2014江苏省南通中考数学试卷(余中华).doc

2014年江苏省南通中考数学试卷
数 学
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项：
1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2014年江苏省南通市，1，3分）－4的相反数是
A．4 B．－4 C． D．－
【答案】A
【考点解剖】本题考查了相反数的概念，解题的关键是掌握求相反数的方法．
【解题思路】求－4的相反数，只需将负号换成正号，即可得到－4的相反数．
【解答过程】－4与＋4只有符号不同，绝对值相等，因此这两个数互为相反数．
【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆相反数、倒数和绝对值的概念．
【方法规律】求一个数的相反数，只需改变这个数的符号，不改变其绝对值即可．也可以在这个数前面添加“－”号，如a的相反数是－a．
【试题难度】★
【关键词】相反数．
2．（2014年江苏省南通市，2，3分）如图，∠1＝40°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为
A．160° B．140° C．60° D．50°
F

【答案】B
【考点解剖】本题考查了相交线和平行线的性质，解题的关键是由∠1＝40°，求得∠B的同位角或同旁内角．
【解题思路】由∠1＝40°，求得∠1的邻补角或对顶角，根据两直线平行，同位角相等（同旁内角互补）可以求出∠B的度数．
【解答过程】∵CD∥BE，∴∠B＝∠AFD，∵∠1＋∠AFD＝180°，∠1＝40°，∴∠AFD＝140°，∴∠B＝140°．故本题答案为B．
【易错点津】此类问题容易出错的地方是在计算的时候出错．
【方法规律】“对顶角和邻补角的性质、平行线的性质”建立起两直线位置关系与角度相等或互补之间的关系，因此当图形中出现相交线和平行线的时候，要解决的问题常与角度的计算相关．
【试题难度】★
【关键词】相交线；对顶角；平行线的性质．
3．（2014年江苏省南通市，3，3分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱

