概率分布期望方差汇总.doc

1.编号1,2,3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X.
（1）求随机变量X的分布列；
（2）求随机变量X的数学期望和方差.
解 （1）P（X=0）==；
P（X=1）==；P（X=3）==；
∴随机变量X的分布列为

X
0
1
3
P

（2）E（X）=1×+3×=1.
D（X）=(1-0)2·+(1-1)2·+(3-1)2·=1.
2 某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额.求：
（1）X的分布列；
（2）X的均值.
解 （1）X的所有可能取值为0，10，20，50，60.
P（X=0）==；
P（X=10）=×+×××=;
P(X=20)= ×××=;
P(X=50)=×=;
P(X=60)= =.
故X的分布列为
X
0
10
20
50
60
P

（2）E（X）=0×+10×+20×+50×+60×=3.3(元).
3（本小题满分13分）
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。
解：（1），即乙厂生产的产品数量为35件。
（2）易见只有编号为2，5的产品为优等品，所以乙厂生产的产品中的优等品
故乙厂生产有大约（件）优等品，
（3）的取值为0，1，2。

所以的分布列为

0
1
2
P

故
4湖南理18．（本小题满分12分）
某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量（件）
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。
（Ⅰ）求当天商品不进货的概率；
（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。
4．解（I）（“当天商品不进货”）（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为1件”）
（Ⅱ）由题意知，的可能取值为2,3.
（“当天商品销售量为1件”）
（“当天商品销售量为0件”）（“当天商品销售量为2件”）（“当天商品销售量为3件”）
故的分布列为

2
3

的数学期望为
5、江西理16．（本小题满分12分）
某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别，公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料，若4杯都选对，则月工资定为3500元，若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
（1）求X的分布列；
（2）求此员工月工资的期望。
．（本小题满分12分）
解：（1）X的所有可能取值为：0，1，2，3，4

即
X
0
1
2
3
4
P

（2）令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800，3500

所以新录用员工月工资的期望为2280元.
6、辽宁理（19）（本小题满分12分）
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：
品种甲
403
397
390
404
388
400
412
406
品种乙
419
403
412
418
408
423
400
413
分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．
6．解：
（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且

即X的分布列为

………………4分
X的数学期望为
………………6分
（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

………………8分
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

………………10分
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.
7、山东理18．（本小题满分12分）
红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.
7．解：（I）设甲胜A的事件为D，
乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，
则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。
因为
由对立事件的概率公式知

红队至少两人获胜的事件有：

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，
因此红队至少两人获胜的概率为

（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。
又由（I）知是两两互斥事件，
且各盘比赛的结果相互独立，
因此

由对立事件的概率公式得

所以的分布列为：

0
1
2
3
P
0．1
0．35
0．4
0．15
因此
20．解（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得
P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，
P（A1） ＞P（A2）, 甲应选择Li
P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，
P（B2） ＞P（B1）, 乙应选择L2．
（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知,又由题意知，A,B独立，

的分布列为
X
0
1
2
P
0．04
0．42
0．54

8、四川理18．（本小题共12分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租车时间都不会超过四小时。
（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列与数学期望；
8．解析：
（1）所付费用相同即为元。设付0元为，付2元为，付4元为
则所付费用相同的概率为
（2）设甲，乙两个所付的费用之和为，可为

分布列

9、天津理16．（本小题满分13分）
学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在1次游戏中，
（i）摸出3个白球的概率；
（ii）获奖的概率；
（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数的分布列及数学期望 .
9．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分.
（I）（i）解：设“在1次游戏中摸出i个白球”为事件则

（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则，又

且A2，A3互斥，所以
（II）解：由题意可知X的所有可能取值为0，1，2.

