深圳高级中学2010-2011学年高三第一学期第一次考试理科数学.doc

安徽高中数学
深圳高级中学2010-2011学年高三第一学期第一次考试
数 学（理）试题k.s.5.u
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.函数的最小正周期为（ ）
y
x
O

1
-1
A.π B. 2π C. 2π D. 4π

2. 已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
3. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等比数列的前n项和为，则（ ）
A. 0 B. C. D.
6．已知，，且，，成等比数列，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值
7. 设x，y满足约束条件 ， 若目标函数的值是最大值为10，则的最小值为( ). k.s.5.u

A．6 B．7 C．8 D．9
8. 已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2010项=（ ） k.s.5.u
A. B. C. D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)
9.设等差数列的前项和为，若，则
10.海上有A、B两个小岛相距20海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是 海里． k.s.5.u

11. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为

12.在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：。

13.对于任意实数和及，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
k.s.5.u
14. 已知函数是定义在上恒不为0的单调函数，对任意的，总有成立．若数列的n项和为，且满足， ，则= 。

三、解答题(本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15. （本题满分12分）
已知函数为常数）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
(3) 若函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于y轴对称，求实数的最小值。
k.s.5.u

16．(本小题满分12分)
已知中，，，，记，
（1）求关于的表达式；
（2）求的值域；

17．(本小题满分14分)
为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个．如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的最大？

18．(本小题满分14分)
关于的不等式的解集为P, 不等式的解集为Q，若PQ，，求实数的取值范围。

k.s.5.u

19．(本小题满分14分)
已知数列中，=1, ,
(1)是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。
（2）设，数列的前n项和为，是否存在常数c,使得
成立？并证明你的结论。
（3）设，,证明<<。

20．(本小题满分14分)
已知点在直线上，点……，顺次为轴上的点,其中，对于任意，点构成以为顶角的等腰三角形, 设的面积为．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求（用和的代数式表示）；
（3）设数列前项和为，判断与()的大小，并证明你的结论；

高级中学2010—2011学年高三第一学期第一次考试
数 学（理）试题
本试卷共21小题，满分150分，考试用时120分钟．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1.函数的最小正周期为（ ）
A.π B. 2π C. 2π D. 4π
y
x
O

1
-1
2. 已知函数，且此函数的图象如图所示，则点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．

3. 若且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．

4.“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等比数列的前n项和为，则（ ）
A. 0 B. C. D.

6．已知，，且，，成等比数列，则（ ）
A．有最大值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
7. 设x，y满足约束条件 ， 若目标函数的值是最大值为10，则的最小值为( ).

A．6 B．7 C．8 D．9
8. 已知数列：依它的前10项的规律，这个数列的第2010项=（ ）
A. B. C. D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)
9.设等差数列的前项和为，若，则 9
10.海上有A、B两个小岛相距20海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°视角，则B、C间的距离是 海里．

11. 定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为 。

12.在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：。4,12
13.对于任意实数和及，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .

14. 已知函数是定义在上恒不为0的单调函数，对任意的，总有成立．若数列的n项和为，且满足， ，则= 。

三、解答题(本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
15. （本题满分12分）
已知函数为常数）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
(3) 若函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于y轴对称，求实数的最小值。
解:(1)
∴的最小正周期.
(2) 当, 即时，函数单调递增，故所求区间为
（3）函数的图像向左平移个单位后得，
要使的图像关于y轴对称，只需
即，所以m的最小值为。
16．(本小题满分12分)
已知中，，，，记，
（1）求关于的表达式；
（2）求的值域；
解：（1）由正弦定理有：；
∴，；
∴

（2）由；
∴；∴

17．(本小题满分14分)
为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资100万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加260万元；乙项目每投资100万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个．如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的最大？

解：设甲项目投资（单位：百万元），乙项目投资（单位：百万元），两项目增加的为。
依题意，、满足，所确定的平面区域如图中阴影部分
解得，
解得

设，得，将直线平移至经过点，
即甲项目投资2000万元，、乙项目投资1000万元，两项目增加的最大
18．(本小题满分14分)
关于的不等式的解集为P, 不等式的解集为Q，若PQ，，求实数的取值范围。
解：Q， 对于，当时，P=，符合。
当时，P，此时只需，即。
当时，P，此时只需，即。
综上，为所求。

19．(本小题满分14分)
已知数列中，=1, ,
(1)是否存在常数，使得数列是等比数列，若存在，求的值，若不存在，说明理由。
（2）设，数列的前n项和为，是否存在常数c,使得
成立？并证明你的结论。
（3）设，,证明<<。
解：（1）设可化为，
即，故，得。
又，所以存在，使得数列是等比数列。
（2）由（1）得，得，所以。
要使得成立，
则有，得。所以，存在常数，使得成立。
（3）证明：因为，所以，而，
所以。
又当时，，符合。
当时，，
得。
综上，<<得证。

20．(本小题满分14分)
已知点在直线上，点……，顺次为轴上的点,其中，对于任意，点构成以为顶角的等腰三角形, 设的面积为．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求（用和的代数式表示）；
（3）设数列前项和为，判断与()的大小，并证明你的结论；
解：（1）由于点在直线上，
则，
因此，所以数列是等差数列
（2）由已知有，那么 同理
以上两式相减，得，
∴成等差数列；也成等差数列，
∴，

点，则，，
而
∴
（3）由(1)得:，
则
而，则，
即
∴
∴
∴
由于 ，
而,
则, 从而 ,
同理:
……

以上个不等式相加得：
即，
从而 。
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