【答案】A
【考点解剖】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是从三视图中获取物体的形状和数量关系．
【解题思路】根据主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视图和左视图宽度相等进行判断．
【解答过程】从主视图和左视图可以看出这个几何体是柱体，从俯视图可以看出这个几何体不是棱柱，是圆柱．所以本题选A．
【方法规律】由视图到立体图形，根据视图想像出视图所反映的立体形状，我们称为读图．读图的一般规律：
1、长、宽、高的关系：
主视图和俯视图长度相等，主视图和左视图高度相等，俯视图和左视图宽度相等．
2、上下、前后、左右的关系：
读图时，可从主视图上分清物体各部分的上下和左右位置；从俯视图上分清物体各部分的左右和前后位置；从左视图上分清物体各部分的上下和前后位置．
【试题难度】★★★★★
【关键词】三视图；
4．（2014年江苏省南通市，4，3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是
A．x≥ B．x≥－ C．x＞ D．x≠
【答案】C
【考点解剖】本题考查了二次根式的意义，解题的关键是知道分式有意义和二次根式有意义的条件．
【解题思路】是二次根式，因此2x－1≥0，在分母上，因此≠0．
【解答过程】由题意，，解得x＞．
【易错点津】此类问题容易出错的地方是二次根式有意义和分式有意义只考虑其中一种情况，或者两种情况不能综合起来，得出最终的答案．
【方法规律】确定式子中二次根式的被开方数字母取值范围的思路
（1）如果二次根式的被开方数是整式，只要满足被开方数是非负数；
（2）被开方数是分式，首先要确保分式有意义，即分母不等于0；其次要保证分式的值不小于0，即分子等于0或分子分母同号．
根据以上要求，可列出关于字母的不等式组，根据不等式组的解集确定字母的取值范围。
【试题难度】★★
【关键词】二次根式的意义；分式的意义．
5．（2014年江苏省南通市，5，3分）点P(2，－5)关于x轴对称的点的坐标为
A．(－2， 5) B．(2，5) C．(－2，－5) D．(2，－5)
【答案】B
【考点解剖】本题考查了成轴对称的两个点的坐标特征，解题的关键是明确成轴对称的两个点坐标之间的规律．
【解题思路】成轴对称的两个点的坐标，横坐标相等，纵坐标互为相反数．
【解答过程】把点P(2，－5)的纵坐标－5改成它的相反数5，即可得到点P关于x轴对称点的坐标．
【易错点津】此类问题容易出错的地方是记错成轴对称的两个点的坐标的规律．
【方法规律】有关点的轴对称的规律如下：
（1）点（x，y）关于x轴对称的点坐标是（x，－y），即横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）点（x，y）关于y轴对称的点坐标是（－x， y），即纵坐标不变，横坐标互为相反数．
【试题难度】★★
【关键词】轴对称；
6．（2014年江苏省南通市，6，3分）化简的结果是
A．x＋1 B．x－1 C．－x D．x
【答案】D
【考点解剖】本题考查了分式加减，解题的关键是利用分式加减法则进行计算．
【解题思路】先通分，把异分母的分式转化为同分母的分式，然后再进行同分母的分式相加减。
【解答过程】＝
【易错点津】此类题易错的地方是分式的符号变化，即分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，任意改变其中两个分式的值不变，即，特别容易错的是改变分式或分母中第一项的符号而使计算出错。
【方法规律】分式加减运算法则如下：
运算
法则
数学表达式
加减法
同分母相加减：分母不变，分子相加减．
±＝．
异分母相加减：先通分，同乘以各分母的最小公倍数，再按同分母相加减法则运算．
．
【试题难度】★★
【关键词】分式的加减运算；
7．（2014年江苏省南通市，7，3分）已知一次函数y＝kx－1，若y随x的增大而增大，则它的图象经过
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
【答案】C
【考点解剖】本题考查了一次函数图象的性质，解题的关键是掌握一次函数中参数对函数图象的作用．
【解题思路】先由一次函数的增减性确定k的大小，然后再根据一次函数中的k和b，确定图象经过的象限。
【解答过程】解：由于一次函数y＝kx－1， y随x的增大而增大，所以k>0，由于k>0，b<0，所以图形经过第一、三、四象限。所以本题选C．
【易错点津】此类题易错的有两个地方，一是不懂得k是决定函数的增减性，二是不知解析式中b的几何意义。
【方法规律】一次函数的图象及性质
一次函数
y＝kx＋b（k≠0）
k、b符号
k＞0
k＜0
b＞0
b＜0
b＝0
b＞0
b＜0
b＝0
图象
x
y
O

x
y
O

x
y
O

x
y
O

x
y
O

x
y
O

性质
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
【试题难度】★★★
【关键词】一次函数图象的性质；
8．（2014年江苏省南通市，8，3分）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围是
A．a≥1 B．a＞1 C．a≤－1 D．a＜－1
【答案】A
【考点解剖】本题考查了一元一次不等式组无解的情形下不等式组中参数的情形．解题的关键是大于大数小于小数方程无解来求解不等组中的参数．
【解题思路】先分别解两个不等式，然后再利用大于大数小于小数方程无解来求解。
【解答过程】解不等式（1）得：，解不等式（2）得：，由于不等式组无解，
【易错点津】此类题容易错的地方是忽视端点值而选B。
【方法规律】解决含有参数的不等式需要按以下几个步骤：
（1）解不等式或不等式组，含有参数的也要解，把参数当已知数来解，这是必不可少的步骤；
（2）借助于数轴，形象准确的把握不等式组有解，无解，以及有几个整数解的问题。
（3）注意端点值，这类问题一般都与端点有关，一是用数轴来说明是那个端点，二是进行检验，有无端点是不是满足题意。
【试题难度】★★★
【关键词】一元一次不等式组；含有参数的一元一次不等式组解的情形；
9．（2014年江苏省南通市，9，3分）如图，△ABC中，AB＝AC＝18，BC＝12．正方形DEFG的顶点E，F在△ABC内，顶点D，G分别在AB，AC上，AD＝AG，DG＝6，则点F到BC的距离为
A．1 B．2 C． D．