所以X的分布列是
X
0
1
2
P

X的数学期望

10重庆理17．（本小题满分13分）（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）
某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望
10．（本题13分）
解：这是等可能性事件的概率计算问题.
（I）解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为

解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验.
记“申请A片区房源”为事件A，则
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为

（II）ξ的所有可能值为1，2，3.又

综上知，ξ有分布列
ξ
1 2 3
P

从而有

11.（2008·全国Ⅰ理，20）已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
(1)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率;
(2)表示依方案乙所需化验次数,求的期望.
解 （1）设1、2分别表示依方案甲和依方案乙需化验的次数，P表示对应的概率，则
方案甲中1的分布列为

1
2
3
4
P

方案乙中2的分布列为

1
2
3
P
0

若甲化验次数不少于乙化验次数,则
P=P(1=1)×P(2=1)+P(1=2)×［P(2=1)+P(2=2)］+P(1=3)×［P(2=1)+P(2=2)+P(2=3)］+P(1=4)
=0+×（0+）+×（0++）+==0.72.
(2)E（）=1×0+2×+3×==2.4.
12.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与p，且乙投球2次均未命中的概率为.
（1）求乙投球的命中率p；
（2）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.
解 (1)设“甲投球一次命中”为事件A，“乙投球一次命中”为事件B.
由题意得(1-P(B))2=(1-p)2=,
解得p=或p=（舍去），所以乙投球的命中率为.
（2）由题设和（1）知P(A)=,P()=,P(B)= ,
P()=.
可能的取值为0，1，2，3，故
P(=0)=P()P()=×=,
P(=1)=P(A)P()+P（B）P（）P（）
=×+2×××=,
P(=3)=P(A)P(B·B)=×=,
P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.
的分布列为

0
1
2
3
P

的数学期望
E（）=0×+1×+2×+3×=2.
13.设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数.
（1）求的分布列、期望值及方差；
（2）求的分布列、期望值及方差.
解 （1）的可能值为0，1，2.
若=0，表示没有取出次品，其概率为：
P（=0）==;
同理，有P（=1）==；P（=2）==.
∴的分布列为：

0
1
2
P

∴E（）=0×+1×+2×=.
D（）=(0-)2×+×+×
=++=.
(2)的可能值为1，2，3，显然+=3.
P(=1)=P(=2)=,P(=2)=P(=1)=,
P(=3)=P(=0)=.
∴的分布列为：

1
2
3
P

E（）=E（3-）=3-E（）=3-=.
∵=-+3，∴D（）=（-1）2D（）=.
14.某地区的一个季节下雨天的概率是0.3，气象台预报天气的准确率为0.8.某厂生产的产品当天怕雨，若下雨而不做处理，每天会损失3 000元，若对当天产品作防雨处理，可使产品不受损失，费用是每天500元.
（1）若该厂任其自然不作防雨处理，写出每天损失的分布列，并求其平均值；
（2）若该厂完全按气象预报作防雨处理，以表示每天的损失，写出的分布列.
计算的平均值，并说明按气象预报作防雨处理是否是正确的选择？
解 （1）设为损失数，分布列为：

0
3 000
P
0.7
0.3
∴E（）=3 000×0.3=900（元）.
（2）设为损失数，则
P（=0）=0.7×0.8=0.56.
P(=500)=0.3×0.8+0.7×0.2=0.38.
P（=3 000）=0.3×0.2=0.06.
分布列为：

0
500
3 000
P
0.56
0.38
0.06
∴E（）=0+500×0.38+3 000×0.06=370
平均每天损失为370元.
∵370＜900，∴按天气预报作防雨处理是正确的选择.
15.（2008·湖北理，17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1,2,3,4）.现从袋中任取一球，表示所取球的标号.
（1）求的分布列、期望和方差；
（2）若=a+b,E（）=1,D（）=11,试求a,b的值.
解 （1）的分布列为

0
1
2
3
4
P

∴E（）=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.
D（）=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由D（）=a2D（）,得a2×2.75=11,即a=±2.
又E（）=aE（）+b,
所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2.
当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.
∴或即为所求.
16.A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效.若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组.设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.
（1）求一个试验组为甲类组的概率；
（2）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望.
解 （1）设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，
Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2.
依题意有
P（A1）=2××=,
P（A2）=×=.
P(B0)= ×=,
P(B1)=2××=.
所求的概率为
P=P(B0A1)+P（B0A2）+P（B1A2）
=×+×+×=.
（2）的可能值为0,1,2,3，且～B(3,).
P（=0）==，
P（=1）=××=,
P(=2)=××=,
P(=3)== .
的分布列为

0
1
2
3
P

数学期望E（）=0×+1×+2×+3×=.