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2015广东仲元中学文科数学高考冲刺试题
命题人：高三文科数学备课组 谭昌军 李赞扬 杜伟杰 2015-05-10
选择题
1. “x＜1”是“log2(x+1)＜1”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设，则
A. B. C. D.
3.设为等比数列的前n项和，若，则的值为（ ）
A．-3 B．3 C．-5 D．-1/7
4.等于（ ）
A． B． C． D．
5.已知平面向量，，且，则( )
A． B． C． D．
6.在平面区域内随机取一点，则所取的点恰好落在圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
7.下面图形中，属正方体表面展开图的是( )
8.若直线：与直线：平行 ，则实数的值为（ ）
A. B. 或 C. D. 或
9.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）
A B C D
10.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐、、、号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第次互换座位后，小兔坐在第 号座位上
A. B. C. D.
填空题
11.命题p：“”的否定是_________．
12.已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝_____
13.已知正数满足，则的最小值为_____
选做题
14.在极坐标系中，直线被圆截得的弦长为 ▲
15.如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为___________．
解答题
16.（本题满分12分） 已知函数
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间 上的最大值和最小值．
17.（12分）某中学将100名高一新生分成水平相同的甲，乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲，乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如下，计成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（1）从乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的两个均“成绩优秀”的概率；
（2）由以上统计数据填写下面2x2列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关．
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
成绩不优秀
总计
附：K2=
P（K2≥k）
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
18.(本小题满分14分)
如图，是圆的直径，点在圆上,矩形所在的平面垂直于圆所在的平面,，．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离．
19.（本题满分14分） 已知椭圆的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶.
(1)求椭圆的方程；
(2)过F1作两直线m，n交椭圆于A，B，C，D四点，若m⊥n，
求证：为定值．
20.（本小题满分14分）已知数列中，，，其前项和满足（，）．
求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
设，求数列的前项和；
设（为非零整数，），是否存在确定的值，使得对任意，有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
21.（本题满分14分） 已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，
曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝(x2＋x)，其中f′(x)为f(x)的导函数，
证明：对任意x>0，g(x)<1＋e-2.
参考答案
1.B 2.D 3.D 4.B 5.D 6.B 7.A 8.A 9.A 10.B 11.
12.-1 13.9 14.4 15.1
16.
17. 解：（1）设“抽出的两个均“成绩优秀”“为事件A．
从不低于86分的成绩中随机抽取2个的基本事件为（86，93），（86，96），（86，97），（86，99）（86，99），（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共15个，（4分）
而事件A包含基本事件：（93，96），（93，97），（93，99），（93，99），（96，97），（96，99），（96，99），（97，99），（97，99），（99，99），共10个． （6分）
所以所求概率为P（A）== （7分）
（2）由已知数据得：
甲班（A方式）
乙班（B方式）
总计
成绩优秀
1
5
6
成绩不优秀
19
15
34
总计
20
20
40
-----------------------------------------------------------------（9分）
根据2×2列联表中数据，K2=≈3.137＞2.706
所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关． （12分）
18.（1）证明：∵是直径，∴ …………………1分，
又四边形为矩形, ,,∴
∵，∴平面 …………4分
又平面，∴平面平面 ………………6分
（2）由⑴知
， ………………………8分，
当且仅当时等号成立 ……………………9分，
∴当三棱锥体积最大为 ……………………10分，
此时，，
设点到平面的距离为，则
………………………14分
19.
20.（1）证明：由已知，,
即（n≥2，n∈N*），且． …………………1分
∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，
∴． …………………3分
（2）解：由（1）知， …………………4分
设它的前n项和为
∴
两式相减可得：
所以 …………………7分
（3）解：∵，∴， …………………8分
要使恒成立，
则恒成立
∴恒成立，
∴恒成立． …………………10分
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜恒成立，
当且仅当n=1时，有最小值为1，∴λ＜1． …………………11分
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞﹣恒成立，
当且仅当n=2时，﹣有最大值﹣2，
∴λ＞﹣2．即﹣2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=﹣1．…………………12分
综上所述，存在λ=﹣1，使得对任意n∈N*，都有． …………………14分
21.(1)解 由 得： x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.………(3分)
(2)解 由(1)得f′(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．令h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，
当x∈(0,1)时，h(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0.又ex>0，所以当x∈(0,1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．……(7分)
(3)证明 因为g(x)＝(x2＋x) ，所以g(x)＝ (1－x－xln x)，x∈(0，＋∞)．
因此，对任意x>0，g(x)<1＋e－2等价于1－x－xln x< (1＋e－2)．由(2)知h(x)＝1－x－xln x，x∈(0，＋∞)，所以h′(x)＝－ln x－2＝－(ln x－ln e－2)，x∈(0，＋∞)．因此，当x∈(0，e－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；当x∈(e－2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
所以h(x)的最大值为h(e－2)＝1＋e－2.故1－x－xln x≤1＋e－2.……(10分)
设φ(x)＝ex－(x＋1)．因为φ′(x)＝ex－1＝ex－e0，所以当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，φ(x)单调递增，φ(x)>φ(0)＝0，故当x∈(0，＋∞)时，φ(x)＝ex－(x＋1)>0，即>1.所以1－x－xln x≤1＋e－2< (1＋e－2)．因此对任意x>0，g(x)<1＋e－2.………………(14分)
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