直线的另一种设法(数学教学通讯).doc

直线的另一种设法
贵州省凯里市第一中学 556000 贾士伟

摘要 在讨论直线和圆锥曲线位置关系时，常会设出直线的方程，而直线方程的设法通常采用点斜式（斜截式），本文介绍另一种直线的设法，并将两种设法进行比较。
关键词 直线和圆锥曲线 直线方程的设法 点斜式

在解析几何里面经常会碰到直线与圆锥曲线的位置关系的题目，解决这类问题的基本方法是设出直线的方程，然后与圆锥曲线的方程联立得出根与系数的关系，体现的是一种“设而不求”的思想.在实际做题中设直线的方程我们通常采用斜截式，这种设法忽略了直线斜率不存在的情况，需要单独讨论.在这里我将介绍直线的另一种设法，并通过实例比较两种设法的优劣.
例1.（09全国Ⅱ）已知椭圆：的离心率为，过右焦点的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）上是否存在点，使得当绕转到某一位置时，有
成立？若存在，求出所有的的坐标与的方程；若不存在，说明理由.
解法1：（直线的设法采用）
（Ⅰ）容易求得过程略.
（Ⅱ）上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立.
由（Ⅰ）知的方程为设
（ⅰ）当不垂直于轴时，设的方程为
将代入并化简得
于是进而
由题意：
将带入椭圆方程有：
解得
因此，当时，的方程为
当时，的方程为
（ⅱ）当垂直于轴时，由知，上不存在点使成立.
综上，上存在点使成立.此时的方程为
解法2：（直线的设法采用）
（Ⅰ）同上
（Ⅱ）明显，当直线的斜率为0时，不存在满足题设条件的点.
故可设直线的方程为：，
与联立有：

由题意：
将带入椭圆方程有：可解得
上存在点使成立.此时的方程为
在此题第二问中，很容易判断当直线斜率为0时不存在满足题设条件的点，采用这种设法避免了分类讨论，联立得到的方程也较为简单，简化了运算过程，对于争分夺秒的高考，无疑是一种可取的方法.下面这一些例题更突出了“”的优越性.
例2.过的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右焦点，求面积的最大值，以及取得最大值时的直线的方程.
分析：通法是求出弦长，以及边上的高.
解法1：（直线的设法采用）
（1）若直线的斜率不存在，则为，容易求得;
(2) 若直线的斜率存在，设，为，
与联立得

综上可知当为时，取得最大值，最大值为
解法2：（直线的设法采用）
设为，
与联立得

为，到的距离：

（当时取等号）
此时的方程为：
对比两种解法直线方程采用的形式，不但避免了分类讨论，联立所得方程简洁，在处理最值时也容易得多，降低了题目难度，简化了运算量，大大提高了运算速度.
适用于斜率存在的直线，适用于斜率不为0的直线，在解题中若能灵活选取直线的设法，可以避免分类讨论，简化计算过程，降低题目难度.有兴趣的读者可以尝试用上面两种方法解决下面的问题：
1.设坐标原点为，抛物线与过其焦点的直线交于两点，则的夹角为（ ）
锐角 直角 钝角 无法确定
答案：C.
2.过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为，求证.

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