在R上的偶函数，且,当－1≤x≤0时，，则_________。
18.设f(x)是定义在区间(－∞,＋∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用表示区间(2k－1,2k+1],已知x∈时，，求f(x)在上的解析式。

课后作业答案
1． 2．周期为8，故。 3．D
4.Ｄ 提示：，
，故。
5．D 提示：已知是周期为2的奇函数，当时，，设
，，<0，
∴，选D。
6.解：由得，所以，则。
7． 提示：∵在上是偶函数，且，
∴，∴，∴是以2为周期的偶函数，
∴,。
又∵在(0.1)上是增函数，0.1与0.2且,∴，
∴。
8. 解：
，即函数的周期为8， 故。
9.B
10． 提示：令，依题意有，此式对任意都成立，而
>0且为常数，因此，说明是一个周期函数，为最小正周期。
11． 12．C 13.Ｂ 14．D 15．C 16．0
17.解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；又∵f(1+x)= f(1－x) ，∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3。
18.略。
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