有限理性与一类群体博弈弱有效Nash均衡的稳定性.pdf

Mathemitca数学物理学报2023,43A(4):1311-1320Cientiahttp:/有限理性与一类群体博奔弱有效 Nash 均衡的稳定性张海群(上海立信会计金融学院国际经贸学院上海2 0 12 0 9)摘要：该文引入了一个参与人具有无限个目标的群体博奔模型，并且定义了它的弱有效Nash均衡的概念，进一步又证明了该弱有效Nash均衡的存在性，最后构造了一个有限理性模型研究了有限理性下该弱有效Nash均衡的稳定性.关键词：群体博奔；无限个目标；弱有效Nash均衡；有限理性；稳定性.MR(2010）主题分类：9 1A10;91A12;91A40中图分类号：O225文章编号：10 0 3-39 9 8(2 0 2 3)0 4-1311-101引言Nash1首次引入了n人非合作博奔模型，尽管如此，很多情况下博奔并不存在纯策略Nash均衡为了得到均衡的存在性结果，混合策略的概念被提出，一个混合策略被认为是一个纯策略空间的概率分布考虑到参与人通常都是随机选取策略的，Nash2使用了生物群体的思想来解释混合策略他假设博奔中的每个参与人都是一个群体，且这个群体中有大量的个体，每一个个体都能够从相同的纯策略集中选取策略，一个混合策略就是这个群体的状态分布受Nash1-2的启发，群体博奔被建立起来2 0 10 年，Sandholm3详细介绍了群体博奔的模型和相关理论，并且还给出了群体博奔Nash均衡的存在性定理，在现实活动中，代理人之间的行动通常会出现相互依赖的现象，如交通拥堵现象：汽车驾驶员在道路上行驶，其经历的延误不仅依赖于他自已选择的路线，也依赖于其他驾驶员在该路线上造成的拥堵情况Sandholm3 给出的群体博奔模型为分析诸如上述交通拥堵现象中出现的拥有大量个体的群体之间策略互动问题提供了一个有力的工具近来，Yang和Yang4 将文献3中单目标群体博奔模型推广到了多目标群体博奔，并且定义了该多目标群体博奔弱Pareto-Nash 均衡的概念，研究了该多目标群体博奔弱Pareto-Nash 的均衡存在性和通有稳定性Yang 和Zhang5 又在文献3 的单目标群体博奔模型基础上通过假设某些群体存在合作行为定义了该群体博奔合作均衡的概念，并且利用了Kaji6中的命题2 证明了此合作均衡的存在性定理，同时还研究了此合作均衡的本质稳定性关于群体博奔方面的研究还可参见文献7-11 等.从上述文献可以看出，过去关于群体博奔方面的研究主要关注参与人具有有限个目标的情形，而对参与人具有无限个目标的群体博奔研究还很少，这类群体博奔也可以被用来分析很多重要的现实问题尤其是在当群体中的参与人面临无限个决策目标，而他在做决策时收稿日期：2 0 2 2-0 5-2 3；修订日期：2 0 2 2-11-19E-mail:文献标识码：A1312又需要顾及到每个目标时，显然已有的参与人具有有限个目标的群体博奔模型在分析此类问题时就存在局限性，因此有必要借助新的群体博奔模型近来，文献 12 给出了一个参与人具有无限个目标的选举博奔的例子，并在正规型博奔模型基础上引入了一个参与人具有无限个目标的博奔模型，同时证明了此类博奔均衡的存在性受文献 12 的启发，本文构建一个参与人具有无限个目标的群体博奔模型，并且定义此类群体博奔弱有效Nash 均衡的概念，进而证明该均衡解的存在性.另一方面，在博奔论研究中，通常假定博奔中的参与人都是完全理性的，都能在约定的条件下实现其效用最大化，显然这种假设太严格，在现实中也很难得到应用，因此，完全理性的假设逐渐被博奔论学者们质疑，进而他们提出了有限理性的概念Anderlini 和Canningl13利用博奔论的思想建立了一个带抽象理性函数的有限理性模型，并且分析了该模型的结构稳定性和鲁棒性考虑到文献 13 中的假设条件太强，一些经济模型或博奔模型很难满足，因此，Yu和Yu14将文献 13】中的假设条件进行了减弱，并得到了一些深刻的结果，而后这些结果被分别应用在单目标博奔 14 ，多目标博奔和广义多目标博奔 15，不确定性下博奔 16 ,参数最优化问题 17 以及变分不等式问题 18 等均衡解的稳定性研究中在文献 19中，俞建教授对有限理性模型下各类非线性问题解的稳定性研究进行了全面的总结由于有限理性模型对于均衡解的稳定性研究具有重要的意义，因此本文也将采用文献 19 的研究框架，构建有限理性模型研究有限理性下参与人具有无限个目标的群体博奔中弱有效Nash均衡的稳定性.