【答案】D
【考点解剖】本题考查了与三角形的中位线有关的线段的计算，解题的关键是画出正确的图形用相似三角形的性质求解．
．
【解题思路】过A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，先求出AI和IH的值，再求F点到BC的距离。
【解答过程】过A作AH⊥BC于点H，交DG于点I，面积BH＝＝6， 在直角三角形ABH中，AH＝，由于D，G分别是的AB，AC的中点，则I为AH的中点，IH＝，DG＝，则正方形DGFE的边长FG＝6，于是F到BC的距离＝
【易错点津】此类题易错的地方是无法用平行线等分线段定理得出I为AH的中点。
【方法规律】求线段的长度，我们一般会用到勾股定理，相似三角形，解直角三角形，有时还会用到面积法，或是在直角坐标系中用两点间距离公式。
【试题难度】★★★
【关键词】三角形的中位线；勾股定理；
10．（2014年江苏省南通市，10，3分）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（a＞r）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是
A． B． C．(－π)r2 D．πr2

【答案】C

【考点解剖】本题考查了切线长定理及与圆有关的面积的计算。解题的关键是算出圆与三角形的一个角之间接触不到的部分．
【解题思路】先求出⊙O与一个角之间接触不到的部分，利用切线长定理求出四边形OCAB的面积再减去扇形OCB的面积，得到的面积乘以3即可。
【解答过程】把⊙O移至图中的位置，则AC，AB与⊙O相切，连接OA，则OB⊥AB，则∠OAB＝30°，∵OB＝r，则AB＝，，S扇形OBC＝πr2＝πr2，于是圆形纸片“接触不到的部分”的面积是(－π)r2，故本题选C.
【易错点津】本题易错的地方是想不到把圆移动到解题图中的位置，先找出圆与正三角形不能接触到的一个部分的面积。
【方法规律】求图形的面积分两种情形：
（1）规则图形，如三角形，特殊的四边形，扇形，梯形直接用公式进行计算；
（2）不规则图形，用割补法，即用规则图形的面积进行适当的运算，就可求出不规则图形的面积．
【试题难度】★★★★★
【关键词】圆；正三角形；切线长定理；面积；
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11．（2014年江苏省南通市，11，3分）我国第一艘航母“辽宁舰”最大排水量为67500吨，这数据用科学记数法可表示为_______吨．
【答案】6.75×104
【考点解剖】本题考查了了数的科学记数法，解题的关键是看小数点移动的方向和位数．
【解题思路】大数如何把大数的小数点进行移动，使它变成符合要求的形式。
【解答过程】把67500的小数点向左移动4位，得6.75，于是67500用科学记数法可表示为6.75×104
【易错点津】此类题目中，易错点为：①a的值和符号；②n的符号及n的值．
【方法规律】
x的取值范围
表示方法
a的取值
n的取值
备注
|x|≥10

