空间中的垂直关系(基础+复习+习题+练习).doc

课题：空间中的垂直关系
考纲要求：
①以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.②能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
教材复习
直线和平面垂直
直线和平面垂直的定义：直线与平面的 直线都垂直，就说直线.
直线和平面垂直的判定定理和性质定理

图形语言
文字语言
符号语言

判定定理

如果一条直线和一个平面内的
都垂直，那么该直线与此平面垂直.

性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面内，，那么这两条直线 .
∥
二面角的有关概念
二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.
二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
平面和平面垂直的判定定理和性质定理

图形语言
文字语言
符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的一条 ，则两个平面互相垂直.

性质定理

两条平面内互相垂直，则一个平面内垂直于它们 的直线垂直于另一个平面.

基本知识方法
证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义：a与α内任何直线都垂直；
(2)判定定理：；
(3)判定定理：a∥b， ；
(4)面面平行的性质：∥，⇒；
(5)面面垂直的性质：，，，
证明直线与平面的法向量平行.
证明线线垂直的方法
(1)定义：两条直线所成的角为；
(2)平面几何中证明线线垂直的方法；
(3)线面垂直的性质：，；
(4)线面垂直的性质：，∥.
证明两直线的方向向量互相垂直.
证明面面垂直的方法
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：， ⇒.
证明两平面的法向量垂直.

转化思想：垂直关系的转化(右图).
在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决．
典例分析：
考点一 线线垂直
问题1． （天津）如图, 四棱柱中, 侧棱底面, ∥,, , , 为棱的中点.
(Ⅰ)求证：； (Ⅱ)略. (Ⅲ)略.

问题2．（湖北文）如图，已知正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且,.求证：； 略.

A
B
C
D

考点二 线面垂直
问题3． （福建）如图，正三棱柱
的所有棱长都为，为中点．
求证：平面；略； 略.

问题4．（届高三福州八中第二次质检文）如图，四棱锥的
底面为正方形，⊥平面，，为上的点.
求证：无论点在上如何移动，都有；
A
B
C
D
F
P
若∥平面，求三棱锥的体积.

考点三 面面垂直
问题5．（陕西文）三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示，截面为，，平面，，为中点.
（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）略．
A1
A
C1
B1
B
D
C

课后作业：
（届高三福建“四地六校”第二次联考文）如图，在棱长为的正方体
中，、分别为、的中点.
求证：//平面；求证：；

如图，在正方体中，、、分别是，，的中点．求证： //平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ⊥平面．

如右图所示，已知四棱锥，其正视图是等腰直角三角形，侧视图是底边长为的等腰三角形，俯视图是矩形.（Ⅰ）求该四棱锥的体积；
（Ⅱ）证明：平面⊥平面

走向高考：
（江苏）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，点在上，. 求证：∥平面（这里不做）； 平面平面.

A
B
C
M
P
D
如图，在四棱锥中，平面平面，，是
等边三角形，已知，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．

（天津文）如图，在四棱锥中，底面是矩形．
已知．
（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略．

（陕西）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面．，，，
求证：平面；略．

（陕西）如图, 四棱柱的底面是正方形, 为底面
中心, 平面, . 证明: 平面；略.

( 江苏) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点.
求证：平面平面(这里不做)； .

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不会学会，会的做对. 让生活的句号 圈住的人，是无法前时半步的！
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