本文剩余部分安排如下：第2 节先回顾文献 3 中的群体博奔模型及相关概念，接着构建参与人具有无限个目标的群体博奔模型；第3节证明参与人具有无限个目标的群体博奔模型中弱有效 Nash均衡的存在性；第4 节研究有限理性下上述弱有效Nash均衡的稳定性；第5节是本文结论部分.数学物理学报Vol.43A2模型和定义我们先回顾文献 3 中的群体博奔模型.设P=1,Po表示由po个群体组成的集合，对每个群体pEP来说，它里面的所有参与人构成一个总量为mp（mp 0）的连续统，并且这些参与人都是从相同的有限纯策略集Sp=1,np中选取策略，群体p的状态集定义为Xp这里 R=(a1,k)Rh：i 0,V i),状态 ap=(ap,1,ap.np)中的分量 api代表群体p中选择纯策略iSP时的参与人数量记X=IX p 为所有群体组成的社会状态集，Fp,i：X R 表示群体p中参与人选择纯策略i时的支付函数，记Fp=（Fp,i)i Sp，这样，一个群体博奔可以表示成如下一个序列的形式以下是文献 3 中给出的群体博奔Nash均衡的定义及其存在性结果.定义 2.1 3 如果对每个 p E P 有ap,0 Fp;(a*)Fp.;(a*),Vi,j e Sp,(2.1)k=1PEPI=(P,(mp,Sp,Xp,Fp)peP).No.4则称社会状态a*=（a i，o）e X 是群体博奔的一个 Nash 均衡定理2.1 3 如果对每个pEP和iESp，Fp,，是连续的，则群体博奔至少存在一个Nash 均衡.定理2.2 一个社会状态 a*=（a i,，p）X 是群体博奔 的 Nash 均衡当且仅当这里 yp Fp(c)=Z yp,iFp,(a).=1文献 4 通过考虑了向量值支付函数给出了如下多目标群体博奔模型这里P,(mp,Sp,Xp)peP与文献 3 所给出的一致，Fp,：X 一Rkp为群体p中选择纯策略iES，时的向量值支付函数文献 4 还提供了该多目标群体博奔的弱Pareto-Nash均衡的定义和存在性定理.定义 2.2 4 如果对每个 p E P 有p,0 Fp,(at)-Fp,(a)g intRr,Vj E Sp则称社会状态a*=（a i,p o）E X 是多目标群体博奔T的一个弱Pareto-Nash 均衡定理2.3 4 如果对任意pP和iSp，Fp,i：X R k p 在X上是连续的，则I至少有一个弱 Pareto-Nash 均衡.下面引入参与人具有无限个目标的群体博奔模型，并且定义其弱有效Nash均衡的概念.一个参与人具有无限个目标的群体博奔是序列其中 P,(mp,Sp,Xp)peP与文献 3 所给出的一致，T,是群体p中参与人的目标集，这里假设T对任意pEP都是无限集对任意tETp,Fp,i(t,)：X 一R表示群体p中参与人选取纯策略iE Sp且对应于目标t时的支付函数，因此，Fp=（Fp,1(t,)，,Fp,np(t,)）表示群体p的对应于目标t时的支付函数.定义2.3如果对任意pEP和iESp,有ap,0 Vj e Sp,3t e Tp,s.t Fp;(t,a)Fp,;(t,at),这称社会状态&*EX是的一个弱有效Nash均衡.注2.1(1)如果对任意pE P,Tp是单点集，则定义2.3就退化为文献 3 中Nash均衡的概念.(2）如果对任意pEP,Tp=1,kp,则定义2.3就退化为文献 4 中弱Pareto-Nash均衡的概念。文献 3 给出了群体博奔Nash定义的一个等价性表述，采用与文献 3 类似的证明方法很容易得到上述弱有效Nash均衡定义的一个等价性表述，即定理2.4.张海群：有限理性与一类群体博奔弱有效Nash均衡的稳定性ap Fp(a*)yp Fp(a*),Vyp E Xp,Vp E P,I=(P,(mp,Sp,Xp,Fp)peP),I=(P,(mp,Sp,Xp,Tp,Fp)peP),I=(P,(mp,Sp,Xp,Tp,Fp)peP)1313,ViESp,(2.2)(2.3)1314定理2.4 一个社会状态a*=（i，。）