1≤|a|＜10
整数的位数﹣1
1、表示负数时，仍需要带上负号；
2、两个数相乘除时，类似于单项式之间的乘除．

第一位有效数字前所有0的个数（含小数点前的0）
【试题难度】★★
【关键词】科学记数法 ；
12．（2014年江苏省南通市，12，3分）因式分解a2b－ab＝_______．
【答案】
【考点解剖】本题考查了本题考查了整式的因式分解，解题的关键是按因式分解的步骤进行分解．
【解题思路】本题的整式是一个多次二项式，先提取公因式，再看能不能用平方差公式进行进一步的分解．
【解答过程】原式＝＝ab(a－1)(a＋1)
【易错点津】此类问题容易出错的地方是提取公因式后，不用平方差公式进行分解。
【归纳拓展】因式分解一般步骤为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检验”，先考虑通过提公因式，套用公式法解决，不行再考虑用分组分解法进行，最后检验因式分解是否彻底正确。
【试题难度】★★
【关键词】因式分解；提取公因式法；平方差公式；；
13．（2014年江苏省南通市，13，3分）若关于x的方程x2－6x＋m＝0有两个相等的实数根，则实数m＝_______．
【答案】9
【考点解剖】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是由方程有两个相等实数根，知方程的判别式为零．
【解题思路】由根的情况，得到判别式的大小．
【解答过程】由于x的方程x2－6x＋m＝0有两个相等的实数根，则，解得m＝9.
【易错点津】关于一元二次方程根的判别，要注意是有两个实数根，还是两个不相等的实数根，如果是两个实数根，其判别式应该是大于等于零，如果是有两个不相等的实数根，其判别式应该是大于零。
【方法规律】1.一元二次方程根的判别式：
（1）根的判别式：在一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)中，代数式⊿＝b2－4ac 叫做根的判别式.（2）一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)根的情况与根的判别式⊿＝b2－4ac 之间的关系：①⊿＞0有两个不相等的实数根；②⊿＝0有两个相等的实数根；③⊿＜0没有实数根
【试题难度】★★
【关键词】一元二次方程根与系数的关系；
14．（2014年江苏省南通市，14，3分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是（－4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线______________．
【答案】x＝－1
【考点解剖】本题考查了抛物线的对称性，解题的关键是根据点的对称求抛物线的对称轴．
【解题思路】由给出的点（－4，0），（2，0）判别这两个点关系对称轴对称，从而求出抛物线的对称轴。
【解答过程】由于抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是（－4，0），（2，0），这两个点关于对称轴对称，于是对称轴的方程为：
【易错点津】求抛物线的对称轴，一般用，如果想根据两个点求出解析式中的a，b，c.就无法求出其对称轴。
【方法规律】求抛物线的对称轴有以下几个方法：
（1）已知抛物线的解析式，用对称轴公式来求；
（2）已知抛物线的解析式中，a，b两数的值成一定的比例，也可用对称轴公式来进行计算；
（3）知道抛物线上两个点的纵坐标相等，而横纵坐不等时，用中点公式即可求出抛物线的对称轴，如本题的解法。
【试题难度】★★★★★
【关键词】抛物线的对称轴；
15．（2014年江苏省南通市，15，3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，连接AC，∠DAC＝∠BAC．若BC＝4cm，AD＝5cm，则AB＝_______cm．

【答案】8

【考点解剖】本题考查了有关梯形的计算，解题的关键是把梯形转化为平行四边形和三角形．
【解题思路】过点C作CE∥AD交AB于点E.可得菱形AECD，然后由勾股定理求出BE的长，最后可得到AB的长度．
【解答过程】过点C作CE∥AD交AB于点E，则得到平行四边形AECD，CE＝AD＝5，由于AB∥DC，所以∠CAE＝∠DCA，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AE＝CD＝AD＝5，在直角三角形CEB中，由勾股定理可得：BE＝，∴AB＝AE+BE＝8.
【易错点津】此类题目易错的地方是不知怎样把梯形的问题转化为平行四边形与三角形的问题。
【方法规律】解决梯形的问题一般有如下的辅助线：
1．平移一腰，把梯形转化为一个平行四边形和一个三角形，如本题；
2．过一底的两个顶点作另一底的垂线，把梯形分成两个三角形和一个矩形；
3．延长两腰相交，转化为两个三角形。
【试题难度】★★★
【关键词】与梯形有关的计算；
16．（2014年江苏省南通市，16，3分）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机撒一把豆子，豆子落在_______区域的可能性最大（填A或B或C）．

【答案】A
【考点解剖】本题考查了概率与面积的问题，解题的关键是概率的大小与面积成正比．
【解题思路】先分别算出A，B，C三部分的面积，面积最大的就是豆子落入可能性最大的。
【解答过程】，，，由此可见，A的面积最大，则豆子落入可能性最大，故本题选A
【易错点津】此类题易错的地方是不知概率与面积成正比，就无法时行判定。
【方法规律】点落在子区域内的概率就等于这个子区域与全部区域的面积比，相对于本题就是概率的大小与所对应的区域的面积成正比例。
【试题难度】★★★
【关键词】概率与面积；

17．（2014年江苏省南通市，17，3分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，点O在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝_______度．

