初一数学暑期复习资料12-----全等三角形辅助线添加技巧1--倍长中线法.doc

全等三角形问题中常见的辅助线——倍长中线法
△ABC中,AD是BC边中线

方式1:直接倍长
(图1)： 延长AD到E，使DE=AD，连接BE
方式2：间接倍长
1) （图2）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E, 连接BE
2) （图3）延长MD到N，使DN=MD，连接CD

【经典例题】
1、 已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，
则中线AD的取值范围是_________.
（提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边）

例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，
E在AC的延长线上， DE交BC于F，且DF=EF.
求证：BD=CE
（提示：方法1：过D作DG∥AE交BC于G，证明ΔDGF≌ΔCEF
方法2：过E作EG∥AB交BC的延长线于G，证明ΔEFG≌ΔDFB
方法3：过D作DG⊥BC于G，过E作EH⊥BC的延长线于H，证明ΔBDG≌ΔECH）

例3、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

_
A
_
E
变式：如图，AD为的中线，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求证：_
F

_
B
_
C

_
D
（提示：方法1：
在DA上截取DG=BD，连结EG、FG， 证明ΔBDE≌ΔGDE
ΔDCF≌ΔDGF所以BE=EG、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边
方法2：
倍长ED至H，连结CH、FH，证明FH=EF、CH=BE，利用三角形两边之和大于第三边）
例4：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF
（提示：方法1：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA三角形BEG是等腰三角形。
方法2：倍长ED.试一试，怎么证明？）
例5、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，
求证：AD平分∠BAE.
（提示：倍长AE至M,连接DM）

变式一：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：∠C=∠BAE

提示：倍长AE至F，连结DF,证明ΔABE≌ΔFDE（SAS）,进而证明ΔADF≌ΔADC（SAS）
变式二：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，
求证：2AE＝AC。
（提示：借鉴变式一的方法）

_
A
_
B
_
D
_
E
_
C
_
F
例6：已知：如图，在中，，D、E在BC上，且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.
求证：AE平分
提示：
方法1：倍长AE至G，连结DG
方法2：倍长FE至H，连结CH

练习
1、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF
之间的数量关系，并证明你的结论
提示：延长AE、DF交于G,证明AB=GC、AF=GF，所以AB=AF+FC

2、已知：如图，DABC中，ÐC=90°，CM^AB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，过D作DE//AB交BC于E，求证：CT=BE.
提示：过T作TN⊥AB于N， 证明ΔBTN≌ΔECD

3、 在△ABC中，AD平分∠BAC，CM⊥AD于M，
若AB＝AD，求证：2AM＝AC＋AB。

4、△ABC中，AD是边BC上的中线，DA⊥AC于点A，∠BAC=120°，
求证：AB=2BC.

5、如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，AD⊥AC，
点M为BC的中点，求证：DE=2AM