EX是参与人具有无限个目标的群体博奔I的弱有效 Nash均衡当且仅当VpEP,VypEXp，存在tETp，使得(2.4)这里 yp Fp(t,a)=yp,;Fp,i(t,a).=1下面分别介绍本文将要用到的一个引理和定理。引理2.1 15】设X,Y,Z是三个度量空间，并且Z是紧集，【An=1是X中的一列非空紧子集，yn)m=是 中的一个序列且满足 yn Y.(p(c,y,z)n=是 XZ上的一个连续函数序列，A是X的一个非空的紧子集，h 是表示X上的Hausdorf 距离，是XYZ上的连续函数.如果(a,y,2)eXxYxz且 h(An,A)0,则有max min p(w,yn,z)-max min p(w,y,2).WEAnZEZ定理2.5 2 0 设I 是一个指标集，如果对任意iEI,有(1）X；是Hausdorf 拓扑向量空间E;的一个非空凸的紧子集；(2)A;：X 一X;是一个对应，使得(i)对任意 yiEXi,A,(yi)=EX|yiE A;(a)是 X中的开集;(ii)对所有的 E X,有 coA;().则存在*E X,使得对每个iE I,有 A;(*)=0.数学物理学报ap Fp(t,a*)Yp Fp(t,a*),supp(,y,2)-p(c,y,z)/0,Vol.43AWEAZEZ3弱有效Nash均衡的存在性下面给出参与人具有无限个目标的群体博奔T的弱有效Nash均衡存在性定理及其证明.定理3.1假设一个参与人具有无限个目标的群体博奔I=(P,(mp,Sp,Xp,Tp,Fp)peP)满足下面的条件(i)对任意p E P,Tp是 Hausdorff 拓扑空间的一个非空紧子集;(i)对任意pE P和iE Sp,Fp,;在 TpX上是连续的.则T至少有一个弱有效Nash均衡.证对任意pEP,定义对应Ap：X 一Xp如下Ap(a)=Up E Xp l yp Fp(t,a)Up Fp(t,),Vt E Tp下面证明Ap)pEP满足定理2.5中的所有条件.(1)对任意 E X,有Ap(a)=/Up E Xp l yp Fp(t,a)ap Fp(tteTp(3.1)No.4是凸的，且pAp().因此，对任意X和 P,有pcoAp().(2)给定p P.让(,p)是XX中的一个网，使得y Ap(a)且(,yp）(,yp),则对任何,都存在tE Tp,使得(3.2)由于Tp是紧的，这意味着存在 t的一个子网 t使得 t一tE Tp.从而可以得出(ax,yg)(a,yp),tax t E T,且(3.3)另外，由于 Fp是连续的，所以 ypFp(t,)pFp(t,),这意味着 yp Ap(a).因此，Ap的图在XX中是开的显然，对任意pEP和 ypXp，A,(y p）在X中也是开的.因此，根据定理2.5,存在*EX使得Ap(*）=O 对任何pEP都成立，这意味着对任意pEP和ypEXp,存在tETp,使得(3.4)故*是I的一个弱有效Nash均衡证毕.注3.1（1)如果T，是单点集时，则本文定理3.1退化为文献 3，定理2.2.1.(2)如果T=1,kp,则本文定理3.1退化为文献 4，定理3.1.注3.2 注意到，本文定理3.1采用的证明方法与文献 4,定理3.1 的证明方法不同.下面我们给出一个简单的例子来验证参与人具有无限个目标的群体博奔中弱有效Nash均衡的存在性.例 3.1设一个参与人具有无限个目标的单群体博奔 I=(P,(mp,Sp,Xp,Tp,Fp)peP),这里 P=1,m1=1,Xi=(11,12)R 11+12=1,Si=1,2,Ti=0,1,Fi1(t,a)=11-2t,F12(t,a)=12-t.显然 满足定理3.1的所有条件，且容易验证c*=（a i 1,12）=（，）是I的一个弱有效 Nash 均衡.张海群：有限理性与一类群体博奔弱有效Nash均衡的稳定性yp.Fp(ta,aa)ag.Fp(ta,aa).yg.Fp(ta,aax)ag*.Fp(taa,aax).Yp Fp(t,a*)a,Fp(t,a*),13154有限理性下弱有效Nash 均衡的稳定性文献 19 给出了如下具有抽象结构的有限理性模型，并且介绍了均衡集的鲁棒性和结构稳定性概念.