【答案】60

【考点解剖】本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及等边对等角的性质，解题的关键是把要求的两个角进行转换．
【解题思路】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B＝∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC＝2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B＋∠ADC＝180°，即可求得∠B＝∠AOC＝120°，∠ADC＝60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD＋∠OCD的度数．
【解答过程】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°． ∵四边形OABC为平行四边形，∴∠AOC＝∠B．又∵由题意可知∠AOC＝2∠ADC．∴∠ADC＝180°÷3＝60°．连接OD，可得AO＝OD，CO＝OD．∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC．∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠D＝60°．
【易错点津】此类题易错的地方是无法把平行四边形与圆的内接四边形联系起来，也不是找不出题目中角与角的关系．
【方法规律】看到求与圆有关的角，就想到：
（1）同弧所对的圆周角相等；
（2）一第弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；
（3）圆的内接四边形的对角互补；
（4）同圆的半径相等，等边对等角等。
【试题难度】★★★
【关键词】与圆的关的角；
18．（2014年江苏省南通市，18，3分）已知实数m，n满足m－n2＝1，则代数式m2＋2n2＋4m－1的最小值等于_________．
【答案】4
【考点解剖】本题考查了求代数式的极值问题，解题的关键是消元及在自变量的取值范围内求最小值．
【解题思路】先用含有m的代数式来表示，然后再求函数的最小值。
【解答过程】解：由m－n2＝1，可得，且，
所以m2＋2n2＋4m－1＝＝＝
∵，所以m2＋2n2＋4m－1的最小值＝
【易错点津】本题容易忽视m的取值范围，而得代数式的最小值为-12.
【方法规律】求代数式极值的几种情形：
（1）只含有一个字母的代数式，一般用二次函数的知识来求极值，或是其它可以转化为二次函数形式的代数式也可以用顶点的坐标来求代数式的极值；
（2）含有两个参数，且有一个是等式，这时需要先消元，然后再求第（1）种方法来求极值，但此时需要注意题目中给定的等式中隐含了某个自变量的取值范围，忽视这一点，就无法正确解出结果。
（3）有时可以把代数式化成几个完全平方式或是几个非负数的形式的和也可以来求代数式的极值，本题是可以用这种方法来求它的最小值的。
【试题难度】★★★★★
【关键词】代数式的最小值；消元；
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2014年江苏省南通市，19（1），5分）（本小题满分10分）
计算：（1）；
【答案】解：原式＝4＋1－2－2＝1．
【考点解剖】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟知负整数指数幂，零次幂，算术平方根及乘方运算．
【解题思路】先分别算出，，，的值，再进行实数的加减法。
【解答过程】解：原式4＋1－2－2＝1．
【易错点津】此类题易错的是算错4的算术平方根或是负整数指数幂。
【方法规律】有关实数的运算一般涉及到乘方，负整数指数幂，零次幂，算术平方根，特殊角的三角函数等，这类计算题需要我们熟练掌握各个知识点，计算时逐个突破，最后的计算比较简单。
【试题难度】★★
【关键词】实数的运算；

（2014年江苏省南通市，19（1），5分）（2）[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y．
【考点解剖】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是按运算法则进行计算．
【解题思路】本题应该先做括号内的乘法，再合并，最后做除法。
【解答过程】解：原式＝(x3y2－x2y－x2 y＋x3y2)÷x2y
＝(2x3y2－x2y) ÷xy＝2xy－2
【易错点津】此类题易错的地方是混淆幂的运算。
【方法规律】整式混合运算的顺序：
1.有括号的先算括号，先小括号，再中括号，最后大括号；
2.有乘方的先做乘方，再做乘除，最后做加减。
【试题难度】★★
【关键词】整式的混合运算。

20．（2014年江苏省南通市，20，8分）（本小题满分8分）
如图，正比例函数y＝－2x与反比例函数的图象相交于A(m，2)，B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）结合图象直接写出当－2x＞时，x的取值范围．

【答案】（1）y＝－，B（1，－2）．（2）x＜－1或0＜x＜1．
【考点解剖】本题考查了一次函数与反比例函数的交点以及函数值的大小比较，解题的关键点在函数上，则点的坐标适合函数的解析式，比较两个函数值的大小时利用两个函数值之差来进行比较．
【解题思路】先把点的坐标代入直线解析式，得出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数可得反比例函数的解析式；比较两个函数值的大小时，看交点的两侧函数图象的位置。
【解答过程】解：（1）把x＝m，y＝2代入y＝－2x，得m＝－1，所以点A坐标为（－1，2）
把x＝－1，y＝2代入y＝，得k＝－2，所以反比例函数的表达式为y＝－，
由于直线y＝－2x与双曲线y＝－均关于原点对称，所以点B坐标为（1，－2）
（2）x＜－1或0＜x＜1．
【易错点津】由于直线与反比例函数有两个交点，把函数分成三个区间，考虑时要注意各个区间的情况，不能忽视任何一个区间。
【方法规律】比较两个函数值的大小可分以下几个步骤：
（1）作一条垂直的x轴的垂线与要被比较的两个函数相交；
（2）移动这条直线使它经过由两个函数的交点分成的各个区间；
（3）在各个区间来比较函数值的大小。
这种函数值差的方法在后面的压轴题部分去研究平行四边形的存在以及计算与图象有关的面积时有非常重要的作用。
【试题难度】★★★★★
【关键词】反比例函数；
21．（2014年江苏省南通市，21，8分）
如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁，海轮以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果海轮不改变航行继续向东航行，有没有触礁的危险？

【答案】解：过点P做PH⊥AB于点H，∠PHB＝90°．
∵海轮的速度是18海里/时，行驶了40分钟，
∴AB＝18×＝12（海里），由题意可得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBH＝90°－30°＝60°，
∴∠BPH＝30°，∠APB＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝12．
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，所以PH＝12×＝6．
∵6＞8，∴货轮继续前进没有触礁的危险．

【考点解剖】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形利用三角形函数进行计算．
【解题思路】过点P做PH⊥AB于点H，先算出PB，然后再解直角△PBH，求出PH的大小，再进行比较最后作出判断。
【解答过程】解：过点P做PH⊥AB于点H，∠PHB＝90°．
∵海轮的速度是18海里/时，行驶了40分钟，
∴AB＝18×＝12（海里），由题意可得∠PAB＝90°－60°＝30°，∠PBH＝90°－30°＝60°，
∴∠BPH＝30°，∠APB＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴BP＝AB＝12．
在Rt△PBH中，sin∠PBH＝，所以PH＝12×＝6．
∵6＞8，∴货轮继续前进没有触礁的危险．

【易错点津】此类题易错的地方是看错或是理解不了方位角，搞错的角度也就没有办法往下进行正确的计算。
【方法规律】解决此类解直角三角形的应用于一般有以下几个步骤：
（1）把实际问题转化为数学问题，转化的过程就是识别方位角，仰角，俯角等概念；
（2）分析题目中的已知条件和要求的线段的长度，可在图上适当的做些标记；
（3）用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要用那些中间量（线段或角）进行过渡；
（4）解直角三角形，有时还需要构造直角三角形；
（5）写出答案。
【试题难度】★★★
【关键词】解直角三角形的应用；
22．（2014年江苏省南通市，22，8分）（本小题满分8分）
九年级（1）班开展了为期一周的“敬老爱亲”社会活动，并根据学生做家务的时间来评价他们在活动中的表现.老师调查了全班50名学生在这次活动中做家务的时间，并将统计的时间（单位：小时）分成5组；A：0.5≤x＜1，B：1≤x＜1.5，C：1.5≤x＜2，D：2≤x＜2.5，E：2.5≤x＜3，制作成两幅不完整的统计图（如图）.
请根据图中提供的信息，解答下列问题；
这次活动中学生做家务时间的中位数所在的组是___________;
（1）补全频数分布直方图；
（2）该班的小明同学这一周做家务2小时，他认为自己做家务的时间比班里一半以上的同学多，你认为小明的判断符合实际吗？请用适当的统计知识说明理由.