记有限理性模型M=A,X,F,R)，这里为问题空间或参数空间（以下统称为博奔空间)，中的每一个元素入表示一个博奔，X是行为空间，X中的每一个元素表示一个策略F：X2X是可行集值映射，：2是由F诱导出的行为映射，这里VA,f()=(X:F(入,).集值映射 的图 Graph(f)=(,)X:Ef(),理性函数 R:Graph(f)R+.V A,Ve 0,E(入,)=f():R(入,)e)定义为博奔入的均衡点集当越小时，博奔入越接近完全理性，特别地，当=0时，E(,)=E(入,0)=E()=f()：R(入,)=0)为博奔入的均衡集，它对应于博奔入完全理性下的均衡集这样，Ef()且 R(入,)=O当且仅当EE().定义4.1 19 ,如果 0,0,当,p(入,)时，有h(E(X,e),E(X)是单点集，则 M在入是结构稳定的，且在入对均衡集也是鲁棒的.下面我们借鉴文献 19 中的研究框架来研究有限理性下T的弱有限Nash均衡的稳定性.设是由满足下列条件的参与人具有无限个目标的群体博奔入=（Fp)peP组成的博奔空间：(A1）V p E P,T,是紧集，且ViESp，Fp,i 在 T,X上是连续的;(A2）存在a*X,使得 Vp E P,Vyp E Xp,存在 t E Tp,使得V入E，记E(）为参与人具有无限个目标的群体博奔入的弱有效Nash均衡集，根据的定义，有 E()0.V入,入E,定义两者之间的距离为p(入,X)=maxmax(t amaxx lpEPiESp(t,a)ET,xX引理4.1（,p）是一个完备的度量空间.证设【mm=1 是中的一个 Cauchy序列，则Ve0,存在 N=N(e)0,使得Vm,n N有 p(m,入),即max max(t.a)maxx|Fpm(t,a)-Fp;(t,),利用反证法，假设 E(A),则存在 pP和 ypEXp,使得 Vt Tp,有于是存在某个 0,满足所以对任意充分大的，有minyp.Fp(t,am)-am.Fp(tET再根据可知VpEP,ViESp,有从而，对任意充分大的m，有tET,minteTpyp Fp(t,am)-am F(t,am)-20.12即pFm(t,am)am.Fm(t,am).显然这与amE E(入m)矛盾，所以，E E(入).因此条件(A2)也满足，即入=（(Fp)peP)E.故（,p）是一个完备的度量空间证毕.下面构建有限理性模型 M=A,X,D,R),其中，V入A,V EX,D(,)=X,f()=(EX:E D(入,a)=X.显然，V,集值映射f()是上半连续的，且f()是非空紧集V,Vf(),定义理性函数 R(入,)R(,a)=max max min yp Fp(t,a)-ap Fp(t,a).引理 4.2 V A,E f(),有(i)R(,)0;(i)R(入,)=0 当且仅当 E E().证(i)显然R(入,a)=max,max.min yp Fp(t,a)-ap Fp(t,a)PEPUPEX,tET,min rp Fp(t,a)-ap Fp(t,a)teT=0.张海群：有限理性与一类群体博奔弱有效Nash均衡的稳定性Yp Fp(t,a)ap Fp(t,a).minyp Fp(t,a)-Cp Fp(t,ac)tET,入m 入,IFf:(,)-Fp.(t,2)0,max(t,a)E(Tp,X)min yp.Fm(t,a)-am.Fm(t,a)PEPYpEX,tET,1317(4.2)(4.3)(4.4)(4.5)1(4.6)1318(i)若 R(,a)=0,则 Vp E P,Vyp E Xp,有这意味着VpEP,VypEXp,存在tETp,使得可得 E E(入).若EE(),则 VpE P,VypEXp,存在tE Tp,有这意味着R(,a)=max max min yp Fp(t,a)-ap Fp(t,a)0,再根据(i)知R(入,)0,因此 R(入,c)=0.证毕,引理4.3R(入,c)在(入,)上是连续的.