【答案】解：（1）C
（2）

（3）小明的判断符合实际．
理由：这次活动中做家务的时间的中位数所在的范围是1.5≤x<2，
小明这一周做家务2小时，所在的范围是2≤x＜2.5，所以小明的判断符合实际．
【考点解剖】本题考查了有关条形图和扇形统计图的计算，解题的关键是从条形和扇形图中读出相关联的数据．
【解题思路】（1）由C组的百分率可求出C组的人数，B组的总人数可用总人数减去其它各组的人数；（2）中位数需要我们找出第25，26两位同学在那一组。第（3）小题需要进行计算来说明问题．
【解答过程】解：（1）C
（2）

（3）小明的判断符合实际．
理由：这次活动中做家务的时间的中位数所在的范围是1.5≤x<2，
小明这一周做家务2小时，所在的范围是2≤x＜2.5，所以小明的判断符合实际．
【易错点津】本题有两个地方容易出错，一是求中位数，不排序，二是第（3）凭主观意象不计算就来说明问题。
【方法规律】统计图中相关量的计算方法
（1）条形统计图：一般涉及补图，也就是求未知组的频数，方法如下：
①未知组频数＝样本总量－已知组频数之和；
②未知组频数＝样本容量×该组所占样本百分比；
（2）扇形统计图：一般涉及求未知组的百分比或其所占圆心角的度数，方法如下：
①未知组百分比＝1－已知组百分比之和；
②未知组百分比＝；
③若求未知组在条形统计图中圆心角的度数，利用360º×其所占样本百分比即可．
(3)统计表：一般涉及求频数和频率（百分比），方法同上．
（4）折线统计图：一般涉及补图，根据统计表中未知数的数量（或根据题目条件求出未知组数量），描点即可．
【试题难度】★★
【关键词】统计图；条形图；扇形图。
23．（本小题满分8分）
盒中有x个黑球和y个白球，这些球除颜色外无其他差别。若从盒中随机取一个球，它是黑球的概率是；若往盒中再放进1个黑球，这时取得黑球的概率变为．
（1）填空：x＝_______，y＝_______；
（2）小王和小林利用个黑球和y个白球进行摸球游戏，从盒中随机摸取一个，接着从剩下的球中再随机摸取一个，若两球颜色相同则小王获胜，若颜色不同则小林获胜，求两个人获胜的概率各是多少？
【答案】（1）2，3；
（2）画出树形图如下

所有可能出现的结果共有20种，这些结果出现的可能性相同，两个球颜色相同的共有8种，
两个球颜色不同的共有12种．
∴P(小王获胜)＝；P（小林获胜）＝．
【考点解剖】本题考查了概率的相关计算，解题的关键是用图表列出所有等可能事件．
【解题思路】（1）根据简单的概率的求法列方程进行计算；（2）用树状图法列出所有等可能的事件，再找出符合条件的情形，最后再求概率。
【解答过程】（1）2，3；
（2）画出树形图如下

所有可能出现的结果共有20种，这些结果出现的可能性相同，两个球颜色相同的共有8种，
两个球颜色不同的共有12种．
∴P(小王获胜)＝；P（小林获胜）＝．
【易错点津】请注意本题第（2）中摸出的小球不放回，否则就错了。
【方法规律】求概率的方法。（1）直接公式法：，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；
（2）列举（列表或画树状图）法：
当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算。
一般步骤为：①判断使用列表或画树状图法：列表一般适用于两步计算概率；画树状图法适合于两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式求事件A发生的概率；
（3）判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平。
【试题难度】★★
【关键词】概率；
24．（2014年江苏省南通市，24，8分）（本小题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点M 在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.
（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；
（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．

【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝16，∴DE＝CD＝8，
∵BE＝4，∴OE＝OB－BE＝OD－4．
在Rt△OED中，OE²＋ED2＝OD2，∴(OD－4)2＋82＝OD2，解得OD＝10．
∴⊙O的直径是20．
（2）∵弦CD⊥AB，∴∠OED＝90°．∴∠EOD＋∠D＝90°．
∵∠M＝∠D，∠EOD＝2∠M，∴∠BOD＋∠D＝2∠M＋∠D＝90°．∴∠D＝30°．

【考点解剖】本题考查了垂径定理以及与圆有关的角的计算，解题的关键是用勾股定理和外角进行计算．
【解题思路】（1）用勾股定理来求与垂径定理有关的线段的长度；（2）用三角形的外角及一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系来求角的大小．
【解答过程】解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝16，∴DE＝CD＝8，
∵BE＝4，∴OE＝OB－BE＝OD－4．
在Rt△OED中，OE²＋ED2＝OD2，∴(OD－4)2＋82＝OD2，解得OD＝10．
∴⊙O的直径是20．
（2）∵弦CD⊥AB，∴∠OED＝90°．∴∠EOD＋∠D＝90°．
∵∠M＝∠D，∠EOD＝2∠M，∴∠BOD＋∠D＝2∠M＋∠D＝90°．∴∠D＝30°．
【易错点津】第（2）中找不出角与角的关系。
【方法规律】看到垂径定理的基本图形，就想到用勾股定理来求线段的长度；看到要求与圆有角的大小，就想到(1)同弧所对的圆周角相等；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半；（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；（3）直角三角形两锐角互余；（4）圆的内接四边形的对角互补。
【试题难度】★★★
【关键词】垂径定理；与圆有关角；
25．（2014年江苏省南通市，25，9分）（本小题满分9分）
如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”.现向容器内匀速注水，注满为止.在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示.
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）圆柱形容器的高为____________cm，匀速注水的水流速度为__________cm/s；
（2）若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm，求“几何体”上方圆柱的高和底面积．

【答案】解：（1）14，5；
（2）由题意可知，30a－15a＝18×5．解得a＝6．
故“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5cm．
设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm²，
则（30－S）×5＝5×6．解得S＝24．
故“几何体”上方圆柱的底面积为24cm²．

【考点解剖】本题考查了以容器内注入水为背景考查了一元一次方程的应用于。解题的关键是弄清楚水流的速度以及注水过程中的三个阶段．
【解题思路】（1）由24s到42s这个过程求出匀速注水的水流速度；（2）通过列一元一次方程来求解。
【解答过程】解：（1）14，5；
（2）由题意可知，30a－15a＝18×5．解得a＝6．
故“几何体”上方圆柱的高为11－6＝5cm．
设“几何体”上方圆柱的底面积为S cm²，
则（30－S）×5＝5×6．解得S＝24．
故“几何体”上方圆柱的底面积为24cm²．
【易错点津】这个题的易错点也就是难点，是不知注入水的体积等于容器接入水的体积相等。
【方法规律】列一元一次方程解应用题的一般步骤为：
审：分析题意，弄清题目中数量间的关系；
设：用x表示题目中的一个未知数；
找：找出一个能够表示应用题中全部含义的相等关系；
列：对照这个相等关系列出所需的代数式，从而列出方程；
解：解所列出的方程，求出未知数的值；
答：检验所求出的解是否符合题意，写出答案．
【试题难度】★★★
【关键词】一元一次方程的应用；
26．（2014年江苏省南通市，26，10分）（本小题满分10分）
如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEGF，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB、GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，AG＝，求GD的长．

【答案】（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴AB＝AD，AE＝AG，∠EAG＝∠BAD．
∴∠EAB＝∠GAD，∴△EAB≌△GAD．∴EB＝GD．
（2）解：连接BD，交AC于点O，则AC⊥BD．
∵∠DAB＝60°，∴BD＝AB＝2，∠BAO＝30°．
∴BO＝AB＝1，AO＝．又∵AE＝AG＝，∴EO＝2．
∴EB＝＝
由（1）得EB＝GD，∴GD＝

【考点解剖】本题考查了以菱形为背景的全等三角形以及线段的计算，