证 只需证明V,am E X,当(,am)(,a)时有由于 m A,m入,即 VpE P,ViE Sp,有IFr:(t,2)-p,;(,2)0,max(t,a)E(Tp,X)所以max(t,a,yp)E(Tp,X,Xp)由于ama,，且VpEP,ViESp，Fm和Fp，都是连续的，从而，根据引理2.1,有max max,min up Fn(t,am)-ap Fn(t,a)PEPUpEX,tET,mex mex,min,yp Fp(t,z)-p Fp(t,a)pEPypEX,tET,所以R(m,am)-R(入,c),因此R(入,)在(入,）上是连续的证毕.定理4.2（1）弱有效Nash均衡集值映射E：2 X是上半连续的紧值映射；(2)中存在一个稠密剩余子集Q,使得V入EQ,M=A,X,D,R)在入是结构稳定的;(3)如果 M=A,X,D,R)在入E是结构稳定的，则M=A,X,D,R)在入E对弱有效Nash均衡集必是鲁棒的，从而V入EQ，M=A,X,D,R)在入对弱有效Nash均衡集也必是鲁棒的；(4)V入E Q,V入n 入,Ven 0,必有 h(E(入n,en),E(入)0;数学物理学报min yp Fp(t,a)-p Fp(t,)0.tET,Yp Fp(t,a)ap Fp(t,ac).Yp Fp(t,a)ap Fp(t,c).pEPUpEX,tET,R(m,am)R(入,c).ypFm(t,a)-ap FmVol.43A(4.7)(4.8)(4.9)ypFp(t,a)-ap Fp(t,(4.10)No.4(5)如果入E,且 E()是单点集，则M=,X,D,R)在入是结构稳定的，在入对弱有效 Nash均衡集也是鲁棒的.证由于（A,p）完备，且X是紧度量空间，f：2 X上半连续，此外根据引理4.3可知R(入,）在（入,）上连续的，这样定理4.1的条件均满足，因此上述五个结论成立证毕.注 4.1 Ve0,入的 弱有效 Nash 均衡集定义为 E(,)=(E f():R(入,a)e).注4.2 定理4.2 表示：（i）当入EQ，可以利用有限理性下的弱有效Nash均衡集E(入n，e n）来近似代替完全理性下的弱有效Nash均衡集E()，这表明弱有效Nash均衡集E()是稳定的；(i）在Baire分类意义下，对大多数的入E,M在入是结构稳定的，对弱有效Nash均衡集也是鲁棒的，而中使M结构不稳定的点很少，仅构成第一纲集.5结论本文结合前人的研究，构建了一个参与人具有无限个目标的群体博奔模型，定义了新模型的弱有限Nash均衡的概念，并证明了该均衡的存在性定理而后又进一步构建了参与人具有无限个目标的群体博奔有限理性模型，得到了该均衡的稳定性结果，本文的研究结果是新的，丰富了群体博奔已有的理论.1 Nash J.Equilibrium points in n-person games.P Natl Acad Sci,1950a,36:48-492 Nash J.Noncooperative Games.Princeton:Princeton University,19503 Sandholm W H.Population Games and Evolutionary Dynamics.Cambridge:MIT Press,20104 Yang G H,Yang H.Stability of weakly Pareto-Nash equilibria and Pareto-Nash equlibria for multiobjectivepopulation games.Set-Valued Var Anal,2017,25(2):427-4395 Yang Z,Zhang H Q.Essential stability of cooperative equilibria for population games.Optim Lett,2019,13:1573-15826 Kaji A.A generalization of Scarfs theorem:an-core existence theorem without transitivity or com-pleteness.J Econ Theory,1992,56:194-2057 Lahkar R,Sandholm W H.The projection dynamic and the geometry of 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